人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数（共21张ppt）

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5.2.3 简单复合函数的导数
问题导入
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思考1.如何求函数的导数呢？
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函数不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.
若设，则可以看成是由和
经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数.
如果把与的关系记作，和的关系记作，那么这个“复合”过程可表示为
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我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函数由和复合而成.又如，函数由
和复合而成.
如何求复合函数的导数呢？我们先来研究的导数.
一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作
.
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一个合理的猜想是，函数的导数一定与函数，的导数有关.下面我们就来研究这种关系.
以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数.一方面，
另一方面，
可以发现，
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一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为.
即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
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答案：×，×.
辨析1.判断正误.
(1)若，则.( )
(2)若，则.( )
辨析2.设则
答案：.
例析
例6.求下列函数的导数：
(1)；(2)
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解：(1)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有：
解：(2)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有：
例析
例6.求下列函数的导数：
(3).
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解：(3)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有：
例析
例7.某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位：)与时间(时间：)之间的关系为.求函数在时的导数，并解释它的实际意义.
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解：函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有：
当时，.
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为.
练习
题型一：求复合函数的导数
例1.求下列函数的导数：
(1)；(2)；
解(1)：设
则
(2)：设
则
练习
例1.求下列函数的导数：
(3)(4).
(3)：设
(4)：设
则
则
练习
方法技巧：
求复合函数的导数的步骤：
(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数.
(2)分别求导：分别求各层函数对应变量的导数.
(3)相乘：把上述求导的结果相乘.
(4)变量回代：把中间量回代.
练习
变1.(1)函数的导数_______.
(2)函数的导数_______.
解(1)：∵，
∴
解(2)：
练习
题型二：与复合函数有关的切线问题
例2.(2018全国2卷)曲线在点处的切线方程为__________.
解：∵，∴
当时，，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
练习
方法技巧：
有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了.在求有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用.
练习
变2.设曲线在处的切线方程为，则______.
解：∵，
∴
当时，.
∵曲线在处的切线方程为，
∴，即.
练习
题型三：导数在实际问题中的应用
例3.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度(单位：)关于时间(单位：)的函数解析式为，求函数在时的导数，并解释它的实际意义.
解：函数是函数和函数复合而成的，其中是中间变量.由复合函数的求导法则，可得：
.
将代入，得.
它表示当时，水面高度下降的速度为.
练习
方法技巧：
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
练习
变3.一听汽水放入冰箱后，某摄氏温度(单位：)随时间(单位：)的变化满足关系：.
(1)求汽水温度在处的导数；
(2)已知摄氏温度与华氏温度之间具有如下函数关系.写出关于的函数解析式，并求关于的函数的导数.
解：∵，∴
(1)当时，.
(2)
课堂小结
1.复合函数的定义：
一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
2.复合函数的导数：
一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为.
即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P82的练习1——3题；
(3)课本P81习题5.2的第2题.