苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.2.3直线与平面的位置关系—直线与平面平行的判定与性质练习（解析版）

13.2.3 直线与平面的位置关系—直线与平面平行的判定与性质
1．下列条件中能得出直线m与平面α平行的是(　　)
A．直线m与平面α内所有直线平行
B．直线m与平面α内无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　)
A．有且只有一个
B．有无数多个
C．有且只有一个或不存在
D．不存在
3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是(　　)
A．DD1 B．A1D1
C．C1D1 D．A1D
4.如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)
A．GH∥SA B．GH∥SD
C．GH∥SC D．以上均有可能
5.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点．则下列结论成立的是(　　)
A．OM∥平面PCD B．OM∥平面PDA
C．OM∥平面PBA D．OM∥平面PBC
6.如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
7．在三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系为________．
8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1.
10.如图，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．
11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
12.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有(　　)
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
13．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b(　　)
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平面BCC1B1的位置关系是________．
15．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________________．
16.如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．
13.2.3 直线与平面的位置关系—直线与平面平行的判定与性质
1．下列条件中能得出直线m与平面α平行的是(　　)
A．直线m与平面α内所有直线平行
B．直线m与平面α内无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
【答案】　C
【解析】　对于A，本身说法错误；对于B，当直线m在平面α内时，m与α不平行；对于C，能推出m与α平行；对于D，当直线m在平面α内时，m与α不平行．
2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　)
A．有且只有一个
B．有无数多个
C．有且只有一个或不存在
D．不存在
【答案】　A
【解析】　在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．
3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是(　　)
A．DD1 B．A1D1
C．C1D1 D．A1D
【答案】　D
【解析】　∵A1B1綊AB綊CD，∴A1B1綊CD，
∴四边形A1B1CD为平行四边形，
∴A1D∥B1C，
又B1C 平面AB1C，A1D 平面AB1C，
∴A1D∥平面AB1C.
4.如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)
A．GH∥SA B．GH∥SD
C．GH∥SC D．以上均有可能
【答案】　B
【解析】　∵GH∥平面SCD，GH 平面SBD，
平面SBD∩平面SCD＝SD，
∴GH∥SD.
5.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点．则下列结论成立的是(　　)
A．OM∥平面PCD B．OM∥平面PDA
C．OM∥平面PBA D．OM∥平面PBC
【答案】　AB
【解析】　矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O为BD的中点，在△PBD中，因为点M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA，平面PBC相交．
6.如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
【答案】　平行
【解析】　∵M，N分别是BF，BC的中点，
∴MN∥CF，
又四边形CDEF为矩形，
∴CF∥DE，∴MN∥DE.
又MN 平面ADE，DE 平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
7．在三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系为________．
【答案】　平行
【解析】　如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2∶1，
又AE∶ES＝2∶1，∴EG∥SF，
又SF 平面SBC，EG 平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
【答案】　
【解析】　∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，
MN 平面PQNM，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1.
证明　取D1B1的中点O，连接OF，OB(图略)．
∵F为C1D1的中点，
∴OF∥B1C1且OF＝B1C1，
又BE∥B1C1，BE＝B1C1，∴OF∥BE且OF＝BE，
∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.
∵EF 平面BDD1B1，BO 平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
10.如图，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC 平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形．
11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
【答案】　A
【解析】　由长方体的性质知，EF∥平面ABCD，
∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH.
又EF∥AB，∴GH∥AB.
12.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有(　　)
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】　C
【解析】　∵＝，∴EF∥AB.
又EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
同理，由＝，
可证CD∥平面EFGH.
∴与平面EFGH平行的直线有2条．
13．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b(　　)
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
【答案】　B
【解析】　因为直线a∥平面α，直线a∥平面β，
所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行．
设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a，
所以m∥n.
又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m∥β.
又因为α∩β＝b，m α，所以m∥b.
又因为m∥a，所以a∥b，故选B.
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平面BCC1B1的位置关系是________．
【答案】　相交　平行
【解析】　∵M是A1D1的中点，
∴直线DM与直线AA1相交，
∴DM与平面A1ACC1有一个公共点，
∴DM与平面A1ACC1相交．
取B1C1的中点M1，连接MM1，M1C(图略)．
∵MM1∥C1D1，C1D1∥CD，
∴MM1∥CD.
∵MM1＝C1D1，C1D1＝CD，
∴MM1＝CD.
∴四边形DMM1C为平行四边形，
∴DM∥CM1，
又DM 平面BCC1B1，CM1 平面BCC1B1，
∴DM∥平面BCC1B1.
15．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________________．
【答案】　平行四边形
【解析】　∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB 平面ABC，
∴EG∥AB.
同理FH∥AB，∴EG∥FH.
又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，CD 平面BCD，
∴GH∥CD.同理EF∥CD，
∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形．
16.如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．
解　存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，
PM∥平面BCE.
证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN∥AB且MN＝AB，
又PC∥AB且PC＝AB，所以MN∥PC且MN＝PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
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