(共20张PPT)
平方差公式
a2 b2
(a+b)(a b)=
( x + 2y )( x – 2y) = ______
(mn – 3)(mn +3)= ______
(– 2x+y)(2x+y)=_ _____
x2 –4y2
m2n2 –9
y2 –4x2
多项式的乘法
(a+b)(c+d)
=
ac
ad
bc
bd
+
+
+
知识回顾
a
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种。
用不同的形式表示实验田的 总面积, 并进行比较.
a
b
b
方法一 ：（直接求）
总面积＝
(a+b)
方法二： （间接求）
总面积＝
2
a2
ab
ab
b2
创设情景
a2+
ab+
ab+
b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)2 =
推证
(a+b)
(a+b)
=a2+ab+
ab+b2
=a2+2ab+
b2;
(2)
若
(a b)2=
[a+( b)]2
a2 +2ab+b2
(a b)2=
是否可行？？
利用两数和的
完全平方公式
推证公式
(a b)2=
[a+( b)]2
= 2 + 2 + 2
a
a
( b)
( b)
=
a2
2ab
b2
+
探究新知
a+b
a+b
a
b
a
b
=
(a+b) 2
=
a2
+
b2
+
+
2ab
+
几
何
验
证
=
(a-b) 2
=
a2
+
b2
+
a-b
a-b
a
a
b
b
-
2ab
-
几
何
意义
a+b
a+b
a
b
a
b
a+b
a+b
a
b
a
b
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ≠ a2 + b2
几
何
验
证
a-b
a-b
a
a
b
b
a-b
a-b
a
a
b
b
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ≠ a2 - b2
几
何
意义
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a b)2 = a2 2ab+b2
几
何
解
释:
a
a
b
b
a2
ab
ab
b2
a2+2ab+b2
(a+b)2=
结构特征:
左边是
的平方;
二项式
两数和
(差)
右边是
两数的平方和
加上
(减去)
这两数乘积的两倍.
用自己的语言叙述上面的公式
语言表述:
两数和 的平方等于这两数的平方和加上 这两数乘积的两倍
(差)
口诀:
“首平方,尾平方,首尾积的两倍放中央.”
(减去)
例：利用完全平方公式计算 (2x 3)2
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,
注意
先把要计算的式子与完全平方公式对照,
明确个是 a , 哪个是 b.
第一数
4x2
2x
的平方,
( )2
减去
第一数
与第二数
2x
3
乘积
的2倍,
2
+
3
加上
第二数
的平方.
2
=
12x
+
9
解：(2x 3)2
做题时要边念边写：
=
例题解析
说出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a 1)2＝2a2 2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) ( a 1)2＝ a2 2a 1.
解:
(1)(2a 1)2＝ (2a)2 2 2a 1 +1=4a2 4a +1
(2)(2a+1)2＝ (2a)2+2 2a 1 +1=4a2 + 4a +1
(3)( a 1)2＝( a)2 2 ( a) 1 + 1=a2 + 2a + 1
随堂练习
=1002+2×100×３+３2
(2)1992 =(200-1)2
解:(1) 10３2 =(100+３)2
=10000+600+9
=2002-2×200×1+12
计算：运用完全平方公式计算:
(1) 10３2 ; (2)1992
=40000-400+1
=39601
=10609
例
题
解
析
1、在下列各式中，计算正确的是（ ）
A、（2m-n）2=4m2-n2
B、 (5x-2y)2=25x2-10xy+4y2
C、 (-a-1)2=-a2-2a-1
D、 (-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b2
2、无论x取何值，（x+a)2=x2-x+a2,则常数a等于 （ ）
A 、2 B 、 -2 C、1/2 D、 -1/2
D
D
随堂练习
(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2
(a－b)2 = a2－2ab+b2
a2＋b2 = (a＋b)2－2ab
a2＋b2 = (a－b)2＋2ab
(a＋b)2－ (a－b)2 = ４ab
(a＋b)2＋ (a－b)2 = 2(a2＋b2 )
①
②
由①得
由②得
① - ②得
① + ②得
新知拓展
(a+b+c)2
2
可以用完全平方公式进行计算？
1.思考：
试一试：计算 ( m 2n + 3 )2
2.完全平方公式的变形应用：
(1) 已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2 ； (x y)2 的值
(2)已知：a b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值
(3)已知：(x +y )2 =9 ; ( x y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值
拓展应用
1. 有一块边长为a米的正方形空地，现准备将这块空地四周均留出b米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池．你能计算出喷泉水池的面积吗
a
a-2b
解:喷泉水池的面积为
新知应用
完全平方公式的灵活运用，应掌握公式的简单变形。
在解题过程中要正确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不能少乘2。
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 ;
(a b)2=
a2 2ab+b2.
课堂小结
课后作业
课后作业
3、若 a2-12ab + m 是一个完全平方式，求m；
2、若 a2- m a+25 是一个完全平方式，求m；
1、若 a2+b2 =14 , a+b=6, 求ab；
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12.3乘法公式
2.两数和（差）的平方 ( 21世纪教育网版权所有 )
教学目标：21cnjy
1．能说出两数和（差）的平方公式的特点，并会用式子表示。
2．能正确地利用两数和（差）的平方公式进行多项式的乘法运算。
3．通过两数和（差）的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。
教学重点：掌握公式的特点，牢记公式。
教学难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算 ( 21世纪教育网版权所有 )。
教学准备：21cnjy
边长为a的正方形纸板3张，边长为b的正方形纸板3张，宽为b、长为 a的长方形纸板6张。
教学过程:21cnjy
一、知识回顾21cnjy
1.说出平方差公式。
(两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差。)
2.计算：(x＋a)(x＋b)＝＿＿＿＿＿＿。
二、创设情景 ( 21世纪教育网版权所有 )21cnjy
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种。用不同的形式表示实验田的 总面积, 并进行比较 ( 21世纪教育网版权所有 )。
三、新知探究 ( 21世纪教育网版权所有 )21cnjy
1.在(x＋a)(x＋b)中，若a＝b，那么上述式子将会成为怎样的式子 计算结果是什么
(学生回答：变为(x＋a)(x＋a)，计算结果是x2＋2ax＋a2。由此教师指 出可得另一个乘法公式即(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，由引入课题。)
2.这个公式的左边和右边各有什么特点
(引导学生观察，说出公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、完善。)
3.(a＋b)2=a2＋b2对吗 为什么 ( 21世纪教育网版权所有 )
(强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误。)
4.你会用(a＋b)2=a2＋2ab＋b2计算(a－b)2。21cnjy
引导学生将“－b”看作一个数，将(a－b)2化为[a＋(－b)]2=a2＋ 2a×(－b)＋(－b)2=a2－2ab＋b2，并指出这也是一个乘法公式：(a－b)2= a2－2ab＋b2。
5.你能用图形验证：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2及(a－b)2=a2－2ab＋b2吗 ( 21世纪教育网版权所有 )
在左图中，大正方形的面积是(a＋b)2，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是a2、b2，长方形的面积是ab，所以有等式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2。21cnjy
在右图中，大正方形的面积是a2，两个小正方形的面积分别是(a－b)2、 b2，两个相等的长方形面积都是(a－b)·b，于是有a2=(a－b)2＋2(a－b)·b＋b2，即(a－b)2=a2－2(a－b)·b－b2=a2－2ab＋b2。
(让学生进一步感受“数形结合”的思想。)21cnjy
6.比较(a＋b)2=a2＋2ab＋b2及(a－b)2=a2－2ab＋b2这两个公式，它们有什么不同 有什么联系 21cnjy
(引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的2倍。)
四、举例应用 ( 21世纪教育网版权所有 )21cnjy
1、例1 计算 ( 21世纪教育网版权所有 )
（1）（2a＋3b）2 （2）（2a＋）2
2、练习：说出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a 1)2＝2a2 2a+1;21cnjy
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) ( a 1)2＝ a2 2a 1.
3、例2 计算21cnjy
（1）（a－b）2 （2）（2x－3y）2
4、练习：
（1）、若 a2+b2 =14 , a+b=6, 求ab值 ( 21世纪教育网版权所有 )
（2）、若 a2- m a+25 是一个完全平方式，求m；
（3）、若 a2-12ab + m 是一个完全平方式，求m；
5、例3 利用完全平方公式进行计算21cnjy
（1）1022 （2）1992
6、你会用乘法公式计算吗？
（1）（m＋n）（m－n）（m2－n2） （2）（a＋b＋c）2
先让学生讨论，再解答，交流体会。
7、请你完成下面计算。21cnjy
（1）912 （2）3012 （3）（x＋2）2－（x－2）2
五、巩固练习 ( 21世纪教育网版权所有 )
(1)已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2 ； (x y)2 的值
(2)已知：a b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值
(3)已知：(x +y )2 =9 ; ( x y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值
六、课堂小结 ( 21世纪教育网版权所有 )21cnjy
1.这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点 ( 21世纪教育网版权所有 )。
2.公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式。
3.在解决具体问题时，要先考察题目是否符合公式条件，若不符合，需要先进行变形，使变形后的式子符合公式的条件，然后再应用公式计算 ( 21世纪教育网版权所有 )。
4.要特别注意一些易出现的错误，如：(a±b)2=a2±b2。
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