人教A版2019选择性必修第二册4.4数学归纳法（共19张ppt）

(共19张PPT)
4.4 数学归纳法
第四章 数列
课程标准
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题
新课导入
问题1 回忆下，我们在高中的学习中认识了哪些数学证明方法？
1.比较法
2.综合法（逆推法）
3.分析法（正推）
4.反证法
5.不完全归纳法
新课导入
如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，那么能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.
不完全归纳法得到的结论不一定正确.
本节我们就来介绍一种重要的证明方法-----数学归纳法
一
二
三
教学目标
了解数学归纳法的原理
掌握数学归纳法的步骤
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
（逻辑推理）
教学目标
难点
重点
易错点
新知探究
探究一 了解数学归纳法的原理、掌握数学归纳法的步骤
新知讲解
已知数列{}满足，=
计算，，，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
计算可得，，再结合
由此猜想：
如何证明这个猜想呢？
新知讲解
我们可以从开始一个个往下验证。
一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦。
特别当取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。
因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。
通过有限个步骤的推理，证明n所取所有正整数时都成立
新知讲解
我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
大家一起来看下视频，并了解它的原理与步骤。
新知讲解
新知讲解
问题2：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
(1)第一块骨牌倒下；
(2)若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下
根据(1)和 (2)，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
概念生成
数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:
归纳奠基→证明当n取第一个值时命题成立
归纳递推→以当时命题成立”为条件,
推出“当时命题也成立”
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
新知讲解
已知数列{}满足，=
计算，，，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
（1）当n=1时猜想成立；
（2）若n=k时猜想成立, 即,
则当n=k+1时, = =1,猜想也成立，
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立.
所以，对于任意，猜想都成立，即数列{}的通项公式是.
新知探究
探究二 数学归纳法的运用
例题讲解
例1. 用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为的等差数列，那么，= ①
对任何都成立.
新知讲解
证明：（1）当时，左边，右边=,①式成立.
（2）假设当()时， ①式成立，即=
根据等差数列的定义，有
于是
即当时， ①式也成立
由（1）（2）可知， ①式对任何都成立
方法小结
用数学归纳法证明恒等式时，
一是弄清取第一个值时等式两端项的情况；
二是弄清从到等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
三是证明时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝证明目标的表达式变形.
例题讲解
例2 用数学归纳法证明：
证：（1）时，左边等于右边
（2）假设时，上式成立
即
(3)当时，
所以，成立
证明成立
小结
归纳奠基：证明当时命题成立；
归纳：以“当时命题成立”为条件，
递推：当时命题也成立.
只要完成这三个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.