《对数函数》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 对数函数概念
一、选择题
1.下列函数是对数函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
2.对数函数满足，则________.
3.若对数函数图象过点，则其解析式为________.
必备知识2 定义域问题
一、选择题
4.函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.函数的定义域为________.
7.函数的定义域是________.
必备知识3 单调性
一、选择题
8.函数在定义域上（ ）
A.是增函数
B.是减函数
C.先增后减
D.先减后增
二、填空题
9.函数的单调增区间是________,反函数是________.
必备知识4 图象问题
一、填空题
10.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是________（填序号）.
二、选择题
11.函数的图象如图所示，则实数a的可能取值为（ ）
A.5
B.
C.
D.
12.如图，若分别为函数和的图象，则（ ）
A.
B.
C.
D.
13.函数的图象必不过（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D第四象限
关键能力练
关键能力1 解对数不等式
一、选择题
14.不等式的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
15.已知，则x的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
16.不等式的解集为_________.
关键能力2 函数值的计算
一、填空题
17.已知函数若，则_________.
18.设函数，若，则的值等于_________.
关键能力3 值域或最值问题
一、选择题
19若函数在上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ ）
A.
B.
C.2
D.4
二、填空题
20.设常数，实数满足，若y的最大值为，则x的值为_________.
三、解答题
21.求函数在区间上的最大值和最小值.
关键能力4 性质综合
一、选择题
22.函数的定义域是，则值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
23.函是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
24.已知函数的值域为R，则k的取值范围是（ ）
A.
B.
C.或
D.或
二、填空题
25.已知在区间上为减函数，则实数a的取值范围是________.
26.已知是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为________.
27.已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.
关键能力5 与对数函数相关的综合应用
一、选择题
28.已知函数，直线与这三个函数的交点的横坐标分别为，则的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、解答题
29.已知函数.
（1）求值：；
（2）判断的奇偶性；
（3）判断函数的单调性并用定义证明.
30.已知函数，若函数图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数的图象上.
（1）写出函数的解析式；
（2）当时总有成立，求m的取值范围.
参考答案
1.
答案：D
解析：根据对数函数的定义，只有D是对数函数.
2.
答案：
解析：设，
由题知，故.
.
3.
答案：
解析：设对数函数的解析式为.由得，即.
4.
答案：C
解析：由得则.
5.
答案：C
解析：要使函数有意义，则解得且，故选C.
6.
答案：
解析：由得，故的定义域为.
7.
答案：
解析：要使函数有意义，则且.
8.
答案：A
解析：当时，和都是增函数，所以是增函数；当时，和都是减函数，所以是增函数，故选A.
9.
答案：
解析：的底为，故在上单调递增，其反函数为.
10.
答案：③
解析：的图象向上平移1个单位得到的图象，故必过点可由的图象右移1个单位得到，故必过点.
11.
答案：A
解析：由图可知，，故选A.
12.
答案：B
解析：作直线，则直线与的交点的横坐标分别为，易知.
13.
答案：A
解析：的图象可以由的图象向左平移2个单位得到，其图象如下图所示，故选A.
14.
答案：D
解析：由题意可得解得.
15.
答案：A
解析：因为函数是上的减函数，
所以原不等式等价于解得.
16.
答案：
解析：由，得，即，
配方得，
所以，两边取以2为底的对数，
得.
17.
答案：或
解析：当时，，
由得，则；
当时，，由得.
综上或.
18.
答案：16
解析：
.
19.
答案：B
解析：当时，（舍去）；
当时，.
20.
答案：
解析：实数满足，
化为.
令，则原式化为.
当时，y取得最大值，
，解得，
.
21.
答案：见解析
解析：，则由在区间上为减函数知，，即.
若设，则，且.
而的图象的对称轴为直线，且在区间上为减函数，而，所以当，即时，此函数取得最大值，最大值为10；当，即时，此函数取得最小值，最小值.
22.
答案：C
解析：由函数的图象可知在上是增函数，因此，当时，.
23.
答案：A
解析：定义域为R，且 为奇函数，故选A.
24.
答案：C
解析：令，由的值域为R，得函数的图象一定恒与x轴有交点，所以，即或.
25.
答案：
解析：二次函数的对称轴为直线，由已知，应有，且满足当时，即，解得.
26.
答案：
解析：是R上的偶函数，
它的图象关于y轴对称.
在上为增函数，
在上为减函数，
由，得，
函数的大致图象如图所示.
或或，
.
27.
答案：
解析：由题知时，.
由，
的定义域为.
28.
答案：A
解析：分别画出三个函数的大致图象，如图所示.
由图可知，.
29.
答案：见解析
解析：（1） .
（2）的定义域为，关于原点对称.
又，
为奇函数.
（3）设，则 ，
.
又，
，
.
从而，故在上为减函数.
30.
答案：见解析
解析：（1）设为图象上任意一点，则是点P关于原点对称的点.
在的图象上，
，即.
（2），即在上成立.
设，
由题意知，只要即可.
在上是增函数，
.
故m的取值范围为.
8 / 15《对数函数》智能提升
一、选择题
1.函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.函数与在同一坐标系中的图象形状可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.已知对数函数的图象过点，则________.
5.函数的值域是________.
6.若在区间上是增函数，则a的取值范围是________.
三、解答题
7.已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性.
8.已知函数，其中.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求a的值.
9.若不等式在内恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1.
答案：C
解析：要使原函数式有意义，则解得或，所以原函数的定义域为，故选C.
2.
答案：A
解析：函数恒过定点，排除B项；当时，是增函数，是减函数，当时，是减函数，是增函数，排除C项和D项，故A项正确.
3.
答案：A
解析：，
，故选A.
4.
答案：
解析：设，
则.
.
5.
答案：
解析：，
有，
根据对数函数的图象（图略）即可得到：，
原函数的值域为.
6.
答案：
解析：因为在区间上是增函数，
所以
解得.故a的取值范围是.
7.
答案：见解析
解析：（1）要使函数有意义，则解得，故函数的定义域为.
（2）由（1）可知，函数的定义域为，关于原点对称.
对任意，则.
，
由函数奇偶性可知，函数为偶函数.
8.
答案：见解析
解析：（1）要使函数有意义，则有
解得，所以函数的定义域为.
（2）函数可化为.
因为，所以.
因为，所以，即.
由，得，所以.
9.
答案：见解析
见解析：由，得，在同一坐标系中画出和的草图，如图所示.
要使在内恒成立，只要在内的图象在图象的上方，于是.
时，只要时，即可，，即.
又.
即实数m的取值范围是.
1 / 5《对数函数》同步练习
一、选择题
1.方程的解为（ ）
A.2
B.3
C.2或3
D.或
2.对数函数与的图象如图，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若对数函数是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.给出下列函数：①；②；③；④.
则上述函数中，与函数相等的是________（填序号）.
5.已知为对数函数，，则_________.
6.已知，若，则a的取值范围为_________.
三、解答题
7.求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
8.若函数的图象过点.
（1）求a的值；
（2）求该函数的定义域.
9.若，求实数a的取值范围.
参考答案
1.
答案：C
解析：，即，解得或3.经检验，或3均是方程的根.
2.
答案：C
解析：由单调性可知.
3.
答案：B
解析：由对数函数的单调性知，，则.
4.
答案：④
解析：对于①，，不相等；
对于②，，不相等；
对于③，，不相等；
对于④，，相等.
5.
答案：
解析：设，
则，
，即.
.
6.
答案：
解析：作出画数的图象，如图所示，由于，故结合图象可知或.
7.
答案：见解析
解析：（1）由题意知解得，且，故的定义域为.
（2）由题意知解得且，故的定义域为.
8.
答案：见解析
解析：（1）将代入中，有，则，所以.
（2）由（1）知，由，解得，所以该函数的定义域为.
9.
答案：见解析
解析：，
.
当时，，则.
当时，，则.
故实数a的取值范围是.
1 / 5
