6.3 对数函数
能力提升
对数及对数型函数图象的应用
1.已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=log2|x|,则函数F(x)=f(x)g(x)的图象大致为( )
2已知函数f(x)=loga(3x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列关系式正确的是( )
A.0
C.03.若a,b,c均为正数,且2a=lo=log2c,则下列关系式正确的是 .(填序号)
①a4.如图所示,过函数f(x)=logcx(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=logmx(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.
(1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值;
(2)当b=a2时,求的最小值.
对数及对数型函数性质的应用
5.若a=loπ,b=log3π,c=log4π,则( )
A.aC.a6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,则不等式f(log2x)>0的解集为 ( )
A. B.∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.∪(2,+∞)
7.设f(x)=若存在x1,x2∈R,x1 ≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函数,则logab=( )
A.1 B.-
C.-1 D.
9.f(x)=若a、b、c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,2) D.(2,4)
10.(多选)若函数f(x)的定义域为D, x∈D, y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称f(x)为“美丽函数”.下列给出的函数中为“美丽函数”的是( )
A.y=x2 B.y=
C.y=ln(2x+3) D.y=2x+3
11.(多选)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列论述,其中正确的是( )
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
12.如果函数f(x)=在R上单调递减,那么a的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是 .
14.设函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足条件:存在[a,b] D,使f(x)在[a,b]上的值域为,则称f(x)为“倍缩函数”,若函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,则实数t的取值范围是 .
15.已知函数f(x)=lo(x2-mx-m).
(1)若m=1,求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-)上是增函数,求实数m的取值范围.
16.已知a∈R,f(x)=log2(1+ax).
(1)若a<0,求f(x2)的值域;
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x2+(2a-5)x]=0的解集中恰有一个元素,求实数a的取值范围;
(3)当a>0时,对任意的t∈,f(x2)在[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过2,求a的取值范围.
答案全解全析
6.3 对数函数
能力提升
1.B 由题意得,函数f(x)、g(x)均为偶函数,∴函数F(x)=f(x)g(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除A、D.当x>2时,f(x)=-x2+2<0,g(x)=log2|x|>0,则F(x)<0,排除C,故选B.
2.A 由题图可得a>1,则0当x=0时,y=logab,
结合题图可得-1即-1=loga又y=logab为单调递增函数,
所以03.答案 ①
解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=x的图象,如图所示.
由题意及图可知,函数y=2x与y=lox图象交点的横坐标为a,y=与y=lox图象交点的横坐标为b,y=与y=log2x图象交点的横坐标为c,从图象可以看出a4.解析 (1)由题意得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4).
因为AC与x轴平行,所以logm4=log32,所以m=9.
(2)由题意得A(a,logca),B(b,logcb),
C(b,logmb).
因为AC与x轴平行,所以logmb=logca,
因为b=a2,所以m=c2,
所以-1,
所以当=1时,取得最小值-1.
5.A 由已知得a=lo1=0,
又因为b=log3π=>0,logπ3c,
所以a故选A.
6.D ∵当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,
∴f(1)=0,
又∵当x∈[0,+∞)时,f(x)为增函数,且f(x)在R上为偶函数,
∴当f(x)>0时,x>1或x<-1,故原不等式等价于log2x>1或log2x<-1,解得x>2或07.B ∵f(x)=
∴1-2a>0,1-2a≠1,a>0,a≠1,
∴0故当x≤1时,函数为减函数;当x>1时,函数为减函数.
∵存在x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,不妨设x1≤1,x2>1,
∴(1-2a,
∵(1-2a≥1-2a,logax2+,
∴1-2a<,∴a>.
故实数a的取值范围是.
8.C 若函数f(x)==2·2x-的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x),即2·-a·2x=-2·2x,解得a=2.因为g(x)是偶函数,所以g(-x)=ln(e-x+1)+bx=ln+bx=ln(ex+1)+(b-1)x=ln(ex+1)-bx,解得b=,
所以logab=log2=-1.
9.D 作出函数f(x)=的图象如图:
不妨设a即log2a=-log2b,则log2(ab)=0,
所以ab=1,
又由图象可知2故选D.
10.BCD 由题意知,函数f(x)的值域关于原点对称.
对于A,函数y=x2的值域为[0,+∞),不关于原点对称,不符合题意;
对于B,函数y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,符合题意;
对于C,函数y=ln(2x+3)的值域为R,关于原点对称,符合题意;
对于D,函数y=2x+3的值域为R,关于原点对称,符合题意.
故选BCD.
11.AC 对于A,当a=0时,由x2-1>0得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;
对于B,当a=0时, f(x)=lg(x2-1),所以x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),
所以f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;
对于D,y=x2+ax-a-1图象的对称轴为直线x=-,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则-≤2,解得a≥-4.当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.
故选AC.
12.答案
解析 因为函数f(x)=在R上单调递减,
所以
解得≤a<.
13.答案
解析 函数f(x)=loga(2x-a)在区间上恒有f(x)>0,等价于在区间上f(x)min>0.
当a>1时,f(x)在R上单调递增,则f>0,即2×-a>1,解得a<,不合题意;
当00,即2×-a<1,解得a>,所以综上,实数a的取值范围是.
14.答案
解析 ∵函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,∴存在[a,b] D,使f(x)在[a,b]上的值域为,∴f(x)在[a,b]上是增函数,∴
即
∴方程2x-+t=0,且有两个不相等的实数根,设=m(m>0),则m2-m+t=0,且有两个大于零的不相等的实数根,
∴解得015.解析 (1)若m=1,则f(x)=lo(x2-x-1),要使函数有意义,需使x2-x-1>0,解得x∈∪,
故函数f(x)的定义域为∪.
(2)∵函数f(x)的值域为R,
∴x2-mx-m>0对一切正实数均成立,
∴Δ=m2+4m≥0,即m∈(-∞,-4]∪[0,+∞),
∴实数m的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞).
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-)上是增函数,则根据复合函数的同增异减原则,
得t=x2-mx-m在区间(-∞,1-)上是减函数,且x2-mx-m>0在区间(-∞,1-)上恒成立,故≥1-,且(1-)-m≥0,
即m≥2-2且m≤2,
∴m∈[2-2,2].
16.解析 (1)f(x2)=log2(1+ax2),当a<0时,0<1+ax2≤1,故f(x2)∈(-∞,0],即f(x2)的值域为(-∞,0].
(2)由题意得log2(1+ax)=log2[(a-4)x2+(2a-5)x],
则
即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.
当a=4时,x=-1,不符合1+ax>0.
当Δ=0,即a=3时,x=-1,也不符合1+ax>0.
当a≠4且a≠3时,方程的解为x1=,x2=-1,
若x1是方程的解,
需1+>0,解得a>4或a<2,
若x2是方程的解,需1-a>0,即a<1.
综上,a∈[1,2)∪(4,+∞).
(3)∵当a>0时,对任意的t∈,f(x2)在[t,t+1]上单调递增,
∴f[(t+1)2]-f(t2)=log2[1+a(t+1)2]-log2(1+at2)≤2,
即≤4,整理得a(3t2-2t-1)+3≥0,
又∵t∈,
∴3t2-2t-1∈,
∴-a+3≥0,解得a≤,
∴a的取值范围是.
2 / 136.3 对数函数
基础过关
对数函数的概念
1.下列函数为对数函数的是( )
A.y=loga(2x) B.y=log22x
C.y=log2x+1 D.y=lg x
2.若函数f(x)=logax+(a2-4a-5)是对数函数,则实数a= .
3.已知f(x)为对数函数, f=-2,则f()= .
对数及对数型函数的图象及简单应用
4.函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0,a≠1)的图象恒过定点( )
A.(1,0) B.(1,4)
C.(2,0) D.(2,-4)
5.已知lg a+lg b=0(a>0,b>0,a≠1,b≠1),则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( )
6.如图所示的是对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象,已知a的值可取2,,则曲线C1,C2,C3,C4相对应的a值依次为( )
A. B.,2
C. D.
反函数
7下列与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称的图象对应的函数解析式是( )
A.y=2x B.y=-2x
C.y=log2(-x) D.y=-log2x
8.函数y=f(x)的图象与函数y=5x(x∈R)的图象关于直线y=x对称,则f(x)= .
9.若函数y=loga(2x-3)+ 的图象过定点(m,n),则函数y=lognx的反函数是 .
对数函数的图象变换
10.函数y=loga(-x)(a>0且a≠1)与函数y=ax(a>0且a≠1)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
11.已知函数y=lg x的图象C,作图象C关于直线y=x的对称图象C1,将图象C1向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,若图象C2所对应的函数为f(x),则f(-3)= .
对数及对数型函数的性质及应用
12.函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为( )
A.(1,4] B.(1,4)
C.[1,4] D.[1,4)
13.函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调递减区间是( )
A.(3,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,-1)
14已知loga<1(a>0,a≠1),则a的取值范围为( )
A. B.
C.(0,1)∪ D.∪(1,+∞)
15.若函数f(x)=logax(0A. B. C. D.
16.已知a=21.2,b=3,则a,b,c的大小关系为 .(用“<”连接)
17.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 .
18.关于x的不等式log3(x2-2x)>1的解集为 .
19.已知函数f(x)=log2(-x)是定义在R上的奇函数,则f= .
20.设函数f(x)=x2-x+m,且f(log2a)=m,log2 f(a)=2(a≠1).
(1)求a,m的值;
(2)求f(log2x)的最小值及对应的x的值.
21.设函数f(x)=loga(a>0且a≠1),若h(x)=f(x)-g(x).
(1)求函数h(x)的定义域;
(2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f(2)=1,求使h(x)>0成立的x的取值集合.
答案全解全析
6.3 对数函数
基础过关
1.D 选项A,B,C中的函数都不具有y=logax(a>0,a≠1)的形式,只有选项D中的函数符合.
2.答案 5
解析 由对数函数的定义可知,
解得a=5.
3.答案
解析 设f(x)=logax(a>0,a≠1),则loga=-2,∴,解得a=,∴f(x)=lox,∴f(.
4.D 令2x-3=1,得x=2,此时f(2)=loga1-4=-4,故函数f(x)的图象恒过定点(2,-4).故选D.
5.B ∵lg a+lg b=0(a>0,b>0,a≠1,b≠1),∴ab=1,∴b=,∴g(x)=-logbx=x=logax,∴函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx=logax的图象关于直线y=x对称,故选B.
6.B 当a>1时,图象单调递增,当07.A 与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称的图象对应的函数解析式是x=log2y,即y=2x.故选A.
8.答案 log5x,x>0
解析 因为同底的指数函数和对数函数互为反函数,并且互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称,所以f(x)=log5x,x>0.
9.答案 y=
解析 ∵对数函数y=logax(a>0,a≠1)过定点(1,0),∴函数y=loga(2x-3)+过定点,∴n=,∴函数y=lognx的反函数是y=.
10.A 当01时,y=ax和y=logax均为增函数,而y=loga(-x)的图象和y=logax的图象关于y轴对称,结合选项可得A符合.
11.答案 -1
解析 函数y=lg x的图象C关于直线y=x的对称图象C1对应的函数为y=10x,将图象C1向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,则C2对应的函数为f(x)=10x+3-2,故f(-3)=1-2=-1.
12.A 要使函数有意义,需满足
解得113.A f(x)=lo(x2-2x-3)是由t=x2-2x-3和y=lot复合而成的,由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,故函数f(x)的定义域为{x|x<-1或x>3},又因为函数t在定义域内单调递减,所以f(x)=lo(x2-2x-3)的递减区间是二次函数t=x2-2x-3在定义域内的递增区间,即为(3,+∞).
14.D 由题意知loga<1=logaa,
当a>1时,1;
当0解得0综上,a的取值范围为∪(1,+∞).
故选D.
15.A 因为函数f(x)=logax(016.答案 c解析 117.答案 (0,+∞)
解析 ∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴函数f(x)的值域为(0,+∞).
18.答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
解析 由题意得x2-2x>3,解得x<-1或x>3,故原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
19.答案 -1
解析 因为函数f(x)=log2(-x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=log2=0,解得a=1.
故f=log2=log2=-1.
20.解析 (1)∵f(log2a)=(log2a)2-log2a+m=m(a≠1),
∴log2a(log2a-1)=0,∴a=1(舍去)或a=2,
∴log2f(a)=log2f(2)=log2(m+2)=2,
∴m=2.
综上,a=2,m=2.
(2)由(1)得f(x)=x2-x+2=.
当x=时,f(x)取得最小值,
∴log2x=时,f(log2x)取得最小值.
∴x=时,f(log2x)取得最小值,最小值为.
21.解析 (1)由1+x>0且1-x>0,得-2(2)h(x)为奇函数.理由如下:
∵x∈(-2,2),∴-x∈(-2,2).
∵h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga=g(x)-f(x)=-h(x),且h(x)的定义域关于原点对称,∴h(x)为奇函数.
(3)由f(2)=1,得a=2,此时h(x)=log2,
由h(x)>0得1+x,∴x>0,又由(1)知-2∴x的取值集合为{x|04 / 10