北京版小学数学四年级上册 数图形的学问 教案

地道中的数学问题
一、【数学素养】
数线段问题的数学本质
数图形的学问为北京师版大学出版社教材四年级上册内容。本课内容通过创设小鼹鼠回家的情境，帮助学生理解数学问题，通过数形结合的方式，建立数学模型。通过模型的构建，找到数图形的问题本质，并在此过程中能够做到，有顺序、不重复、不遗漏。形成良好的思维习惯，并且在探索规律的过程中善于发现问题，善于发现规律，总结规律，应用规律。规律的总结与发现的过程就是发展学生数学推理能力的过程，也是形成数学核心素养的重要途径。
二、【教学过程】
一）绘本引入，创设问题情境
学生的实际生活中很少看到小鼹鼠这种小动物，离学生的实际比较遥远，所以教师创设绘本情境，将小鼹鼠放在情境中，通过情境中的鼹鼠介绍，孩子们对于问题理解的更到位，更真实，同时看着问题“引导者”也更加有亲切感。
师：同学们好，今天和我们一起上课的有一只小动物，它的名字叫嘉宝。嘉宝住在城外的一篇大草地上，草地上开着五颜六色的花儿，一看他那又松又软的皮毛，大大的爪子和粉红色的鼻头，你就指导，嘉宝是一只小鼹鼠。嘉宝白天的工作可辛苦了，他在草地底下挖隧道，再把挖出的泥土推到外面，形成一个个小土堆。最近，嘉宝要过生日了，它的朋友要来家里拜访他，但是它遇到了一个难题，希望你能帮他解决。
图1
二）展示分享，经历建模过程
图2
关键词：任选 向前走
师：小鼹鼠的朋友们要来拜访他，它统计了一下线路，如果任选一个洞口进入，向前走，再任选一个洞口钻出来，一共有多少种路线呢？
学生解释词语：任选 向前走（避免重复的情况）
学生活动：
1 用你喜欢的方式记录小鼹鼠的活动路线。
2 数一数，一共有几种方法。
学生展示层次：
用示意图代表问题情境：
图1 图2
图3
学生头脑中将情境图变成了用文字表示的洞口，或者带有方向性的词语“进”“出”等，不仅表示了问题在学生头脑中的转化，同时也将内容用自己熟悉的表征进行编码。但是孩子在书写“洞口”时，每个“洞口”没有做出区别，在与他人交流思想时，表达就会出现困境，所以需要进一步引导与提炼区分。
含有图形或字母的图画表征
图4 图5
图6
在文字的基础上，该层次的学生编码程度更高，开始使用图形符号进行问题的阐释与描述，并能有意识的应用字母进行问题的呈现，逻辑思维水平提高，编码能力也更强。
抽象数学模型，数形结合解决问题
图7 图8
第三层次的学生能够逐渐抽象出问题的情境模型，在学生头脑中，可以达到简单的“去情境化”，能够用数学的方式呈现问题，图7的学生开始使用数字进行对每个洞口的区分，这样在解释问题师，因为给洞口进行的标号，不仅便于理解，也便于与他人之间的交流。
抽象字母结合，模型建立更直观
图9 图10
第四层次的学生图示更加清晰与细致，不仅能够表明每个“洞口”的名字，或者用数字表示每个“固定点”的线路数，同时能够清晰的表明自己的思想过程，让别的读者一眼看明白自己的想法。
儿童的表现方式不同，有示意图，有线段图等，不同的表达方式都能体现学生的思维过程，但是通过对比交流，学生发现了不变是鼹鼠的路线构成。通过教师设置挑战性的情境问题，学生通过符号表达，表现了自己对于问题的真实理解，同时分层次的进行展示与交流，完善自己的符号表达，并在这个过程中，逐渐抽象问题，建立此问题的数学模型，在不断的修改作品的过程中，交流、反思、讨论并达成最终的共识，充分经历了抽象建模的过程。
三）板书梳理，沟通方法联系
学生在板书梳理的过程中，通过对比发现，以固定点找到线段总数的方法比较容易归纳总结，但是对于用间隔数记录总数的概括起来比较困难，通过教师引导学生给方法起名字，学生用自己的话语系统进行归纳总结，能够更好的理解所学内容。学生给数线段的方法起名为“青蛙跳”，“跳格子”通过儿童化的语言应用，帮助学生突破难点，在跳格子的过程中，可以先跳一格的，再跳两格两格的，最后再跳三格的，使学习的过程充满了趣味性，也使孩子对于模型的建构更加直观清晰富有情感。这种方法同样做到了不重复不遗漏。在梳理的最后，教师追问：同样方法是3+2+1=6，算式中每个数字代表的含义相同吗？直至本质：虽然我们分类的标准不一样，但是我们同样可以得到最终问题的答案。
学生作品展示：
以固定点分类，数线段条数
以线段长度分类，数线段条数（起名字：跳格子 青蛙跳等…）
沟通联系，虽然分类标准不同，列式都是3+2+1=6（条）
分析算式中3 、2 、1 对应的含义，明白数字的内容。
图8 图9
四）拓展延伸，巩固模型应用
图8
1.创设新的问题情境：
师：在你们的帮助下，小鼹鼠解决了线路难题，现在它从洞里钻了出来，要去准备生日宴会的食品，单程需要准备多少种不同的车票呢？
1 ）解释问题 “单程”
2）学生说一说自己的想法
3）解决问题（学生板书展示）
教师提问：这个和刚才的问题有相同的地方吗？
学生回答：①都是向着一个方向
②都有很多种路线
③可以把一个站看成一个洞口
2.清晰梳理模型构成：
图9
学生发现，依然能够按照从“固定点”除法，或者“数格子”的方法来数线段的条数，从而得出算式4+3+2+1=10，同时同样一个算式，在不同的方法中，数字的含义时不同的。并且能够解释每个数字在不同的方法中的意思，在“固定点”这种方法中，4代表从A点出发的4条线段，3代表从B点出发的3条线段，3代表从C点出发的2条线段，1代表从D点出发的1条线段，一共是10条线段。按照“数格子”的方法，4代表从A点开始，由一格组成的基本线段条数，AB,BC,CD,DE这4条线段，3代表由2格线段组成的AC,BD,CE这3条线段，2代表由3格线段组成的AD,BE这2条线段，1代表由4格线段组成的AE这条最长的线段。同样总数仍然是10条，学生可以清楚的说出数字的含义，也就表明了图形在学生是清晰建构的。
3.沟通发现模型异同
图10
通过对比观察，学生能够发现第一个图形的算式是3+2+1=6，第二幅图中算式为4+3+2+1=10，第二幅图比第一幅图多了一个4。
教师追问学生，4是怎么来的，是直接加上的吗？
学生能够发现，4是因为多了一个点，所以对应的多出来4段线段，用“固定点”的方法就是多出了线段AE,BE,CE,DE.学生不仅能发现多出的线段数量，更能知道4的具体含义，从而发现模型表象之下的异同点，为后来探究发现桂规律做好铺垫。
5．对比观察，发现总结规律
通过新情境下的应用，加深学生对模型的感受与理解，并在此过程中，体会数图形过程中的顺序性，做到不重复，不遗漏，通过数形结合的方式解决真实的数学问题。
横向对比，沟通联系
师：看来，小鼹鼠已经非常清楚准备车票的数量了，如果还能增加一个车站呢？数量又变成多少呢？再次增加呢？…你有什么想法？
生：现在车站变成6个了，还是可以应用线段图来解决问题
图11
列竖式是5+4+3+2+1=15个，比5个车站时增加了5条线路。这5条线路分别为增加的AF,BF,CF,DF,EF，增加了5个1，所以是5条线路。
纵向对比，体现规律
通过纵向对比，梳理课堂内容，加深学生对于规律的掌握与理解。
图12
发现规律类型：
①数基础线段数n，然后列式为：n+n-1+n-2+….+1
②数点数：n+1个，然后列式为：n+n-1+n-2+….+1
算式和点数的关系，算式和基础线段之间的关系
计算的简洁性
加数的个数和基础线段的关系
通过表格内容的梳理，学生对之前内容进行深入分析，探究事物本质关系，通过学生观察线段图、基础线段段数、线段中的点子数可以发现之间存在的与线段总数之间的关系，发现数图形之间的基本规律，可以对数基本图形的方法归类。同时计算过程中可以应用高斯定理处理算式，体现计算的简洁性。学生经历了知识的生成过程，才能够做到使自己知其然，更知其所以然，并能根据自己发现的规律进行解释与编码。
6．建构体系，体会基础图形价值
通过发现规律，初步体会规律在图形中的迁移，感知图形的变化与生长，再次建构模型，使模型具有动态属性，巩固深化模型含义，通过线段图底端直线向上滑动，平移过程中划过的面积，变成了长方形。学生在数长方形的过程中，发现数法和数线段是一样的。再通过线段中间隔断电斜向上延伸，在一点处相交，形成新的三角形，学生在这个过程中，既体现了图形的丰富性，有体现了数学基础图形之间的联系性，并能够再次发现模型的根本。最后，将三角形的一条边去掉，变成了角的组成，使学生与已有经验进行勾连，调动学生已有经验，温故而知新。图形的变化，目的在于体现数学模型的多元性与丰富性，使学生头脑中形成动态的“活”的模型。 建立数学模型的“生长性”。
图10 图11
图12 图13
7．应用拓展，对接生活原型
有八个小朋友参加兵乓球比赛，采用积分赛。每两个小朋友需要比赛一场，一共需要比几场？
请记录下自己的思考过程
1 学生说对题目的理解
2 学生尝试解决
3 汇报交流
模型是沟通数学与现实世界的桥梁。建模是把现实生活中的实际问题加以提炼，发现总结规律之后，提炼数学模型，求出该模型的问题答案。同时能够在实际问题或情境中验证模型的合理性与价值性。并能够通过模型生成现实问题，解释问题现象。同时模型思想的渗透还在于应用拓展的过程。本课中，最后设置的问题情境，是将模放回到实际生活中，使模型生活化，线段中的点，不仅可以仅在数学图形中存在，同时还可以代表一个人，一个小朋友，一支比赛队伍等等真实生活中的事物，让数学模型的含义更广泛，更丰富，从而感受模型的价值性。本课过程中，让学生经历了“观察体会问题情境—提出开放性实际问题—符号表征理解—抽象数学模型—发现总结规律—应用拓展延伸”几个方面，为学生更好的学习数学，喜欢数学打下一定的基础。
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