江西省南昌市三校2022-2023学年高三上学期期中联考数学（理）试题（Word版含答案）

南昌市三校2022-2023学年高三上学期期中联考
数 学 试 卷（理 科）
考试时长：120分钟 试卷总分：150分
一 选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．已知函数则
A． B． C． D． （第4题图）
4.如图，在中，，设，，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，．若，则的值是（ ）
A． B．
C. D．
6.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知过点作曲线切线有且仅有条，则（ ）
A. B. C.或 D. 或
8.已知奇函数在上是增函数．若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则( )
A． B． C． D．
10.已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，且对于任意，都有，下列序号中，① 在区间上单调递增；② ；③ 若，则；④ 若实数m使得方程在上恰有，，三个实数根，则.正确的序号有（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
12.黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在上，当（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知若复数为纯虚数，则
14. 如图，扇环中，弧，弧，，
则扇环的面积 ．
15．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.
16. 锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．
三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）
17．（12分）已知函数．
求的最大值及取得最大值时的集合；
设的角，，的对边分别为，，，且，求的取值范围．
18. （12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.
（1）若为的中点，求证：；
（2）求二面角的正弦值.
19. （12分）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲 乙两人比赛，甲每局获胜的概率为.
（1）在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列；
（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.
20．（12分）已知圆，椭圆．
（1）求证：圆C在椭圆M内；
（2）若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值．
21．(12分)已知函数．
（1）若在单调递增，求a的值；
（2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域．
四、选做题
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于两点，若，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
南昌市三校2022-2023学年高三上学期期中联考
数学（理科）试卷参考答案及评分标准
一 选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D C B C B A A D C
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.2 14.3 15. 16.，
三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）
17． 已知函数．
求的最大值及取得最大值时的集合；
设的角，，的对边分别为，，，且，求的取值围．
【答案】
解： ，····…..2分，，的最大值为， …… 4分当，即时，函数取最大值，
则此时的集合为；· ………. 6分 由得：，即，
，即，
又，，，， ………….8分
由正弦定理得：，，
又，，即，
， ……….10分
，，，，
则的取值范围为． ………………..12分
18. 如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.
（1）若为的中点，求证：；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）见解析 （2）
【详解】（1）∵侧面是菱形，∴，
∵为的中点，∴，
∵侧面底面，侧面底面，，底面，∴侧面，
∵侧面，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴ ………………………5分.
【2】取中点，连接，从而，又由，则，
∵侧面底面，侧面底面，
∴底面，
以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图：
由已知条件和上图可知，，，，，
由题意可知，平面的一个法向量为 ………………………7分
不妨设平面的一个法向量，
因为，，
从而，
令，则，，即， ………………………9分
设二面角为，由图可知为钝角，
从而，即，
故二面角的正弦值为. ………………………12分
19. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲 乙两人比赛，甲每局获胜的概率为.
（1）在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列；
（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.
【答案】（1）见解析 （2）
【详解】（1）由题意可知，可能取值为，，， ，
当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
则，
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，
则；
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，
则，
当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，
则，
故的概率分布列如下：
0 1 2 3
………………………6分
【小问2详解】设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件，
则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故，
故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为. ………………………12分
20．（12分）已知圆，椭圆．
（1）求证：圆C在椭圆M内；
（2）若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值．
21．（12分）已知函数．
（1）若在单调递增，求a的值；
（2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域．
解：（1）．
因为在单调递增，所以，即
（ⅰ）当时，，则需，故，即；
（ⅱ）当时，，则；
（ⅲ）当时，，则需，故，即．
综上述，． ………………4分
（2），，．因为，所以，所以在单调递增
又因为．所以存在，使，
且当时，，函数单调递减；
当时，，函数调递增．
故最小值为．
由，得，因此．
令，则，
所以在区间上单调递增，又因为，且，
所以，即取遍的每一个值，
令函数在单调递增．又，所以，
故函数的值域为．. ………………………12分
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于两点，若，求的值．
（1）,;(2)
【详解】（Ⅰ）∵直线的参数方程为（为参数，为常数），
消去参数得的普通方程为：即． ………2分
∵，∴即，即．
故曲线的直角坐标方程为． ………5分
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线中得，……………7分
……………9分
∴．………………………10分
23．【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，．
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时．
因此，当时，不等式的解集为 …………….5分
（2）当时，可化为，
所以，或，
即存在，使得或．
，因为，所以，则，
，因为，所以，所以，
因此，实数a的取值范围为．