苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.2.2空间两条直线的位置关系练习（解析版）

第十三章　立体几何初步
13.2.2 空间两条直线的位置关系
一、选择题
1．空间两条互相平行的直线指的是(　　)
A．在空间没有公共点的两条直线
B．分别在两个平面内的两条直线
C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′等于(　　)
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
3． 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
4．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．90° D．60°
5.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是(　　)
A．l与AD平行 B．l与AD相交
C．l与AC平行 D．l与BD平行
6．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1各棱长均为1，E为C1D1的中点，AE＝，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________．
7． 已知在正四面体A－BCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成的角的余弦值为_____________．
8．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
9. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形．
10. 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，求EF与AB所成的角的大小.
11．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)
A．4条 B．3条 C．5条 D．2条
12．(多选)已知空间四边形ABCD，顺次连接四边中点所得的四边形可能是(　　)
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
13． (多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是(　　)
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MN∥CD
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
15.如图所示，已知在三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD) D．MN<(AC＋BD)
16. 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长．
第十三章　立体几何初步答案
13.2.2 空间两条直线的位置关系
一、选择题
1．空间两条互相平行的直线指的是(　　)
A．在空间没有公共点的两条直线
B．分别在两个平面内的两条直线
C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
【答案】　D
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′等于(　　)
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
【答案】　C
【解析】　∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，
∴∠AOB与∠A′O′B′相等或互补，
∵∠AOB＝130°，
∴∠A′O′B′＝130°或50°.
3． 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
【答案】　A
【解析】　如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
4．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．90° D．60°
【答案】　D
【解析】　连接AD1，D1C，BC1(图略)，因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角．又△D1AC是等边三角形，所以∠D1AC＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.
5.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是(　　)
A．l与AD平行 B．l与AD相交
C．l与AC平行 D．l与BD平行
【答案】　CD
【解析】　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，
这与l与B1C1不平行矛盾，
∴l与AD不平行．
又l在上底面中，AD在下底面中，
故l与AD无公共点，故l与AD不相交．
CD可以成立．
6．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1各棱长均为1，E为C1D1的中点，AE＝，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________．
【答案】　
【解析】　因为A1B1∥C1D1，所以∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角．在△AED1中，cos∠AED1＝＝＝.
7． 已知在正四面体A－BCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成的角的余弦值为_____________．
【答案】　
【解析】　如图，取AD的中点F，连接EF，CF，因为E是AB的中点，则EF∥BD，∠CEF(或其补角)就是异面直线CE与BD所成的角，设正四面体的棱长为1，则CE＝CF＝，EF＝，cos∠CEF＝＝.
8．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
【答案】　
【解析】　如题干图，＝＝＝，
可证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴＝，
∴＝×＝.
9. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形．
证明　如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG∥FC1，
且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形．
所以BF∥GC1，BF＝GC1，
又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形．
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，
所以BF∥ED1，BF＝ED1，
所以四边形BFD1E是平行四边形．
10. 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，求EF与AB所成的角的大小.
解　取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，EG＝AB，GF∥CD，GF＝CD，
由AB＝CD，知EG＝FG，
∴∠GEF(或其补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或其补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为60°，
∴∠EGF＝60°或120°.
由EG＝FG，知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝60°时，∠GEF＝60°；
当∠EGF＝120°时，∠GEF＝30°.
∴EF与AB所成的角为60°或30°.
11．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)
A．4条 B．3条 C．5条 D．2条
【答案】　A
【解析】　连接AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．
12．(多选)已知空间四边形ABCD，顺次连接四边中点所得的四边形可能是(　　)
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】　BCD
【解析】　如图所示，设E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
则EH∥BD且EH＝BD，同理可得FG∥BD且FG＝BD，EF∥AC且EF＝AC，
∴EH∥FG且EH＝FG，则四边形EFGH为平行四边形．
①若AC⊥BD，则EH⊥EF，此时，平行四边形EFGH为矩形；
②若AC＝BD，则EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为菱形；
③若AC⊥BD且AC＝BD，则EH⊥EF且EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为正方形．
13． (多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是(　　)
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MN∥CD
【答案】　AC
【解析】　把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确．
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
【答案】　D
【解析】　如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°＜θ≤60°.
15.如图所示，已知在三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD) D．MN<(AC＋BD)
【答案】　D
【解析】　如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，
则ME＝AC，NE＝BD，
所以ME＋NE＝(AC＋BD)．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN<(AC＋BD)．
16. 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长．
解　如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝AC.
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，
∴AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝.
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