青岛版九年级上册期末测试数学卷（困难 含答案）

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青岛版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，四边形为平行四边形，若将沿对角线翻折得到，连接，则图中与度数一定相等除外的角的个数有．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，将矩形折叠，使得两顶点与重合，折痕交于，连接，交对角线于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
如图，正方形，点，分别在边，上，，：：，与交于点，与交于点，延长至，使，连接有如下结论：；；；上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的正半轴和轴的正半轴上，当在轴的正半轴上运动时，随之在轴的正半轴上运动，矩形的形状保持不变．若时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则点到点的最大距离是( )
A. B. C. D.
如图，在正方形中，，分别是，的中点，是线段上的一点，的延长线交于点，连接，，将绕点顺时针旋转得，则下列结论：；；垂直平分；若，点在边上运动，则，两点之间距离的最小值是其中结论正确的序号有( )
A. B. C. D.
已知，则锐角的取值范围是( )
A. B. C. D.
某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，，点是的三等分点，半圆与相切，，分别是与半圆弧上的动点，则的最小值和最大值之和是( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系内，以原点为圆心，为半径作圆，点在直线上运动，过点作该圆的一条切线，切点为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
在中，，分别过点，作平分线的垂线，垂足分别为点，，的中点是，连接，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
某商场在统计今年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加了，三月份比二月份减少了，则三月份的销售额比一月份的销售额( )
A. 增加 B. 减少 C. 不增也不减 D. 减少
如图是清朝李演撰写的九章算术细草图说中的“勾股圆方图”，四边形，四边形，四边形均为正方形，，，是某个直角三角形的三边，其中是斜边，若：：，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，矩形中，点在上，，点为延长线上一点，满足，连接交于点，若，，则______．
如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点如果点恰好在的平分线上，那么的长为______．
已知钝角内接于，，将沿所在直线翻折，得到，联结、，如果：：，那么的值为______．
如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，若，则_____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，中，于点，于点，，交于点，连接．
求证：∽；
求证：∽；
若，，求的长．
如图，在四边形中，，，分别平分，，并交线段，于点，点，不重合在线段上取点，点在之间，使当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点记，，已知，当为中点时，．
判断与的位置关系，并说明理由．
求，的长．
若．
当时，通过计算比较与的大小关系．
连结，当所在直线经过四边形的一个顶点时，求所有满足条件的的值．
如图，在的正方形网格中，，，均为小正方形的顶点，是与网格线的交点．用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹．
在图中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；在上画点，使；
在图中，在上画点不与点重合，使；并找出关于的对称点．
定义：长宽比为为正整数的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图所示．
操作：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为．
操作：将沿过点的直线折叠，使点、点分别落在边，上，折痕为则四边形为矩形．
证明：四边形为矩形；
点是边上一动点．
如图，是对角线的中点，若点在边上，，连接则______；
若，点在边上，当的周长最小时，求的值；
直线经过点，过点作，垂足为，连接，交于点，若，则的最大值为________________．
如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，连接交于点．
求证：是的切线；
若，半径为，在圆上取点，使，求点到直线的距离．
如图，四边形的顶点在上，是的直径，延长、交于点，连接、交于点，作，垂足为点，已知．
求证：是的切线；
若，，求的值；
若，求证：．
如图，以 的边为直径的交对角线于点，交于点连结过点作于点，是的切线．
求证： 是菱形；
已知，求的长．
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．
试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
随着养老机构养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等建设稳步推进，某市拥有的养老床位不断增加．
该市的养老床位数从年底的万个增长到年底的万个，求该市这两年从年底到年底拥有的养老床位数的平均年增长率．
若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共间，这三类养老专用房间分别为单人间个养老床位、双人间个养老床位、三人间个养老床位，因实际需要，单人间房间数在至之间包括和，且双人间的房间数是单人间的倍，设规划建造单人间的房间数为．
若该养老中心建成后可提供养老床位个，求的值．
该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、折叠变换和相似三角形的判定和性质；首先利用翻折结合平行四边形的性质得到，再利用相似三角形的性质得到，，得出结果．
【解答】
解：设和交于点，
由翻折知，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，，
又，
，
，
即，
，
又，
∽，
，，
，
图中与度数一定相等除外的角有个，
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法；首先根据矩形的性质可知，，得出，，，得出，根据图形翻折的性质可得，进一步得出，根据三角形的外角性质可得，，所以，然后证明，，再根据相似三角形的性质进行解答，即可求解．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
，，，
，
根据图形翻折的性质可得，
，
是的外角，是的外角，
，，
，
又，
，
，
，，
，
设，则，，
，，
，
，，
，
，即，
整理，得，
解得，舍去，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．正确．证明≌，即可判断．正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．错误．设的面积为，由，推出，∽，推出的面积为，的面积为，推出的面积的面积，由此即可判断．正确．作于，设，，则，，通过计算证明即可解决问题．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
在与中，
≌，
，
，
，
，
；故正确；
，
，
：：，
：：：，
，
，
，
，
；故正确；
设的面积为，
，
，∽，
的面积为，的面积为，
的面积的面积，
：：，故错误，
作于，设，，则，，
由∽，可得，
由∽，可得，
，
，
，
，
，，
，
，
；故正确，
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质、三角形的三边关系、直角三角形的斜边中线性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
取的中点，连接，，过点作轴于点，先利用，点的纵坐标为求出，，根据同角的余角相等易得∽，利用相似三角形的性质求出，用勾股定理求出，由矩形的性质可得的长，进而求出的长度，再利用直角三角形性质求出的长度，最后由三角形的三边关系可得当、、共线时，点到点的距离有最大值．
【解答】
解：如图，取的中点，连接，，过点作轴于点，
，点的纵坐标为，
，，
，
即，
，
．
四边形是矩形，
，
，
．
，
∽，
．
点的纵坐标为，
，
，
，
，
矩形的边，为的中点，
，
，
在中，由勾股定理得，
在中，
，
当、不过点时，
当、、共线时，点到点的距离有最大值，最大值为．

5.【答案】
【解析】解：延长交于点，连接，，，如图，
正方形中，，分别是，的中点，
是线段，的垂直平分线．
，．
是绕点顺时针旋转得到，
≌，
．
．
的结论正确；
，
．
，
．
．
，
．
，
．
≌，
．
，
．
，
．
，
．
即．
，
．
．
．
的结论正确；
，，
，
，
，．
．
．
，
．
点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上．
．
点在对角线上，
．
，
为等腰直角三角形．
平分，
垂直平分．
的结论正确；
由以上可知：点在正方形的对角线上运动，
当时，的值最小．
此时点与点重合，
．
的结论不正确．
综上，结论正确的序号有：，
故选：．
延长交于点，连接，，，由已知可得为，的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得，由四边形内角和定理通过计算可得；利用平行线的性质可得，则，可说明的结论正确；通过证明点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得，得到，，三点共线，得到为等腰直角三角形，则的结论正确；由题意点在对角线上运动，当时，的值最小，连接解直角三角形的知识可得的结论不正确．
本题主要考查了正方形的性质，轴对称，线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系，圆周角定理，垂线段的性质，四点共圆的判定与性质，图形旋转的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
先明确，，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．
【解答】
解：，，
余弦函数随角增大而减小，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了坡度，坡角的概念和特殊角的三角函数值．解题关键是理解坡度的定义．解题时，设坡角为，运用坡度的定义，求出的值，再利用特殊角的三角形函数值求出的度数即可．
【解答】
解：斜坡的坡度，设坡角为，
，
．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
设与相切于点，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，当在边上时，与重合时，最大值，由此不难解决问题．
【解答】
解：如图，设与相切于点，连接，作垂足为交于，
此时垂线段最短，最小值为，
，，
，
点是的三等分点，
，，
，
与相切于点，
，
，
，
，
最小值为，
如图，当在边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，
最大值，
长的最大值与最小值的和是．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，作于，先利用一次解析式得到，，再利用勾股定理可计算出，则利用面积法可计算出，连接，如图，利用切线的性质得，则，然后利用垂线段最短求的最小值．
【解答】
解：如图，直线与轴交于点，与轴交于点，作于，
当时，，则，
当时，，解得，则，
，
，
，
连接，如图，
为的切线，
，
，
当的值最小时，的值最小，
而的最小值为的长，
的最小值为．
故选D．
10.【答案】
【解析】解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长交于点，延长交于点，
在中，，分别过点，作平分线的垂线，垂足分别为点，，
，
点，，，四点到的中点的距离相等，
点，，，四点在以斜边为直径的圆上，
平分，
，
，故选项C正确，
点是的中点，
，
又，
，
点是线段的中点，
，
，
，，
，
，，
点是的中点，
，
≌，
，
故选项D正确，
，
故选项B正确，
综上，由已知条件不能证出，故选项A的结论不正确．
故选：．
根据题意作出图形，可知点，，，四点共圆，再结合点是中点，可得，又，，可得≌，可得，延长交于点，可得是的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，得到角之间的关系，可得．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆周角定理，中位线定理，全等三角形的性质与判定等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：设一月份销售额为，
则二月份销售额，三月份就是，
因此三月份的销售额比一月份的销售额减少；
答：三月份的销售额比一月份的销售额减少．
故选D．
要求三月份的销售额比一月份的销售额如何，就要先设出一个未知数，表示出一月份和三月份的销售额，然后比较计算．
此题关键是注意利用单位来进行计算，还有就是要设一月份销售额才简单．
12.【答案】
【解析】解：：：，
设，，
四边形，四边形，四边形均为正方形，
，，，
由题意得，，，
，
，
，，是某个直角三角形的三边，其中是斜边，
，
，
解得：负值舍去，
，
故选：．
设，，根据正方形的性质得到，，，由题意得，，，求出，，根据勾股定理列方程即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由余角的性质可得，根据相似三角形的性质可求，由等腰三角形的性质和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
设，则，，
，
，
，
，，
平分，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
根据直角三角形的边角关系可求出，，再根据相似三角形，用含有的代数式表示、、，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出，进而列方程求出即可．
本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，用含有的代数式表示、、是正确解答的关键．
15.【答案】
【解析】解：延长交于，设、交于、，连接，，如图，
：：，
设，，
由翻折知是、的垂直平分线，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，，
∽，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
，
故答案为：．
延长交于，设、交于、，连接，，设，，由翻折知是、的垂直平分线，则，，说明≌，得，则，再利用∽，可得，从而解决问题．
本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用相似表示出是解题的关键，综合性较强，属于中考压轴题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形，一元二次方程的解法，掌握正方形的判定和性质，勾股定理和添加辅助线构造正方形是关键．
过点分别作于，交延长线于得矩形，先证明矩形是正方形，再求得，设，则，，利用勾股定理得方程，解方程求得，最后在中，由勾股定理求得即可解答．
【解答】
解：过点分别作于，交延长线于得矩形，
，
，
，
矩形是正方形，
四边形是正方形，，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，舍去，
，
在中，由勾股定理得：．
17.【答案】证明：于点，于点，
，
，
∽．
证明：∽，
，
，
，
∽．
解：过点作交于，过点作于．
在中，，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，，，
≌，
，
．
【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明即可．
过点作交于，过点作于利用相似三角形的性质证明是等腰直角三角形，再证明≌即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
18.【答案】解：与的位置关系为：，理由如下：
如图所示：
，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
；
令，得，
，
令，得，
，
把代入，
解得：，即，
，
是中点，
，
，
，
解得：，
，
；
连接并延长交于点，如图所示：
，，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
当时，，
解得：，
，
，
；
Ⅰ当经过点时，如图所示：
，
则；
Ⅱ当经过点时，如图所示：
，，，
，
，
，
∽，
，
，
解得：；
Ⅲ当经过点时，如图所示：
，
∽，
，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
由图可知，不可能过点；
综上所述，当或或时，所在的直线经过四边形的一个顶点．
【解析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的的判定与性质、勾股定理、平行线的判定、相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
推出，即可得出；
求出，，把代入，解得，即，得出，由，，得出，，即可得出结果；
连接并延长交于点，易证四边形是平行四边形，得出，求出，，，得出，，，，由勾股定理得，，当时，求出，即可得出；
Ⅰ当经过点时，，则；
Ⅱ当经过点时，由，得出∽，则，即可求出；
Ⅲ当经过点时，由，得出∽，则，求出，，即可得出，由图可知，不可能过点．
19.【答案】解：如图中，线段，点就是求作的点；
如图中，点，点即为所求．

【解析】将线段绕点逆时针旋转得到线段，取格点，，连接交于点，连接，线段，点即为所求；
取格点，连接交于点，取的中点，连接，取的中点，连接交于点，连接交于点，连接，延长交于点，作点关于的对称点，连接，，交于点，连接，延长交于点，点，点即为所求．
本题考查作图旋转变换，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：证明：设正方形的边长为，
是正方形的对角线，
，
由折叠性质可知，，
则四边形为矩形，
是等腰直角三角形．
，
：：：．
四边形为矩形；
；
解：如图，作关于直线对称的点，连接交于点，连接．
则此时的周长最小，
，
，
设，则
．
；

【解析】
【分析】
此题相似形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质和判定，属于较难题．
先判断出，进而判断出四边形是矩形，再求出：的值，即可得出结论；
作，，垂足分别为，，先判断出四边形是矩形，进而得出，，再判断出∽，进而判断出，即可得出结论；
作关于直线对称的点，连接交于点，则此时的周长最小，判断出，得出进而得出即可得出结论；
如图：点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆，作，，，并反向延长交于，求出、、，再根据相似三角形的判定和性质得出答案．
【解答】
解：见答案；
解：如图，作，，垂足分别为，．
四边形是矩形，，
四边形是矩形．
，，．
，．
为中点，
，．
，
，又，
，
，
∽．
．
．
故答案为；
见答案；
如图：点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆，作，，，并反向延长交于，
四边形为矩形，，
，
，
，
，
∽
，
故的最大值为．
故答案为．
21.【答案】证明：连接，如图，
平分交于点，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：当点在上时，的长为点到直线的距离，
连接，，过点作于点，过点作于点，如图，
，
，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
．
，
，，
．
，
，
．
，
，
．
，，，
四边形为矩形，
．
点到直线的距离为；
当点在上时，
连接，交于点，如图，
，，
．
由知：，
，
即为的平分线，
，
，
的长为点到直线的距离，
，
．
综上，若，则点到直线的距离为或．
【解析】连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和切线的判定定理解答即可；
利用分类讨论的思想方法分：当点在上时，的长为点到直线的距离，当点在上时两种情形解答：连接，，过点作于点，过点作于点，利用等边三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得即可得出结论；连接，交于点，则的长为点到直线的距离，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，矩形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
22.【答案】证明：连接，
由圆周角定理得，，
，
，
是直径，
，
在和中，
，
≌，
，又，
，又，
，
是的切线；
解：由知，，，
，
．
在中，，，，
，即；
证明：由知，是的中位线，
，．
∽，
，
，即，
，，
，
，
．
【解析】连接，证明≌，得到，得到是的中位线，根据三角形中位线定理、切线的判定定理证明；
利用正弦的定义计算；
证明∽，根据相似三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质证明．
本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键．
23.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
是菱形；
如图，连接，
由得，，，
，
：：，
点是的中点，
四边形是菱形，
经过点，
是的直径，
，
，
，
∽，
：：：：，
，，
在中，设，则，
由勾股定理得，，
解得：，
．
【解析】如图，连接，根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，推出，于是得到结论；
如图，连接，由得，：：，得到点是的中点，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质得到，，由勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
24.【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染个人．
人．
答：经过三轮传染后共有人会患流感．
【解析】设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据数量关系，列式计算．
25.【答案】解：设该市这两年从年度到年底拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：
，
解得：，不合题意，舍去．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为．
设规划建造单人间的房间数为，则建造双人间的房间数为，三人间的房间数为，
由题意得：，
解得：．
答：的值是．
设该养老中心建成后能提供养老床位个，
由题意得：，
，
随的增大而减小．
当时，的最大值为个，
当时，的最小值为个．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位个，最少提供养老床位个．
【解析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次方程以及解一元二次方程，解题的关键是：根据数量关系列出关于的一元二次方程；根据数量关系找出关于的一元一次方程；根据数量关系找出关于的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程方程组或函数关系式是关键．
设该市这两年从年度到年底拥有的养老床位数的平均年增长率为，根据“年的床位数年的床位数增长率的平方”可列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论；
设规划建造单人间的房间数为，则建造双人间的房间数为，三人间的房间数为，根据“可提供的床位数单人间数倍的双人间数倍的三人间数”即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论；
设该养老中心建成后能提供养老床位个，根据“可提供的床位数单人间数倍的双人间数倍的三人间数”即可得出关于的函数关系式，根据一次函数的性质结合的取值范围，即可得出结论．
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