苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.2.2空间两条直线的位置关系课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
13.2.2 空间两条直线的位置关系
问题　六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？
CD与BE的位置关系是什么？
提示 是异面直线；是平行直线.
情景引入
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
检测反馈
1
知识梳理
PART ONE
知识点　等角定理
文字语言 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
图形语言

符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′
作用 证明两个角相等
知识梳理
知识点　异面直线的判断
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
定理法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线
知识梳理
2
题型探究
PART ONE
例1　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：四边形MNA1C1是梯形.
一、平行线的传递性
题型探究
证明　如图 ，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
题型探究
二、等角定理的应用
题型探究
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴∠BAC＝∠B＇A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
题型探究
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点.求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
题型探究
证明　如图，连接EE1.∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，
∴A1E1∥AE，且 A1E1=AE ，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，
∴A1A∥E1E，且A1A=E1E，
又A1A∥B1B， 且A1A=B1B， ∴E1E∥B1B，E1E=B1B，
∴四边形E1EBB1是平行四边形.
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
即∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行且方向相同，
∴∠B1E1C1＝∠BEC.
题型探究
若空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
反思感悟
例3　(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有____对.
三、异面直线的判断
8
解析　与AB异面的有侧棱PD和PC，
同理，与底面的各条边异面的侧棱都有两条，
故共有异面直线4×2＝8(对).
题型探究
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解　三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
还原的正方体如图所示.
题型探究
判定异面直线的方法
(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内.
(2)利用异面直线的判定定理.
(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.
反思感悟
四、异面直线所成的角
例4　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角的大小；
解　∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴BE与CG所成的角为45°.
∴∠EBF＝45°，
题型探究
(2)FO与BD所成的角的大小.
题型探究
解　如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO是FO与BD所成的角，
连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
题型探究
延伸探究
在本例中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角.
解　如图，连接EG，HF，
则P为HF的中点，
连接AF，AH，则OP∥AF，
又CD∥AB，
∴∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，
∵△ABF是等腰直角三角形，∴∠BAF＝45°，
∴OP与CD所成的角为45°.
题型探究
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求.
反思感悟
3
检测反馈
PART THREE
1.若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.无法确定
√
解析　一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补.
检测反馈
2.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是
A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能
√
解析　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；
AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；
A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面.
检测反馈
3.(多选)如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有
√
√
检测反馈
解析　A中，直线GH∥MN；
B中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，且N GH，
因此直线GH与MN异面；
C中，连接MG(图略)，GM∥HN，
因此，GH与MN共面；
D中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，且G MN，
所以GH与MN异面.
检测反馈
4.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角的大小为________.异面直线AD′与BC所成的角的大小为________.
90°
45°
解析　∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，
∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，且∠D′AD＝45°.
检测反馈
5.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成的角的大小为________.
60°
解析　依题意知，EG∥BD，EF∥AC，
所以∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，
又∠GEF＝120°，
所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
检测反馈