广东省阳江市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

阳江市2022-2023学年高二上学期期中考试
数学试题
考试范围：必修1－必修2；选择性必修1－选择性必修2；
考试时间：120分钟
本试卷共6页，22小题。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．若a，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．3 C．1 D．
3．已知定义在上的奇函数f（x）满足f（4－x）＝f（x）．当时，，则f（2021）＋f（2022）＝（ ）
A．7 B．10 C．－10 D．－12
4．已知函数有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（－1，1） B．
C． D．
5．已知向量，，若向量，的夹角是锐角，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，直三棱柱的所有棱长都相等，D、E分别是BC、的中点，下列说法中正确的是（ ）
A． B．平面
C．与DE是相交直线 D．异面直线与所成角的余弦值为
8．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高，获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目，某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按［0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，分别得到频率分布直方图如下：
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知双曲线的左右焦点分别为，右顶点为A，M为OA的中点，为双曲线右支上一点且，且，则（ ）
A．的离心率为2 B．的渐近线方程为
C．PM平分 D．
10．已知函数在上可导，且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为减函数 B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点 D．
11．如图，已知正方体棱长为4，Q是上一动点，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，P是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段PF的长，下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．与平面所成角的正切值得最大值为
C．的最小值为
D．当点运动时，的范围是
12．已知圆，圆，且a，b不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．，
D．M，N为圆上的两动点，且，则的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，若至少存在两个不相等的实数，，使得，则实数的取值范围是______．
14．已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是______．
15．阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点的切线方程为．若已知内接于椭圆E：，且坐标原点O为的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则＝______．
16．双曲线的左，右顶点分别为A，B，过点M（2，0）的直线l交该双曲线C于点P，Q，设直线PA的斜率为，直线QB的斜率为，已知轴时，，则双曲线C的离心率______；若点P在双曲线右支上，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
对于项数为m的有穷数列，设为，，…，中的最大值，称数列是的控制数列．例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7．
（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；
（2）设是的控制数列，满足（C为常数，，2，…，m）．证明：．
（3）考虑正整数1，2，…，m的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．
18．（12分）
某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取60名同学的成绩（百分制，均为正数）分成[40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100）六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：
（1）求分数在［70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的均值；
（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？
19．（12分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若，二面角D－AE－C的余弦值为，求m．
20．（12分）
已知椭圆的上、下焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形．
（1）求C的标准方程．
（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）
如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求拋物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A，B两点，斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．
阳江市2022-2023学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C D C C D A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
ACD ABD ABD ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．4 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）由题意，，，，，
所以数列有六种可能：2，3，4，6，1；2，3，4，6，2；2，3，4，6，3；2，3，4，6，4；2，3，4，6，5；2，3，4，6，6．（2分）
（2）因为，，所以，
所以控制数列是不减的数列，
是的控制数列，满足，C是常数，所以，
即数列也是不减的数列，，
那么若时都有，则，
若，则，若，则，
又，由数学归纳法思想可得对n＝1，2，…，m，都有；
（3）设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于m，
当m是数列中间某项时，不可能是等差数列，
所以或，若，则，是等差数列，
此时只要，，，…是1，2，3，…，m－1的任意排列均可．共个，
，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，（3分）
由此有，即就是1，2，3，…，m，只有一种排列，综上，的个数是．
18．（12分）
（1）解：设分数在［70，80）内的频率为x，
根据频率分布直方图，可得（0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005）×10＋x＝1，
解得x＝0.25，所以分数在［70，80）内的频率为0.25，
所以补全这个频率分布直方图，如图所示：
（2）解：根据频率分布直方图得：
均值为：45×0.10＋55×0.15＋65×0.20＋75×0.25＋85×0.25＋95×0.05＝70.5，
即估计本次考试成绩的均值为70.5分．
（3）解：因为分数在［80，90）内的频率为0.25，［90，100）内的频率为0.05，
而0.05<10%<0.25＋0.05，所以排名前10%的分界点为90－a，则0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界点为88分，即获奖的同学至少为88分．
19．（1）证明：因为△ABC是正三角形，所以AB＝BC＝AC
因为∠ABD＝∠CBD，BD公共边，所以，
所以AD＝CD，因为△ACD是直角三角形，
所以∠ADC＝90°，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO，
因为△ABC是正三角形，所以BO⊥AC，所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角，
在Rt△AOB中，，因为AB＝BD，所以，
所以∠DOB＝90°，所以平面ACD⊥平面ABC；
（2）由（1）可得DO⊥OB，DO⊥AO，AO⊥OB，所以以O为原点，OA，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设等边的边长为2，则A（1，0，0），，C（－1，0，0），D（0，0，1），
则，，，
因为，所以，
所以，
设平面ADE的法向量为，则
，
令，则，
设平面的法向量为，则
，
令，则，
因为二面角的余弦值为，
所以，
化简得，，
解得或，
如图，过作于，连接，则由（1）可得，
因为，所以平面，
所以平面平面，所以二面角为直角二面角，
因为，，
所以，
所以，得，
所以，所以，
所以当时，二面角为钝角，所以舍去，所以
20．（12分）
（1）椭圆的上、下焦点分别为，，
左，右顶点分别为，，因为四边形是面积为8的正方形，
所以有且，解得，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）
因为，所以，因为为上且在轴右侧的点，所以，
因此，
同理可得：，
所以，
设，的方程分别为：，，设，，
则，
所以，因此
，
同理可得：，
因此，
，
所以，
所以为定值，定值为．
21．（12分）
（1）因为，故，故抛物线的方程为：
（2）［方法一]：通式通法
设，，，，
所以直线，由题设可得且．
由可得，故，．
因为，故，
故．又，
由可得，
同理，由可得，
所以，
整理得到，
故，令，则且，
故，
故即，
解得或或．
故直线在轴上的截距的范围为或或
［方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，
直线的方程为，直线的方程为，，
，，由题设可得且．
由得，所以，．
因为，，
∴
．
由，得
同理由得，因为，
所以即
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在轴上的截距的范围为．
［方法三]【最优解】：
设，，
由A，F，B三点共线得，即．
所以直线的方程为，
直线的方程为，
直线的方程为．设直线的方程为，
则，，，．
所以．
故
（其中）．所以．
因此直线在轴上的截距为
22．（12分）
（1）的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
（2）［方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，，则，
从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
［方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，，先证．
要证：
．令，，
则，
∴在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以．
令，所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．综合可知．
［方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，即证．
记，，则．
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，即．
［方法四]：构造函数法
由已知得，令，，不妨设，所以．
由（I）知，，只需证．证明同证法2．
再证明．令，．
令，则．
所以，，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，，
即，．
因为，所以，即．综上，有结论得证．