2021-2022学年浙江省各地人教版数学七年级上册4.3 角 期末试题分类选编（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年浙江省各地人教版数学七年级上册4.3 角 期末试题分类选编（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 884.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-15 21:35:54 | ||
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文档简介
4.3 角
1．（2022·浙江宁波·七年级期末）已知 ， 则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．互不相等
2．（2022·浙江绍兴·七年级期末）如图，将一块三角板60°角的顶点与另一块三角板的直角顶点重合，，的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC=∠AOB，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2022·浙江丽水·七年级期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点，若，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江台州·七年级期末）将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于∠α与∠β之间的关系一定正确的是（ ）
A．∠α＝∠β B．∠α＝∠β C．∠α+∠β＝90° D．∠α+∠β＝180°
7．（2022·浙江舟山·七年级期末）如图，，4位同学观察图形后各自观点如下．甲：；乙：；丙：；丁：图中小于平角的角有6个；其中正确的结论是（ ）
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．乙、丙、丁 D．甲、丙、丁
8．（2022·浙江绍兴·七年级期末）一个角加上20°后，等于这个角的余角，则这个角的度数是（ ）
A．35° B．45° C．60° D．80°
9．（2022·浙江金华·七年级期末）将一副三角尺按下列三种位置摆放，其中能使和相等的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·浙江舟山·七年级期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是__________．
11．（2022·浙江舟山·七年级期末）如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若，则OC的方向是______________．
12．（2022·浙江绍兴·七年级期末）我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过__________分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．
13．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，直线与直线相交于点，，已知，则______________．
14．（2022·浙江温州·七年级期末）一副三角板如图叠放，已知∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，OB平分∠COD，则∠AOC＝_____度．
15．（2022·浙江宁波·七年级期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是______度，15分钟后时针与分针的夹角是_____度．
16．（2022·浙江绍兴·七年级期末）已知，则的补角等于________．
17．（2022·浙江宁波·七年级期末）若一个角的补角是其余角的3倍，则这个角的度数为___．
18．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知，则的余角等于______°．
19．（2022·浙江杭州·七年级期末）如果一个角的补角是，那么这个角的度数是________．
20．（2022·浙江绍兴·七年级期末）如果∠α＝38°，则∠α的补角是 ______°．
21．（2022·浙江金华·七年级期末）如图，直线AB与EF相交于点O，∠AOE=60°，射线OC平分∠BOE．
(1)求∠COF的度数；
(2)将射线OC以每秒2°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0＜t≤60)．
①当射线OE与射线OC重合时，求∠AOE的度数；
②旋转过程中，若直线EF平分∠BOC或平分∠AOC，求t的值.
22．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，，．
(1)若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数．
(2)若，求∠AOD的度数．
23．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1, 已知，射线从位置出发，以每秒的速度按顺时针方向向射线旋转；与此同时， 射线以每秒的速度，从位置出发按逆时针方向向射线旋转，到达射线后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线与射线 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当时， 求的度数；
(2)当与重合时，求的值；
(3)如图2，在旋转过程中， 若射线始终平分 ，问：是否存在的值， 使得 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
24．（2022·浙江绍兴·七年级期末）将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中，
(1)如图2，当OD平分，求的度数
(2)当OC在直线EF上方，且时，求的度数
(3)若，，请直接写出，满足的数量关系．
25．（2022·浙江湖州·七年级期末）（1）如图l，点D是线段AC的中点，且 AB＝BC，BC=6，求线段BD的长；
（2）如图2，已知OB平分∠AOD，∠BOC=∠AOC，若∠AOD=100°，求∠BOC的度数．
26．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数．
(2)如图①，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．
(3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由．
27．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图为半圆形计时器，指针绕点从开始逆时针向旋转，速度为每秒，指针绕点从开始先顺时针向旋转，到达后再逆时针向回旋转，速度为每秒，两指针同时从起始位置出发，当到达OA时，两针都停止旋转．
(1)设旋转时间为秒，求为何值时与首次重合；
(2)求（用含的代数式表示）；
(3)直接写出时的值为_______．
28．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，直线，相交于点，和互余，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
29．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图①．直线上有一点， 过点在直线上方作射线， 将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处， 一条直角边在射线 上， 另一边OA在直线DE的上方，将直角三角形绕着点O按每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)当直角三角板旋转到图②的伩置时， 射线恰好平分， 此时， 与 之间的数量关系为____________．
(2)若射线的位置保持不变， 且，
①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线， 射线， 射线中的某一条射线是另外两条射线所夹锐角的角平分线 若存在，请求出的值； 若不存在， 请说明理由；
②在旋转过程中， 当边与射线相交时， 如图③， 请直接写出的值____________．
30．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
(1)如图，若∠BON＝60°，求∠COM的度数；
(2)将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
①当∠BON＝140°时，求∠COM的度数；
②当∠BON＝140°时，直接写出∠BON和∠COM之间的数量关系．
参考答案：
1．C
【解析】先换算单位，再比较大小即可．
解：，，，
．
故选：C．
考查了度分秒的换算，解题的关键是将单位换算一致．
2．B
【解析】根据∠BAC=60°，∠1=27°20′，求出∠EAC的度数，再根据∠2=90°-∠EAC，即可求出∠2的度数．
解：∵∠BAC=60°，∠1=27°20′，
∴∠EAC=32°40′，
∵∠EAD=90°，
∴∠2=90°-∠EAC=90°-32°40′=57°20′；
故选：B．
本题主要考查了与三角板有关的角度计算，解题的关键是能够正确求出∠EAC的度数．
3．D
【解析】分OC在∠AOB内部和OC在∠AOB外部两种情况讨论，画出图形即可得出结论．
解：当OC在∠AOB内部时，
∵∠BOC=∠AOB，即∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOC=∠BOC；
当OC在∠AOB外部时，
∵∠BOC=∠AOB，即∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOC=3∠BOC；
综上，∠AOC=∠BOC或∠AOC=3∠BOC；
故选：D．
本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，数形结合解题是关键．
4．C
【解析】根据三角板上的特殊角度求出各选项与的关系或角度即可进行判断．
解：A、图中+=90°，即与互补，故错误；
B、如图，
+∠1=60°，+∠1=90°，所以≠，故错误；
C、=135°，=135°，所以=，故正确；
D、=45°，=60°，所以≠，故错误．
故选：C．
本题主要考查的是角度求解，熟练掌握三角板中的各角度数以及角度之间的关系是解题的关键．
5．B
【解析】根据∠ABE=45°，由角的和差关系求出∠CBG，再根据∠GBH=30°，由角的和差关系求出∠FBG，最后根据∠FBC=∠FBG-∠CBG进行计算即可．
解：∵∠ABE=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠CBG=45°，
∵∠GBH=30°，
∴∠FBG=60°，
∴∠FBC=∠FBG-∠CBG=60°-45°=15°．
故选B．
此题考查了角的和差计算，关键是根据已知条件求出角的度数，要能根据图形找出角之间的关系．
6．C
【解析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，由题意可知∠α与∠β互余，即∠α+∠β＝90°．
解：∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，
故选：C．
本题主要考查了余角，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．
7．B
【解析】根据垂直定义得出∠AOC=∠BOD=90°，再逐个进行判断即可．
解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=∠BOD=90°．
∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC．
∴∠AOB=∠COD．
∴甲同学说的正确；
∵∠BOC+∠AOD
=∠AOC+∠COD+∠BOC
=∠AOC+∠BOD
=90°+90°
=180°，
∴乙同学说的正确；
∵∠AOB+∠BOC=∠AOC=90°，∠BOC和∠COD不一定相等，
∴丙同学说的错误；
∵图中小于平角的角有∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD，共6个，
∴丁同学说的正确．
故选：B．
本题考查了余角、补角的定义和角的有关推理的应用，能正确进行推理是解此题的关键．
8．A
【解析】设这个角的度数是 ，则这个角的余角的度数是 ，根据“一个角加上20°后，等于这个角的余角，”列出方程，即可求解．
解：设这个角的度数是 ，则这个角的余角的度数是 ，根据题意得：
，
解得： ，
即这个角的度数是35°．
故选：A
本题主要考查了余角的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．
9．A
【解析】根据图形以及三角板中的角度分别计算即可
A.，符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故选A
本题考查了三角板中角度的计算，掌握几何图形中角度的计算是解题的关键．
10．北偏东75°.
【解析】已知OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，可得∠AOB=60°，根据∠AOC=∠AOB，可得∠AOC=60°，然后求得OC与正北方向的夹角，再根据方位角的表达即可得出答案.
∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，
∴∠AOB=15°+45°=60°.
∵∠AOC=∠AOB，
∴∠AOC=60°，
∴OC的方向是北偏东15°+60°=75°.
故答案为北偏东75°.
本题考查方位角，掌握方位角的相关知识是解题的关键.
11．北偏东70°．
【解析】根据角的和差，方向角的表示方法，可得答案．
解：如图，由题意可知
∵∠BOD=40°，∠AOD=15°，
∴∠AOC=∠AOB=∠AOD+BOD=55°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=15+55=70°，
故答案为：北偏东70°．
本题考查了方向角，利用角的和差得出∠COD是解题关键．
12．或30
【解析】利用分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，分两种情况讨论即可.
解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，
则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x=；
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，
解得x=30；
综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
故答案为：或30
本题考查了钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30°，分钟每分钟转过的角度为6度，时钟每分钟转过的角度为0.5度．借助图形，更容易解决．同时考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键．
13．120°##120度
【解析】根据垂直定义求出∠AOE，根据对顶角求出∠AOC，相加即可．
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝30°，
∴∠COE＝∠AOE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°．
故答案是：120°．
本题考查了垂直，对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．
14．15
【解析】先根据OB平分∠COD求出∠BOC，即可根据∠AOC＝∠AOB-∠BOC求解
∵OB平分∠COD，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB-∠BOC＝45°-30°=15°，
故答案为：15．
本题考查三角板中的角度计算，准确的找到角度之间的关系是解题的关键．
15． 45° 127.5°
【解析】根据时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°进行计算即可．
解：根据题意：钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 ；
15分钟后时针与分针的夹角是 ．
故答案为：45°，127.5°
本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°是解题的关键．
16．80
【解析】根据补角的概念计算即可．
∵∠A=100°，
∴∠A的补角=180°－100°=80°,
故答案为:80
本题考查补角的概念,关键在于牢记基础知识．
17．45°##45度
【解析】根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
解：设这个角的度数是x，
则180°-x=3（90°-x），
解得x=45°．
答：这个角的度数是45°．
故答案为：45°．
本题考查了余角和补角的知识，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法．
18．40
【解析】利用90°减去∠A即可直接求解．
解：∠A的余角为：90°-50°=40°．
故答案是：40．
本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角，理解定义是关键．
19．60°##60度
【解析】根据和为180度的两个角互为补角求解即可．
解：根据定义一个角的补角是120°，
则这个角是180°-120°=60°，
故答案为：60°．
本题考查了补角的定义，掌握补角的定义是解题的关键．
20．142．
【解析】根据两角互补的概念，和为180度的两个角互为补角，即可得出结果．
解：∵∠α＝38°，
∴∠α补角的度数是180°﹣38°＝142°，
故答案为：142．
本题主要考查补角的概念，熟知和为180度的两个角互为补角是解题关键．
21．(1)∠COF=120°
(2)①∠AOE=150°；②18或36或54
【解析】（1）根据角平分线的定义，可得∠BOC=60°，再由∠COF=∠BOC+∠BOF=∠BOC+∠AOE即可求解；
（2）①OC运动形成的角度为2t°，OE运动形成的角度6t°，由题意可知，60°+2t°=6t°，求解即可；②见解析图，分三种情况分析，按照先表示出角的度数，再根据角平分线的定义列出方程求解即可．
（1）
解：∵∠AOE=60°，射线OC平分∠BOE
∴∠BOC=∠COE=
∴∠COF=∠BOC+∠BOF=∠BOC+∠AOE=60°+60°=120°．
（2）
解：①当射线OE运动到射线 ，与射线OC运动到射线重合，如图
则OC运动形成的角度为2t°，OE运动形成的角度6t°，
∴60°+2t°=6t°
解得t=15°，
∴此时∠AOE=60°+6t°=150°；
②由题意可知， EF平分∠AOC，此时t=0时，不符合题意，
因0＜t≤60，故EF旋转分三种情况：
Ⅰ．当EF旋转到，OC旋转到 时，平分，如图，
则 ，
∵平分
∴
即
解得t=18；
Ⅱ．当EF旋转到，OC旋转到 时，平分，如图，
则 ，
∵平分
∴
即
解得t=36；
Ⅲ．当EF旋转到，OC旋转到 时，平分，如图，
则 ，
∵平分
∴
即
解得t=54；
故t的值为18或36或54．
本题考查了角平分线的定义，旋转的速度、角度、时间的关系，应用方程思想是解题的关键．解题中要先初步估计旋转的位置并画图，注意分类讨论．
22．(1)30°
(2)105°
【解析】（1）根据角平分线的定义可得∠AOC=60°，根据可得∠AOB=90°，根据角的和差关系即可得答案；
（2）根据角的和差关系可得，，根据列方程求出∠AOD的值即可得答案．
（1）
∵OC平分∠AOD，，
∴，
∵，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°，
∴∠BOC的度数是30°．
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴∠AOD的度数是105°．
本题考查角平分线的定义、角的计算，正确得出图中各角的和差关系是解题关键．
23．(1)的度数为90°
(2)的值为20或60
(3)存在，的值为15或22.5或45
【解析】（1）根据题意可得：当时， ，，即可求解；
（2）分两种情况：当射线没有到达射线，与重合时，当射线到达射线后返回，与重合时，即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．
(1)
解：当时，
，，
∵，
∴ ；
(2)
解： 当射线没有到达射线，与重合时， ，
根据题意得： ，，
∴ ，
解得： ；
当射线到达射线后返回，与重合时， ，
根据题意得： ， ，
∴，
解得： ；
综上所述，当与重合时， 的值为20或60；
(3)
解：存在，的值为15或22.5或45，使得 ，理由如下：
由（2）得：当时，与第一次重合，当 时，到达射线，当 时，射线与射线 重合，
当时， ，，
∴ ， ，
∵射线平分 ，
∴ ，
∵，
∴，
解得： ；
如图，当时， ，，
∴ ，
∴ ， ，
∵，
∴，
解得： ；
如图，当时， ， ，
∴ ，，
∴ ，
∴，
解得： ；
综上所述，当的值为15或22.5或45时，使得 ．
本题主要考查了有关角平线的计算，角的和与差，利用方程思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．
24．(1)112.5°
(2)15°
(3)当∠AOD在∠AOB内部时，；
当∠AOD在∠AOB外部时，
①旋转角度大于45°而小于等于90°，；
②旋转角度大于90°而小于等于180°，．
【解析】（1），由计算求解即可；
（2）由计算求解即可；
（3）分情况讨论当∠AOD在∠AOB内部时，；当∠AOD在∠AOB外部时，①旋转角度大于而小于等于，；②旋转角度大于而小于等于，计算求解即可．
（1）
解∵OD平分∠AOB时
∴
又∵∠COD＝90°
∴．
（2）
∵∠COE＝30°，∠COD＝90°，∠AOB＝45°
∵
∴．
（3）
当∠AOD在∠AOB内部时，；
当∠AOD在∠AOB外部时，
①旋转角度大于而小于等于，＝135°；
②旋转角度大于而小于等于，＝225°．
本题考查了旋转，角的计算，三角板等知识．解题的关键在于全面的讨论旋转中角度的关系．
25．（1）BD=1；（2）∠COB=20°
【解析】（1）根据AB＝BC，BC=6求出AB的值，再根据线段的中点求出AD的值，然后可求BD的长；
（2）先根据角平分线的定义求出∠AOB，再根据∠BOC=∠AOC，求解即可．
解：（1）∵AB＝BC，BC=6，
∴AB＝×6=4，
∴AC=AB+BC=10，
∵点D是线段AC的中点，
∴AD=AC=5，
∴BD=AD-AB=5-4=1；
（2）∵OB平分∠AOD，∠AOD=100°，
∴∠AOB=∠AOD=50°，
∵∠BOC+∠AOC=∠AOB，∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠AOC=50°，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOC=∠AOC=20°．
本题考查了线段的中点，线段的和差，角的平分线，角的和差，数形结合是解答本题的关键．
26．(1)，
(2)
(3)
【解析】（1）由，是直角，可知，，因为平分，所以；
（2）因为，是直角，所以，，所以，因为平分，所以；所以．
（3）设，因为是直角，所以，，因为平分，所以；所以．
（1）
解：，是直角，
，，
，
平分，
；
（2）
，是直角，
，，
，
平分，
；
．
（3）
．理由如下：
设，
是直角，
，，
平分，
；
．
即．
本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义等知识，关键是由图形得到角度之间的关系．
27．(1)
(2)当时；当时；当时
(3)9或或27
【解析】（1）OM与ON首次重合时，，由与互补，得关于t的方程，即可求解；
（2）分三种情况：①OM、ON首次相遇之前；②OM、ON首次相遇之后，ON到达OB之前；③ON到达OB之后三种情况讨论即可；
（3）在（2）基础上，分三种情况讨论即可求解.
(1)
解： OM与ON首次重合时，，
与互补，
∴，
∴
(2)
分三种情况：
①OM、ON首次相遇之前，如图：
此时，，，
即时，；
②OM、ON首次相遇之后，ON到达OB之前，如图：
，，
即时，；
③ON到达OB之后，如图：
，，
当时，
综上：当时；当时；当时.
(3)
分三种情况：
①OM、ON首次相遇之前，，
由，得，
解得；
②OM、ON首次相遇之后，ON到达OB之前，，
由，得，
解得；
③ON到达OB之后，，
由，得，
解得；
故t的值为： 9或或27
故答案为：9或或27
此题考查了一元一次方程的应用及角的数量关系，解题的关键是理解题意，通过分类设未知数列方程解决问题．
28．(1)90°
(2)67.5°
【解析】（1）根据余角的定义可得∠BOD+∠COM=90°，再根据平角的定义可求解；
（2）设∠OM=x，则∠BOC=5x，∠BOM=4x，结合∠BOM=90°可求解x值，进而可求解∠BOD的度数．
（1）
解：∵∠BOD和∠AON互余，
∴∠BOD+∠AON=90°，
∵∠AON=∠COM，
∴∠BOD+∠COM=90°，
∴∠MOB=180°-（∠BOD+∠COM）=90°；
（2）
解：设∠COM=x，则∠BOC=5x，
∴∠BOM=4x，
∵∠BOM=90°，
∴4x=90°，
解得x=22.5°，
∴∠BOD=90°-22.5°=67.5°．
本题考查了余角和补角，角的计算，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系．
29．(1)
(2)①；②
【解析】（1）根据OB平分∠COE，得出∠COB=∠EOB，根据∠AOB=90°，得出∠BOC+∠AOC =90°，∠BOE+∠AOD =90°，利用等角的余角性质得出∠AOC=∠AOD即可；
（2）①存在，根据，得出∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，当OB平分∠COE时，直角边在射线 上，∠EOB=∠BOC=，列方程15°t=30°，解得t=2；当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，∠EOB不是锐角舍去，当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，∠BOC=2∠EOC=120°＞90°∠BOC不是锐角舍去即可；
②如图根据∠COD=120°，可得AB与OD相交时，∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，代入计算即可．
（1）
解：∵OB平分∠COE，
∴∠COB=∠EOB，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOC =90°，∠BOE+∠AOD =90°，
∴∠AOC=∠AOD，
故答案为：∠AOC=∠AOD；
（2）
解：①存在，
∵，
∴∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，
当OB平分∠COE时，直角边在射线 上，
∠EOB=∠BOC=，
则15°t=30°，
∴t=2；
当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，
∴∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，
∴当OC平分∠EOB时，∠EOB不是锐角舍去，
当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，
∴∠BOC=2∠EOC=120°＞90°，
当OE平分∠BOC时，∠BOC不是锐角舍去，
综上，所有满足题意的t的取值为2，
②如图∵∠COD=120°，
当AB与OD相交时，
∵∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，
∴，
故答案为：30°．
本题考查角平分线定义，三角板中角度计算，图形旋转，角的和差计算，熟练掌握角平分线的性质，分类讨论的思想运用是解答的关键．
30．(1)30°
(2)①70°或110°；②∠BON＝2∠COM或∠BON＋2∠COM＝360°
【解析】（1）根据邻补角的定义可得∠AON的度数，根据角平分线的定义可得∠CON的度数，根据角的和差关系即可得答案；
（2）①分ON在直线AB上方和ON在直线AB下方两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系分别求出∠COM的度数即可得答案；②根据①中所求度数即可得答案．
(1)
∵∠BON＝60°，
∴∠AON＝180°-∠BON＝120°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON＝＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝∠MON-∠CON＝90°－60°＝30°．
(2)
①当ON在直线AB上方时，
∵∠BON＝140°，
∴∠AON＝40°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON＝20°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝70°，
当ON在直线AB下方时，
∵∠BON＝140°，
∴∠AON＝40°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON＝20°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝110°，
综上所述：∠COM的度数为70°或110°．
②当∠COM＝70°时，∠BON=2∠COM，
当∠COM＝110°时，∠BON+2∠COM=360°．
∴∠BON＝2∠COM或∠BON＋2∠COM＝360°．
本题考查角的计算、角平分线的定义及邻补角的定义，正确理解题意，灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
1．（2022·浙江宁波·七年级期末）已知 ， 则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．互不相等
2．（2022·浙江绍兴·七年级期末）如图，将一块三角板60°角的顶点与另一块三角板的直角顶点重合，，的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC=∠AOB，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2022·浙江丽水·七年级期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点，若，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江台州·七年级期末）将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于∠α与∠β之间的关系一定正确的是（ ）
A．∠α＝∠β B．∠α＝∠β C．∠α+∠β＝90° D．∠α+∠β＝180°
7．（2022·浙江舟山·七年级期末）如图，，4位同学观察图形后各自观点如下．甲：；乙：；丙：；丁：图中小于平角的角有6个；其中正确的结论是（ ）
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．乙、丙、丁 D．甲、丙、丁
8．（2022·浙江绍兴·七年级期末）一个角加上20°后，等于这个角的余角，则这个角的度数是（ ）
A．35° B．45° C．60° D．80°
9．（2022·浙江金华·七年级期末）将一副三角尺按下列三种位置摆放，其中能使和相等的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·浙江舟山·七年级期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是__________．
11．（2022·浙江舟山·七年级期末）如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若，则OC的方向是______________．
12．（2022·浙江绍兴·七年级期末）我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过__________分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．
13．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，直线与直线相交于点，，已知，则______________．
14．（2022·浙江温州·七年级期末）一副三角板如图叠放，已知∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，OB平分∠COD，则∠AOC＝_____度．
15．（2022·浙江宁波·七年级期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是______度，15分钟后时针与分针的夹角是_____度．
16．（2022·浙江绍兴·七年级期末）已知，则的补角等于________．
17．（2022·浙江宁波·七年级期末）若一个角的补角是其余角的3倍，则这个角的度数为___．
18．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知，则的余角等于______°．
19．（2022·浙江杭州·七年级期末）如果一个角的补角是，那么这个角的度数是________．
20．（2022·浙江绍兴·七年级期末）如果∠α＝38°，则∠α的补角是 ______°．
21．（2022·浙江金华·七年级期末）如图，直线AB与EF相交于点O，∠AOE=60°，射线OC平分∠BOE．
(1)求∠COF的度数；
(2)将射线OC以每秒2°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0＜t≤60)．
①当射线OE与射线OC重合时，求∠AOE的度数；
②旋转过程中，若直线EF平分∠BOC或平分∠AOC，求t的值.
22．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，，．
(1)若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数．
(2)若，求∠AOD的度数．
23．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1, 已知，射线从位置出发，以每秒的速度按顺时针方向向射线旋转；与此同时， 射线以每秒的速度，从位置出发按逆时针方向向射线旋转，到达射线后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线与射线 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当时， 求的度数；
(2)当与重合时，求的值；
(3)如图2，在旋转过程中， 若射线始终平分 ，问：是否存在的值， 使得 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
24．（2022·浙江绍兴·七年级期末）将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中，
(1)如图2，当OD平分，求的度数
(2)当OC在直线EF上方，且时，求的度数
(3)若，，请直接写出，满足的数量关系．
25．（2022·浙江湖州·七年级期末）（1）如图l，点D是线段AC的中点，且 AB＝BC，BC=6，求线段BD的长；
（2）如图2，已知OB平分∠AOD，∠BOC=∠AOC，若∠AOD=100°，求∠BOC的度数．
26．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数．
(2)如图①，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．
(3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由．
27．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图为半圆形计时器，指针绕点从开始逆时针向旋转，速度为每秒，指针绕点从开始先顺时针向旋转，到达后再逆时针向回旋转，速度为每秒，两指针同时从起始位置出发，当到达OA时，两针都停止旋转．
(1)设旋转时间为秒，求为何值时与首次重合；
(2)求（用含的代数式表示）；
(3)直接写出时的值为_______．
28．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，直线，相交于点，和互余，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
29．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图①．直线上有一点， 过点在直线上方作射线， 将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处， 一条直角边在射线 上， 另一边OA在直线DE的上方，将直角三角形绕着点O按每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)当直角三角板旋转到图②的伩置时， 射线恰好平分， 此时， 与 之间的数量关系为____________．
(2)若射线的位置保持不变， 且，
①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线， 射线， 射线中的某一条射线是另外两条射线所夹锐角的角平分线 若存在，请求出的值； 若不存在， 请说明理由；
②在旋转过程中， 当边与射线相交时， 如图③， 请直接写出的值____________．
30．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
(1)如图，若∠BON＝60°，求∠COM的度数；
(2)将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
①当∠BON＝140°时，求∠COM的度数；
②当∠BON＝140°时，直接写出∠BON和∠COM之间的数量关系．
参考答案：
1．C
【解析】先换算单位，再比较大小即可．
解：，，，
．
故选：C．
考查了度分秒的换算，解题的关键是将单位换算一致．
2．B
【解析】根据∠BAC=60°，∠1=27°20′，求出∠EAC的度数，再根据∠2=90°-∠EAC，即可求出∠2的度数．
解：∵∠BAC=60°，∠1=27°20′，
∴∠EAC=32°40′，
∵∠EAD=90°，
∴∠2=90°-∠EAC=90°-32°40′=57°20′；
故选：B．
本题主要考查了与三角板有关的角度计算，解题的关键是能够正确求出∠EAC的度数．
3．D
【解析】分OC在∠AOB内部和OC在∠AOB外部两种情况讨论，画出图形即可得出结论．
解：当OC在∠AOB内部时，
∵∠BOC=∠AOB，即∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOC=∠BOC；
当OC在∠AOB外部时，
∵∠BOC=∠AOB，即∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOC=3∠BOC；
综上，∠AOC=∠BOC或∠AOC=3∠BOC；
故选：D．
本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，数形结合解题是关键．
4．C
【解析】根据三角板上的特殊角度求出各选项与的关系或角度即可进行判断．
解：A、图中+=90°，即与互补，故错误；
B、如图，
+∠1=60°，+∠1=90°，所以≠，故错误；
C、=135°，=135°，所以=，故正确；
D、=45°，=60°，所以≠，故错误．
故选：C．
本题主要考查的是角度求解，熟练掌握三角板中的各角度数以及角度之间的关系是解题的关键．
5．B
【解析】根据∠ABE=45°，由角的和差关系求出∠CBG，再根据∠GBH=30°，由角的和差关系求出∠FBG，最后根据∠FBC=∠FBG-∠CBG进行计算即可．
解：∵∠ABE=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠CBG=45°，
∵∠GBH=30°，
∴∠FBG=60°，
∴∠FBC=∠FBG-∠CBG=60°-45°=15°．
故选B．
此题考查了角的和差计算，关键是根据已知条件求出角的度数，要能根据图形找出角之间的关系．
6．C
【解析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，由题意可知∠α与∠β互余，即∠α+∠β＝90°．
解：∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，
故选：C．
本题主要考查了余角，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．
7．B
【解析】根据垂直定义得出∠AOC=∠BOD=90°，再逐个进行判断即可．
解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=∠BOD=90°．
∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC．
∴∠AOB=∠COD．
∴甲同学说的正确；
∵∠BOC+∠AOD
=∠AOC+∠COD+∠BOC
=∠AOC+∠BOD
=90°+90°
=180°，
∴乙同学说的正确；
∵∠AOB+∠BOC=∠AOC=90°，∠BOC和∠COD不一定相等，
∴丙同学说的错误；
∵图中小于平角的角有∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD，共6个，
∴丁同学说的正确．
故选：B．
本题考查了余角、补角的定义和角的有关推理的应用，能正确进行推理是解此题的关键．
8．A
【解析】设这个角的度数是 ，则这个角的余角的度数是 ，根据“一个角加上20°后，等于这个角的余角，”列出方程，即可求解．
解：设这个角的度数是 ，则这个角的余角的度数是 ，根据题意得：
，
解得： ，
即这个角的度数是35°．
故选：A
本题主要考查了余角的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．
9．A
【解析】根据图形以及三角板中的角度分别计算即可
A.，符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故选A
本题考查了三角板中角度的计算，掌握几何图形中角度的计算是解题的关键．
10．北偏东75°.
【解析】已知OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，可得∠AOB=60°，根据∠AOC=∠AOB，可得∠AOC=60°，然后求得OC与正北方向的夹角，再根据方位角的表达即可得出答案.
∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，
∴∠AOB=15°+45°=60°.
∵∠AOC=∠AOB，
∴∠AOC=60°，
∴OC的方向是北偏东15°+60°=75°.
故答案为北偏东75°.
本题考查方位角，掌握方位角的相关知识是解题的关键.
11．北偏东70°．
【解析】根据角的和差，方向角的表示方法，可得答案．
解：如图，由题意可知
∵∠BOD=40°，∠AOD=15°，
∴∠AOC=∠AOB=∠AOD+BOD=55°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=15+55=70°，
故答案为：北偏东70°．
本题考查了方向角，利用角的和差得出∠COD是解题关键．
12．或30
【解析】利用分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，分两种情况讨论即可.
解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，
则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x=；
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，
解得x=30；
综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
故答案为：或30
本题考查了钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30°，分钟每分钟转过的角度为6度，时钟每分钟转过的角度为0.5度．借助图形，更容易解决．同时考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键．
13．120°##120度
【解析】根据垂直定义求出∠AOE，根据对顶角求出∠AOC，相加即可．
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝30°，
∴∠COE＝∠AOE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°．
故答案是：120°．
本题考查了垂直，对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．
14．15
【解析】先根据OB平分∠COD求出∠BOC，即可根据∠AOC＝∠AOB-∠BOC求解
∵OB平分∠COD，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB-∠BOC＝45°-30°=15°，
故答案为：15．
本题考查三角板中的角度计算，准确的找到角度之间的关系是解题的关键．
15． 45° 127.5°
【解析】根据时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°进行计算即可．
解：根据题意：钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 ；
15分钟后时针与分针的夹角是 ．
故答案为：45°，127.5°
本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针每分钟转0.5°是解题的关键．
16．80
【解析】根据补角的概念计算即可．
∵∠A=100°，
∴∠A的补角=180°－100°=80°,
故答案为:80
本题考查补角的概念,关键在于牢记基础知识．
17．45°##45度
【解析】根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
解：设这个角的度数是x，
则180°-x=3（90°-x），
解得x=45°．
答：这个角的度数是45°．
故答案为：45°．
本题考查了余角和补角的知识，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法．
18．40
【解析】利用90°减去∠A即可直接求解．
解：∠A的余角为：90°-50°=40°．
故答案是：40．
本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角，理解定义是关键．
19．60°##60度
【解析】根据和为180度的两个角互为补角求解即可．
解：根据定义一个角的补角是120°，
则这个角是180°-120°=60°，
故答案为：60°．
本题考查了补角的定义，掌握补角的定义是解题的关键．
20．142．
【解析】根据两角互补的概念，和为180度的两个角互为补角，即可得出结果．
解：∵∠α＝38°，
∴∠α补角的度数是180°﹣38°＝142°，
故答案为：142．
本题主要考查补角的概念，熟知和为180度的两个角互为补角是解题关键．
21．(1)∠COF=120°
(2)①∠AOE=150°；②18或36或54
【解析】（1）根据角平分线的定义，可得∠BOC=60°，再由∠COF=∠BOC+∠BOF=∠BOC+∠AOE即可求解；
（2）①OC运动形成的角度为2t°，OE运动形成的角度6t°，由题意可知，60°+2t°=6t°，求解即可；②见解析图，分三种情况分析，按照先表示出角的度数，再根据角平分线的定义列出方程求解即可．
（1）
解：∵∠AOE=60°，射线OC平分∠BOE
∴∠BOC=∠COE=
∴∠COF=∠BOC+∠BOF=∠BOC+∠AOE=60°+60°=120°．
（2）
解：①当射线OE运动到射线 ，与射线OC运动到射线重合，如图
则OC运动形成的角度为2t°，OE运动形成的角度6t°，
∴60°+2t°=6t°
解得t=15°，
∴此时∠AOE=60°+6t°=150°；
②由题意可知， EF平分∠AOC，此时t=0时，不符合题意，
因0＜t≤60，故EF旋转分三种情况：
Ⅰ．当EF旋转到，OC旋转到 时，平分，如图，
则 ，
∵平分
∴
即
解得t=18；
Ⅱ．当EF旋转到，OC旋转到 时，平分，如图，
则 ，
∵平分
∴
即
解得t=36；
Ⅲ．当EF旋转到，OC旋转到 时，平分，如图，
则 ，
∵平分
∴
即
解得t=54；
故t的值为18或36或54．
本题考查了角平分线的定义，旋转的速度、角度、时间的关系，应用方程思想是解题的关键．解题中要先初步估计旋转的位置并画图，注意分类讨论．
22．(1)30°
(2)105°
【解析】（1）根据角平分线的定义可得∠AOC=60°，根据可得∠AOB=90°，根据角的和差关系即可得答案；
（2）根据角的和差关系可得，，根据列方程求出∠AOD的值即可得答案．
（1）
∵OC平分∠AOD，，
∴，
∵，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°，
∴∠BOC的度数是30°．
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴∠AOD的度数是105°．
本题考查角平分线的定义、角的计算，正确得出图中各角的和差关系是解题关键．
23．(1)的度数为90°
(2)的值为20或60
(3)存在，的值为15或22.5或45
【解析】（1）根据题意可得：当时， ，，即可求解；
（2）分两种情况：当射线没有到达射线，与重合时，当射线到达射线后返回，与重合时，即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．
(1)
解：当时，
，，
∵，
∴ ；
(2)
解： 当射线没有到达射线，与重合时， ，
根据题意得： ，，
∴ ，
解得： ；
当射线到达射线后返回，与重合时， ，
根据题意得： ， ，
∴，
解得： ；
综上所述，当与重合时， 的值为20或60；
(3)
解：存在，的值为15或22.5或45，使得 ，理由如下：
由（2）得：当时，与第一次重合，当 时，到达射线，当 时，射线与射线 重合，
当时， ，，
∴ ， ，
∵射线平分 ，
∴ ，
∵，
∴，
解得： ；
如图，当时， ，，
∴ ，
∴ ， ，
∵，
∴，
解得： ；
如图，当时， ， ，
∴ ，，
∴ ，
∴，
解得： ；
综上所述，当的值为15或22.5或45时，使得 ．
本题主要考查了有关角平线的计算，角的和与差，利用方程思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．
24．(1)112.5°
(2)15°
(3)当∠AOD在∠AOB内部时，；
当∠AOD在∠AOB外部时，
①旋转角度大于45°而小于等于90°，；
②旋转角度大于90°而小于等于180°，．
【解析】（1），由计算求解即可；
（2）由计算求解即可；
（3）分情况讨论当∠AOD在∠AOB内部时，；当∠AOD在∠AOB外部时，①旋转角度大于而小于等于，；②旋转角度大于而小于等于，计算求解即可．
（1）
解∵OD平分∠AOB时
∴
又∵∠COD＝90°
∴．
（2）
∵∠COE＝30°，∠COD＝90°，∠AOB＝45°
∵
∴．
（3）
当∠AOD在∠AOB内部时，；
当∠AOD在∠AOB外部时，
①旋转角度大于而小于等于，＝135°；
②旋转角度大于而小于等于，＝225°．
本题考查了旋转，角的计算，三角板等知识．解题的关键在于全面的讨论旋转中角度的关系．
25．（1）BD=1；（2）∠COB=20°
【解析】（1）根据AB＝BC，BC=6求出AB的值，再根据线段的中点求出AD的值，然后可求BD的长；
（2）先根据角平分线的定义求出∠AOB，再根据∠BOC=∠AOC，求解即可．
解：（1）∵AB＝BC，BC=6，
∴AB＝×6=4，
∴AC=AB+BC=10，
∵点D是线段AC的中点，
∴AD=AC=5，
∴BD=AD-AB=5-4=1；
（2）∵OB平分∠AOD，∠AOD=100°，
∴∠AOB=∠AOD=50°，
∵∠BOC+∠AOC=∠AOB，∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠AOC=50°，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOC=∠AOC=20°．
本题考查了线段的中点，线段的和差，角的平分线，角的和差，数形结合是解答本题的关键．
26．(1)，
(2)
(3)
【解析】（1）由，是直角，可知，，因为平分，所以；
（2）因为，是直角，所以，，所以，因为平分，所以；所以．
（3）设，因为是直角，所以，，因为平分，所以；所以．
（1）
解：，是直角，
，，
，
平分，
；
（2）
，是直角，
，，
，
平分，
；
．
（3）
．理由如下：
设，
是直角，
，，
平分，
；
．
即．
本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义等知识，关键是由图形得到角度之间的关系．
27．(1)
(2)当时；当时；当时
(3)9或或27
【解析】（1）OM与ON首次重合时，，由与互补，得关于t的方程，即可求解；
（2）分三种情况：①OM、ON首次相遇之前；②OM、ON首次相遇之后，ON到达OB之前；③ON到达OB之后三种情况讨论即可；
（3）在（2）基础上，分三种情况讨论即可求解.
(1)
解： OM与ON首次重合时，，
与互补，
∴，
∴
(2)
分三种情况：
①OM、ON首次相遇之前，如图：
此时，，，
即时，；
②OM、ON首次相遇之后，ON到达OB之前，如图：
，，
即时，；
③ON到达OB之后，如图：
，，
当时，
综上：当时；当时；当时.
(3)
分三种情况：
①OM、ON首次相遇之前，，
由，得，
解得；
②OM、ON首次相遇之后，ON到达OB之前，，
由，得，
解得；
③ON到达OB之后，，
由，得，
解得；
故t的值为： 9或或27
故答案为：9或或27
此题考查了一元一次方程的应用及角的数量关系，解题的关键是理解题意，通过分类设未知数列方程解决问题．
28．(1)90°
(2)67.5°
【解析】（1）根据余角的定义可得∠BOD+∠COM=90°，再根据平角的定义可求解；
（2）设∠OM=x，则∠BOC=5x，∠BOM=4x，结合∠BOM=90°可求解x值，进而可求解∠BOD的度数．
（1）
解：∵∠BOD和∠AON互余，
∴∠BOD+∠AON=90°，
∵∠AON=∠COM，
∴∠BOD+∠COM=90°，
∴∠MOB=180°-（∠BOD+∠COM）=90°；
（2）
解：设∠COM=x，则∠BOC=5x，
∴∠BOM=4x，
∵∠BOM=90°，
∴4x=90°，
解得x=22.5°，
∴∠BOD=90°-22.5°=67.5°．
本题考查了余角和补角，角的计算，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系．
29．(1)
(2)①；②
【解析】（1）根据OB平分∠COE，得出∠COB=∠EOB，根据∠AOB=90°，得出∠BOC+∠AOC =90°，∠BOE+∠AOD =90°，利用等角的余角性质得出∠AOC=∠AOD即可；
（2）①存在，根据，得出∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，当OB平分∠COE时，直角边在射线 上，∠EOB=∠BOC=，列方程15°t=30°，解得t=2；当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，∠EOB不是锐角舍去，当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，∠BOC=2∠EOC=120°＞90°∠BOC不是锐角舍去即可；
②如图根据∠COD=120°，可得AB与OD相交时，∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，代入计算即可．
（1）
解：∵OB平分∠COE，
∴∠COB=∠EOB，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOC =90°，∠BOE+∠AOD =90°，
∴∠AOC=∠AOD，
故答案为：∠AOC=∠AOD；
（2）
解：①存在，
∵，
∴∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，
当OB平分∠COE时，直角边在射线 上，
∠EOB=∠BOC=，
则15°t=30°，
∴t=2；
当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，
∴∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，
∴当OC平分∠EOB时，∠EOB不是锐角舍去，
当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，
∴∠BOC=2∠EOC=120°＞90°，
当OE平分∠BOC时，∠BOC不是锐角舍去，
综上，所有满足题意的t的取值为2，
②如图∵∠COD=120°，
当AB与OD相交时，
∵∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，
∴，
故答案为：30°．
本题考查角平分线定义，三角板中角度计算，图形旋转，角的和差计算，熟练掌握角平分线的性质，分类讨论的思想运用是解答的关键．
30．(1)30°
(2)①70°或110°；②∠BON＝2∠COM或∠BON＋2∠COM＝360°
【解析】（1）根据邻补角的定义可得∠AON的度数，根据角平分线的定义可得∠CON的度数，根据角的和差关系即可得答案；
（2）①分ON在直线AB上方和ON在直线AB下方两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系分别求出∠COM的度数即可得答案；②根据①中所求度数即可得答案．
(1)
∵∠BON＝60°，
∴∠AON＝180°-∠BON＝120°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON＝＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝∠MON-∠CON＝90°－60°＝30°．
(2)
①当ON在直线AB上方时，
∵∠BON＝140°，
∴∠AON＝40°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON＝20°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝70°，
当ON在直线AB下方时，
∵∠BON＝140°，
∴∠AON＝40°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON＝20°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝110°，
综上所述：∠COM的度数为70°或110°．
②当∠COM＝70°时，∠BON=2∠COM，
当∠COM＝110°时，∠BON+2∠COM=360°．
∴∠BON＝2∠COM或∠BON＋2∠COM＝360°．
本题考查角的计算、角平分线的定义及邻补角的定义，正确理解题意，灵活运用分类讨论的思想是解题关键．