苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.2.4平面与平面的位置关系—两平面平行的判定与性质练习（解析版）

13.2.4 平面与平面的位置关系—两平面平行的判定与性质
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B．两个平面有一个公共点，则它们相交或重合
C．平行于同一个平面的两平面平行
D．夹在两个平行平面间的平行线段相等
2．已知平面α与平面β平行，直线a α，则下列说法正确的是(　　)
A．a与α内所有直线平行
B．a与β内的无数条直线平行
C．a与β内的任何一条直线都不平行
D．a与β内的任何一条直线平行
3．若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，则过点M的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
4.如图，在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　)
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为(　　)
A．1 B．1.5
C．2 D．3
6.已知点S是等边三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
7．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________.
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
9.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.
10.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
11．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
12.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　)
A．相似但不全等的三角形
B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形
D．以上结论都不对
13．已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
14．已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝________.
15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.
16．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形．在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由)．
13.2.4 平面与平面的位置关系—两平面平行的判定与性质答案
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B．两个平面有一个公共点，则它们相交或重合
C．平行于同一个平面的两平面平行
D．夹在两个平行平面间的平行线段相等
【答案】　BCD
【解析】　A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，两平面有公共点，包括两平面重合或相交，B正确；C，D显然正确．
2．已知平面α与平面β平行，直线a α，则下列说法正确的是(　　)
A．a与α内所有直线平行
B．a与β内的无数条直线平行
C．a与β内的任何一条直线都不平行
D．a与β内的任何一条直线平行
【答案】　B
【解析】　因为α∥β，a α，过a作平面γ与平面β相交，则a与交线平行．
在β内与交线平行的直线都与a平行，故有无数条，故选B.
3．若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，则过点M的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
【答案】　D
【解析】　由于α∥β，a α，M∈β，故过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．
4.如图，在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　)
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
【答案】　A
【解析】　如图，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为(　　)
A．1 B．1.5
C．2 D．3
【答案】　A
【解析】　平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE，
∴A1F∥BE，又A1E∥FB，
∴四边形A1FBE为平行四边形，
∴FB＝A1E＝3－1＝2，
∴AF＝1.
6.已知点S是等边三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
【答案】　平行
【解析】　在△SAB中，D，E为中点，则DE∥AB，
即可得DE∥平面ABC，
同理有EF∥平面ABC，
又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，
∴平面DEF∥平面ABC.
7．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________.
【答案】　6
【解析】　如图，∵AB∥CD，
∴A，B，C，D四点共面，
∵α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，又AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴AB＝CD＝6.
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
【答案】　
【解析】　∵平面MNE∥平面ACB1，
∴由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，即＝.
9.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.
证明　因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，
又FH 平面PEC，PC 平面PEC，
所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，
又AF 平面PCE，CE 平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
10.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
证明　因为BE∥AA1，
AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
11．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
【答案】　C
【解析】　根据图①和图②可知α与β平行或相交．
12.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　)
A．相似但不全等的三角形
B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形
D．以上结论都不对
【答案】　B
【解析】　由题意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β，
由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
13．已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
【答案】　平行
【解析】　在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l β，
∵a∥β，∴a∥l，
∴l∥α.又b∥α，b∩l＝O，
∴根据面面平行的判定定理可得α∥β.
14．已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝________.
【答案】　
【解析】　如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，因为α∩α1＝AD，β∩α1＝BG，且α∥β，所以AD∥BG，所以＝，同理可得，GE∥CF，＝，所以＝，所以DE＝＝＝.
15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.
【答案】　M在线段FH上
【解析】　连接HN，FH，FN.
∵HN∥DB，DB 平面B1BDD1，
∴HN∥平面B1BDD1，
∵FH∥D1D，D1D 平面B1BDD1，
∴FH∥平面B1BDD1，
又HN∩FH＝H，且HN，FH 平面FHN，
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，
∴M∈FH.
16．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形．在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由)．
解　如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，
则四边形MNAC为所求的平面图形．
因为M，N，E，F均为中点，
所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，
所以AN∥平面DEF，
又MN∩AN＝N，MN，AN 平面MNAC，
所以平面MNAC∥平面DEF.
易知MN∥AC，四边形MNAC为梯形，且MN＝AC＝2，
过点M作MP⊥AC于点P，
可得MC＝＝2，PC＝＝，
所以MP＝＝，
所以S梯形MNAC＝×(2＋4)×＝6.
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