上海市文来高中2023届高三上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

文来高中2022学年第一学期期中考试
高三年级数学试卷
满分分值：150分 完卷时间：120分钟
一 填空题（共12小题；第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知集合，且，则实数的值是__________.
2.设函数的表达式则满足的的值为__________.
3.已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则__________.
4.设和是两个不同的幂函数，集合，则集合中的元素个数最多是__________个.
5.某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为__________.（用数字作答）
6.在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正切值为__________.
7.已知，若数列是一个单调递增数列，则的最大值是__________.
8.若关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________.
9.已知椭圆的左 右焦点为，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于点，且，则抛物线的准线方程是__________.
10.设是定义在上的函数若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；④.具有性质的函数有__________个.
11.已知函数满足，当时，，且.若，则下列结论中正确的是__________.（填写序号）
①；
②；
③可能为0；
④可正可负.
12.已知函数图象上相邻的两个最高点为，点为，之间的最低点，且，若在和上单调递增，在上单调递减，且，则的值为__________.
二 选择题（共4小题；每题5分）
13.设，则“且”是“且”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.已知，且，则在“①，②，③，"这四个式子中，恒成立的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
15.定义域是上的连续函数图象的两个端点为，是图象上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ）
A. B.
C. D.
16.已知定义域是全体实数的函数满足，且，现定义函数为：其中，那么下列关于叙述正确的是（ ）
A.都是偶函数且周期为
B.都是奇函数且周期为
C.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数
D.都不是周期函数
三 解答题（共5小题；共76分）
17.（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围.
18.（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由.
19.（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为（单位：万元），与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）求的值及的表达式；
（2）求当隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.
20.（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知，集合，.
（1）求；
（2）若且，求实数的取值范围；
（3）记.当时，若集合中有且仅有一个元素使得0成立，试写出满足条件的的表达式（只需写出一个即可）.
21.（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设函数定义在区间上，若对任意的，当，且时，不等式成立，就称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；
（2）已知函数在区间上恒正，且函数具有性质，求证：对任意的，且，有
（3）①已知函数具有性质，证明：对任意的，有，其中等号当且仅当时成立；
②已知函数具有性质，若为三角形的内角，求的最大值.
答案
1.0 2.3 3.4 4.3 5. 6.
7.6 8. 9. 10.3 11.② 12.
13.B 14.C 15.D 16.A
17.（1）当时，，由得1），即，解得或，
所以，原不等式的解集为.
（2）函数存在零点方程有解，亦即有解，
注意到在上递减，故，
从而，实数的取值范围为.
18.（1）由已知得.
令，解得或.
①当时，，函数在上严格递增.
②当时，函数在上严格递增，在上严格递减.
③当时，函数在上严格递增，在上严格递减.
（2）设存在满足题设条件，由（1）可得：
①当时，函数在上严格递增，则最小值，最大值，解得.
②当时，，函数在上严格递减，则最大值，最小值，解得.
③当时，，函数在上严格递减，在上严格递增，则最小值，最大值为或.
若，解得，不符，舍去.
若，解得或，不符，舍去.
综上可得：存在，使得在区间的最小值为且最大值为1.的所有值为或.
19.（1）由可得，则.
（2），
当且仅当，即时等号成立.
答：当隔热层的厚度为5厘米时，总费用取得最小值70万元.
20.（1），
所以.
（2）因为，
所以的两根均为非负数.
当时，符合题意；
当时，有解得.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）.
因为当时，在集合中有且仅有一个元素使得，
所以有即解得.
不妨取，则（答案不唯一）.
21.（1）令，
于是，
显然.
因此函数不具有性质.
（2）设，且.令，
显然，且，
于是，即.
因为函数在区间上为增函数，所以.
（3）①对任意的，
令，显然.
若，则不等式中等号成立.
下面考虑不全相等，不妨设的值最小，
的值最大，于是，且.
令，于是，且
，
故，
从而.
又，
且，
故，
因此.
综上，，其中等号当且仅当时成立.
②当为锐角三角形时，由①，得，
等号当时成立；
当为直角三角形时，不妨设为直角，于是
当为钝角三角形时，不妨设为钝角，此时，于是，
由，得，
于是，故.
综上，的最大值为.