苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.2.4平面与平面的位置关系—两平面平行的判定与性质教学设计

第十三章　立体几何初步
13.2　基本图形位置关系
13.2.4 平面与平面的位置关系—两平面平行的判定与性质
《课程标准》指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求．在《立体几何初步》部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证．学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法．
课程目标 学科素养
1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理. 2.会利用“线线平行”“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”“线面平行”及“面面平行”等问题. 3.了解两个平行平面间的距离的概念． 在发现、推导和应用两平面平行的判定与性质的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
1.教学重点：掌握两平面平行的判定和性质定理.
2.教学难点：会用判定和性质定理证明相关问题．
多媒体调试、讲义分发。
贴瓷砖的工人在检验地面是否水平时，只需将水准器交叉放两次，若水准器的气泡都居中就能判定地面是水平的.
问题　(1)这个实例给出了判断两平面平行的一种怎样的方法？
(2)若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
提示　(1)在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一个平面即可.
(2)不一定，这两个平面也可能相交.
知识点一　两个平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
平面α与 平面β平行 α∥β 没有公共点
平面α与平面β相交 α∩β＝a 有一条公共直线
知识点二　平面与平面平行的判定定理
表示 定理 图形 文字 符号
两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 若a α，b α，a∩b＝A， 且a∥β，b∥β， 则α∥β
思考　应用面面平行的判定定理应具备哪些条件？
答案　①平面α内两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝A.
②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.
知识点三　平面与平面平行的性质定理
表示 定理 图形 文字 符号
两个平面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
注意：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段．我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．
思考　若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？与另一个平面内的直线有什么位置关系？
答案　若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行．与另一个平面内的直线平行或异面．
一、平面与平面平行的判定定理的应用
例1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
反思感悟　两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．
跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
二、平面与平面平行的性质定理的应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，
又DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
反思感悟　利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条．
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)．
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上．
(4)由定理得出结论．
跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
(2)试确定点F的位置．
(1)证明　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形．
(2)解　取BB1的中点M，
连接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为所在棱的中点，
∴MEA1B1，
又A1B1C1D1，
∴MEC1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，
又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM綊C1F，
∴F为棱CC1的中点．
三、线面平行、面面平行的应用
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
证明　过点E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，如图，
则＝.
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
∴＝，∴FG∥B1C1，
又B1C1∥BC，∴FG∥BC，
又FG 平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴FG∥平面ABCD，
又EG∥AB，且EG 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴EG∥平面ABCD，
∵FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD.
∵EF 平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
反思感悟　(1)证明线面平行的两种方法：①由线线平行推出线面平行；②由面面平行推出线面平行．
(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用．
跟踪训练3　如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∴AB∥CD，可得＝.
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
∴＝，解得BD＝.
1．下列命题正确的是(　　)
A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
答案　B
解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行．
2．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是(　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
答案　D
解析　∵α∥β，∴α与β无公共点，
又m α，n β，
∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面．
3．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有(　　)
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
答案　D
解析　如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，
平面BCC1B1∥平面FEE1F1，
平面AFF1A1∥平面CDD1C1，
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
4．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
答案　B
解析　因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
5.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________.
答案　4∶25
解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝2＝4∶25.
空间点、线、面的位置关系应依托长方体模型，教学中，让学生仔细地观察“教室”这一长方体模型和其他长方体模型的点、线、面的位置关系，这样显得更直观，容易得出直线和平面平行的判定定理，平面和平面平行的判定定理以及直线和平面平行的性质定理，平面和平面平行的性质定理；
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