苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.2.1平面的基本性质练习（解析版）

第十三章　立体几何初步
13.2　基本图形位置关系
13.2.1 平面的基本性质
一、选择题
1.下列有关平面的说法正确的是(　　)
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.圆和平行四边形都可以表示平面
2.下列命题中正确的是(　　)
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
3.已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
4.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β α∩β＝A
D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
5.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　　)
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
二、填空题
6.平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面.
7.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是________.
8.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.
三、解答题
9.若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线.
10.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
能力提升
11.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与HG交于点M，则(　　)
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在AC上，也可能在BD上
D.M不在AC上，也不在BD上
12.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且＝＝1，＝＝2.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
创新猜想
13.(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　)
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
14.(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则(　　)
A.A，C，O1，D1四点共面
B.D，E，G，F四点共面
C.A，E，F，D1四点共面
D.G，E，O1，O2四点共面
第十三章　立体几何初步
13.2　基本图形位置关系
13.2.1 平面的基本性质答案
一、选择题
1.下列有关平面的说法正确的是(　　)
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.圆和平行四边形都可以表示平面
【解析】　我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确.
【答案】　D
2.下列命题中正确的是(　　)
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
【解析】　共线的三点不能确定一个平面，故A错；当A，B，C，D四点共线时，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形.
【答案】　B
3.已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
【解析】　当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线.
【答案】　D
4.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β α∩β＝A
D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
【解析】　∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β).
由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β＝A的写法错误.
【答案】　C
5.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　　)
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
【解析】　如图①②所示，A，C，D均不正确，只有B正确.
【答案】　B
二、填空题
6.平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面.
【解析】　(1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；
(2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点.
【答案】　1或4
7.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是________.
【解析】　命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱.命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上.命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内.所以正确命题的个数为0.
【答案】　0
8.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.
【解析】　(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.
(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.
【答案】　(1)4　(2)7
三、解答题
9.若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线.
解　∵若α∩β＝l，A，B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长BA交l于D，则D∈平面ABC，
∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图示如图.
10.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
证明　法一　∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P，Q，R三点共线.
法二　∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.
能力提升
11.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与HG交于点M，则(　　)
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在AC上，也可能在BD上
D.M不在AC上，也不在BD上
【解析】　由题意得EF 平面ABC，HG 平面ACD，又EF∩HG＝M，故M∈平面ABC，且M∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M一定在直线AC上.
【答案】　A
12.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且＝＝1，＝＝2.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
证明　连接EF，GH，AC.
因为＝＝1，＝＝2，
所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG，
所以EH，FG共面，且EH与FG不平行，
不妨设EH∩FG＝P，
则P∈EH，EH 平面ABD，所以P∈平面ABD；同理P∈平面BCD.
又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P.
创新猜想
13.(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　)
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
【解析】　在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A，B，C均正确，D不正确.
【答案】　ABC
14.(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则(　　)
A.A，C，O1，D1四点共面
B.D，E，G，F四点共面
C.A，E，F，D1四点共面
D.G，E，O1，O2四点共面
【解析】　因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面.
【答案】　ACD
2 / 8