广东省广州市思源中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含解析）

广州思源学校2022-2023学年上学期期中考试卷
高二数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知直线经过点和点，则直线AB的斜率为（ ）
A．3 B． C．2 D．不存在
2．过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若图中的直线、、的斜率分别为、、则（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线的方向向量为,平面的法向量为,则
A． B． C． D．与相交
5．在正项等比数列中，是的等差中项，则（ ）
A．16 B．27 C．32 D．54
6．设等差数列满足，且为其前n项和，则数列的最大项为(　 　)
A． B． C． D．
7．如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分．）
9．已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．若两条直线和的交点在第四象限，则k的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若， 则 D．若则.
12．已知直线l： ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l的斜率可以等于0
B．若直线l与y轴的夹角为 ，则或
C．若直线的斜率为，则直线l的方程为
D．若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则或-2
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则______，______．
14．记为等比数列的前项和．若，，则______．
15．已知等比数列的公比为2，，则___________.
16．在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量不一定共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得．
其中正确命题的是______．
四．解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其余每题12分．）
17．已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
18．在等比数列{}中，
(1)，，求；
(2)，，求的值.
19．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，且，设.
(1)试用表示；
(2)已知是的中点，求的长.
20．已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设、的前项和分别为，，求，．
21．已知等差数列满足，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．
22．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求到平面的距离．
1．B
【详解】
根据斜率公式有.
故选：B .
2．A
【分析】
首先根据平行关系设直线方程，再代入点的坐标，求直线方程.
【详解】
设与直线平行的直线是，代入点得，得，所以直线方程是.
故选：A
3．A
【分析】
由直线的倾斜角与斜率的变化关系可得选项.
【详解】
由于直线的倾斜角为钝角，所以；
由于直线的倾斜角为锐角，且的倾斜角小于的倾斜角，所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.
4．C
【分析】
由已知得，从而得到l⊥．
【详解】
解：∵直线l的方向向量为，
平面的法向量为，
∴，∴，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
5．D
【分析】
由题可得，进而可得，即得.
【详解】
设数列的公比为，则，
∴，解得，（舍去），
∴.
故选：D.
6．B
【分析】
设等差数列的公差为，由，利用通项公式化为，由可得，，利用二次函数的单调性即可得出答案
【详解】
设等差数列的公差为，，
即
，则
等差数列单调递减
当时，数列取得最大值
故选
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，二次函数的单调性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．
7．A
【分析】
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：A
8．B
【分析】
设等比数列的公比为，则，由可得，可得出，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
因为，则，
所以，，
则，
当且仅当时，等号成立.
故选：B.
9．AD
【分析】
根据空间向量的基本定理若满足，则不能构成一组空间基底，逐项判断可得答案.
【详解】
对于A，设，得，则无解，所以，，不共面，可构成一个基底，故A正确；
对于B，设，则，解得，
即，，共面，不能构成一个基底，故B错误；
对于C，，则，解得，
即，，共面，不能构成一个基底，故C错误；
对于D，设，得，但无解，所以，，不共面，可构成一个基底，故D正确.
故选：AD.
10．BC
【分析】
根据直线过定点，作图分析可得.
【详解】
记直线与x轴的交点为，斜率为，
直线所过定点为，
则
由图可知，当，即时，两直线交点在第四象限.
故选：BC
11．BC
【解析】
根据等差数列的前项和性质判断．
【详解】
A错：；B对：对称轴为7；
C对：，又，；
D错：，但不能得出是否为负，因此不一定有．
故选：BC．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前项和性质，（1）是关于的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2），可由的正负确定与的大小；（3），因此可由的正负确定的正负．
12．BCD
【分析】
讨论m的取值情况，即可判断A;确定直线的倾斜角，即可确定斜率，进而求得m的值，判断B;根据直线的斜率可求出m，即得直线方程，判断C;分别表示出直线在x，y轴的截距，列出方程求得m值，判断D.
【详解】
对于直线l：,当 时，直线l：x＝1，斜率不存在，
当时，直线l的斜率为，不可能等于0，故A错误；
若直线l与y轴的夹角为，则直线l的倾斜角为或，
而直线l的斜率为，∴或，
∴或，故B正确；
由直线l的斜率，得 ，∴直线l的方程为 ，故C正确；
当时，直线l：x=1，在y轴上的截距不存在；当时，令x=0，得，令y=0，得x=1-m，令，得m=1或-2，故D正确．
故选:BCD．
13．
【分析】
根据已知条件及截距的定义即可求解.
【详解】
令，得，解得，
所以直线在轴上的截距为，即；
令，得，解得，
所以直线在轴上的截距为，即；
故答案为：；.
14．
【分析】
根据等比数列的性质得成等比数列，从而得到关于的方程，求解即可.
【详解】
因为为等比数列的前项和，且，，
由等比数列的性质可知：成等比数列，
即成等比数列，所以，解得：，
故答案为：.
15．44
【分析】
根据利用等比数列通项公式及（a1+a4+a7+…+a97）q2＝（a2+a5+a6+…+a98）q＝a3+a6+a9+…a99求得答案．
【详解】
解：因为{an}是公比为2的等比数列，
设a3+a6+a9+…+a99＝x，则 a1+a4+a7+…+a97，a2+a5+a6+…+a98．
S99＝77＝（a1+a4+a7+…+a97）+（a2+a5+a6+…+a98）+（a3+a6+a9+…+a99）＝x，
∴a3+a6+a9+…a99＝44，
故答案为44．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n项和，解题的关键是发现a1+a4+a7+…+a97、a2+a5+a6+…+a98和a3+a6+a9+…a99的联系，属于基础题．
16．③
【分析】
根据共线向量和共面向量的相关定义判断即可.
【详解】
①若向量共线，则向量所在的直线可以重合，并不一定平行，错误；
②若向量所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故共面，错误；
③若两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，则不一定共面，正确；
④只有当空间的三个向量不共面时，对于空间的任意一个向量总存在实数使得，若空间中的三个向量共面，此说法不成立，错误；
综上③正确，
故选：③
17．(1)
(2)或.
【分析】
（1）首先根据题意得到直线，再联立方程组求解即可.
（2）分类讨论直线过原点时和当直线不过原点时求解即可.
【详解】
（1）因为直线的方程为，所以，
因为，所以，
又直线在轴上的截距为，所以过，
即直线，即：直线.
联立，即交点为
（2）当直线过原点时，设直线，
因为直线过，所以，即，直线.
当直线不过原点时，设直线在轴截距为.
直线，因为直线过，所以，解得，
综上或.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）直接利用等比数列的求和公式求解即可，
（2）由已知条件结合等比数的性质可得，从而可求得答案，或直接利用等比数列的求和公式化简求解
【详解】
（1）.
（2）方法1：
.
∴.
方法2：，整理得：
又
19．(1)
(2)
【分析】
（1）根据已知条件，结合向量的加减法运算法则，即可求解．
（2）O为的中点，求DO的长，只需求出的长，利用（1）中所求的结果，求的模即可．
【详解】
（1）.
（2）由题意知，
.
，
20．(1)，
(2)，
【分析】
（1）根据求出的通项公式，利用等比数列的性质得到，故可看作方程的两根，根据函数单调性求出，从而得到公比，求出的通项公式；
（2）利用等差数列和等比数列的公式求出答案.
【详解】
（1）当时，，
当时，，
又，满足上式
故的通项公式为，
设等比数列的公比为，
因为，，
所以可看作方程的两根，
解得：或，
因为等比数列单调递增，所以舍去，
故，解得：，
故的通项公式为；
（2）因为，所以，
故为等差数列，
由等差数列求和公式得：，
由等比数列求和公式得：.
21．(1)
(2)
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由题意可得到，化为基本量和的关系，即可求解；
（2）根据错位相减法求和即可.
【详解】
（1）等差数列的首项，公差设为，
由，，成等比数列，则，
即，
即，解得，
所以.
（2）由题意，，设数列的前项和为，
则，
，
两式相减得
即，
化简得.
22．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
（1）连接，，连接，即可得到，从而得证；
（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】
（1）证明：连接，，连接，
在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，
平面，平面．
平面．
（2）解：，，，，．
由直三棱柱中，底面，底面，，．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为；
（3）解：设到平面的距离为，则；