导数的应用[上学期]

课件10张PPT。一、知识点1．导数应用的知识网络结构图：2．基本思想与基本方法：①数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调
性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探
讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极
值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践
的辩证关系，具有较大的实践意义。②求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤：
i）求f′(x)；
ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）；
iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。 ③证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性：
i）求f′(x)；
ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）；
iii）确认f′(x)在(a，b)内的符号；
iv）作出判断。 ④求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：
i）求导数f′(x)；
ii）求方程f′(x)=0的全部实根；
iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值
的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个
根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）
在这个根处取得极小值。⑤设y=f（x）在[a，b]上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
i）求f（x）在（a，b）内的极值；
ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确
定f（x）的最大值与最小值。⑥在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值
点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定
最值，不必再与端点的函数值作比较。例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),
且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
范围.解:(1)由题意得:(2) ,解得x>0或x<-2.故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞).即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小
值为2.
(1)试确定常数a、b的值;
(2)求函数的单调递增区间.答案:(1)a=1,b=4.
(2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小
?(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的
切线垂直的直线).解:在已知曲线上任取一点(x, x6/3),则过该点的切线的
斜率为 ,从而法线的斜率为故法线方程为令X=0,得法线在y轴上的截距:则令 ,得当x<-1时, ,则Y单调减小;当-11时, ,则Y单调增加.故当 时,Y有最小值5/6,此时点 为所求.解:设B(x,0)(0 A(x, 4x-x2).从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(00得x=1.而01时, ,所以x=1是f(x)的极小值点.所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:

成立.