苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.2.2空间两条直线的位置关系教学设计

第十三章　立体几何初步
13.2.2 空间两条直线的位置关系
《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的．
课程目标 学科素养
1.会判断空间两条直线的位置关系. 2.能用等角定理解决一些简单的相关问题． 3.理解异面直线所成的角的概念． 在学习和应用定理的过程中，通过判定和证明空间两条直线的位置关系，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
1.教学重点：会判断空间两条直线的位置关系.
2.教学难点：理解异面直线所成的角的概念．
多媒体调试、讲义分发。
观察下面图形.
问题：六角螺母中直线CD与BE的位置关系是什么？直线AB与CD的位置关系是什么？
1.直线与直线平行具有传递性
平行于同一条直线的两条直线平行.
2.定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
一、平行线的传递性
例1　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA1C1是梯形．
证明　如图 ，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，且MN＝AC.
由正方体的性质，
得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
二、等角定理的应用
例2　(1)如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
答案　
解析　∵AA′∩BB′＝O，且＝＝，
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，且＝＝，
∴＝2＝.
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
证明　如图，连接EE1.
∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，
∴A1E1AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，
∴A1AE1E，
又A1AB1B，∴E1EB1B，
∴四边形E1EBB1是平行四边形．
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
即∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行且方向相同，
∴∠B1E1C1＝∠BEC.
反思感悟　若空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
三、异面直线的判断
例3　(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．
答案　8
解析　与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的侧棱都有两条，故共有异面直线4×2＝8(对)．
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解　三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
还原的正方体如图所示．
反思感悟　判定异面直线的方法
(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内．
(2)利用异面直线的判定定理．
(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．
四、异面直线所成的角
例4　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角的大小；
(2)FO与BD所成的角的大小．
解　(1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO是FO与BD所成的角，
连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
延伸探究
在本例中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．
解　如图，连接EG，HF，
则P为HF的中点，
连接AF，AH，则OP∥AF，
又CD∥AB，
∴∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，
∵△ABF是等腰直角三角形，∴∠BAF＝45°，
∴OP与CD所成的角为45°.
反思感悟　求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．
1．若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角(　　)
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．无法确定
答案　C
解析　一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．
2．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
答案　D
解析　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面．
3．(多选)如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　)
答案　BD
解析　A中，直线GH∥MN；
B中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，且N GH，因此直线GH与MN异面；
C中，连接MG(图略)，GM∥HN，
因此，GH与MN共面；
D中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，且G MN，所以GH与MN异面．
4．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角的大小为________．异面直线AD′与BC所成的角的大小为________．
答案　90°　45°
解析　∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，且∠D′AD＝45°.
5．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成的角的大小为________．
答案　60°
解析　依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.
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