苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.2.1平面的基本性质教学设计

第十三章　立体几何初步
13.2.1 平面的基本性质
平面的基本性质虽仅为了解，但却是进一步研究空间点、线、面位置关系的基础，在教学中，可以先给出一些实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体——长方体模型，有关点、线、面用彩色来突出，让学生仔细的观察；设计一些实例，再给出实物图片，，让学生觉得四个公理确实是显而易见的；设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信．
课程目标 学科素养
1.了解平面的表示方法，点、直线、平面的位置关系. 2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实. 3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系． 在学习平面的概念和基本事实1～3的过程中，把现实生活中的平面形状的物体及其具有的性质抽象出来，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.
1.教学重点：掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
2.教学难点：会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．
多媒体调试、讲义分发。
宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？
问题　(1)生活中的平面有大小之分吗？
(2)几何中的“平面”是怎样的？
提示　(1)有.
(2)从物体中抽象出来的，绝对平、无大小、厚度之分、无限延展的.
1.平面的画法与表示
(1)平面的画法
画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向
图示
(2)平面的表示方法
①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD.
③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD.
2.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言 符号语言
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 A l
点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 A α
直线l在平面α内 l α
直线l在平面α外 lα
平面α，β相交于l α∩β＝l
3.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
(2)基本事实1的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
题型一　三种语言的转换
【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
规律方法　(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
【训练1】　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作(　　)
A.A∈b∈β B.A∈b β
C.A b β D.A b∈β
(2)如图所示，用符号语言可表述为(　　)
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
答案　(1)B　(2)A
题型二　点、线共面问题
【例2】　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
证明　如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l α.即过a，b，l有且只有一个平面.
规律方法　在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
【训练2】　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二　(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
题型三　点共线、线共点、面共线问题　
探究1　线共点问题
【例3－1】　如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.求证：FE，HG，DC三线共点.
证明　如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.
又C1G＝GC，CF＝BF，
∴GF∥C1B，且GF＝C1B.
∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交.设交点为K，
∴K∈HG，HG 平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF 平面ABCD，∴K∈平面ABCD，
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，
∴EF，HG，DC三线共点.
探究2　点共线问题
【例3－2】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.
证明　如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
∴BD1 平面A1BCD1.
同理，BD1 平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C 平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.
探究3　面共线问题
【例3－3】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由.
解　如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD.
又∵D1F 平面BED1F，
DA 平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线.
规律方法　(1)点共线与线共点的证明方法
①点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
(2)确定两平面的交线，关键是确定这两个平面的两个公共点.基本事实3是解决此类问题的主要依据.
【训练3】　如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一条直线上.
证明　∵AB∥CD，∴AB，CD确定平面AC.∵AD∩α＝H，∴H∈平面AC，H∈α，由基本事实3可知，H必在平面AC与平面α的交线上.同理F，G，E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一条直线上.
1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是(　　)
A.黑板面 B.乒乓球桌面
C.篮球的表面 D.平静的水面
解析　平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.
答案　C
2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　)
解析　B中直线a不应超出表示平面α的平行四边形；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.
答案　A
3.设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
解析　因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案　∈
4.用符号语言表示下列语句，并画出图形.
(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；
(2)直线l在平面α内，直线m不在平面α内.
解　(1)A∈α，B α，图形如图所示.
(2)l α，mα，图形如图所示.
余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.
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