河北省青龙满族自治县实验中学2023届高三上学期11月期中考试数学试卷（含解析）

青 龙 实 验 中 学
2022-2023学年度上学期高三年级期中考试
数学试卷
本试卷共22题．全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2、已知向量，，则下列向量与平行的是( )
A. B. C. D.
3、已知，则( )
A. B. C. D.
4、等比数列的前n项和为，若，则( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
5、两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的半径为2，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为( )
A. B. C. D.
6、设向量满足，，则( )
A.1 B.-1 C.4 D.-4
7、已知函数，若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、已知的一段图象如图所示，则( )
A.
B.的图象的一个对称中心为
C.的单调递增区间是
D.函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9、以下说法，正确的是( )
A.，使成立
B.，函数都不是偶函数
C.“a，，”是“”的充要条件
D.中，“”是“”的充要条件
10、如图，AC为圆锥的底面直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是( )
A.圆锥的侧面积为
B.三棱锥体积的最大值为
C.的取值范围是
D.若，E为线段AB上的动点，则的最小值为
11、已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
12、某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、若，则__________.
14、的展开式的系数为________.
15、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______.
16、已知直线l与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，其中Q为中点，设直线与直线的斜率分别为m，n，则取得最小值时，双曲线的离心率为_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、设等差数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
18、如图，在三棱柱中，，，，平面ABC.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小.
19、在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且.
(1)求角A的大小；
(2)求面积的最大值.
20、近期，孩子刷短视频上瘾成为了家长们头疼的新问题.某市多所中学针对此展开的一项调查发现，近九成学生有使用短视频平台的习惯，近一半家长表示孩子或多或少存在沉迷短视频的现象，超半数家长认为短视频成瘾对青少年成长存在严重影响.某校为调查学生成绩下降与“短视频成瘾”之间是否有关随机调查了200名学生的开学考试成绩，其中“短视频成瘾”的学生中成绩末下降的有35名学生.(将总排名下降5%视为成绩下降，将刷短视频一天超过两小时规定为“短视频成瘾”)
(1)若样本中“短视频成瘾”且成绩末下降的女生有15名，并在被认为“短视频成瘾”且成绩末下降的对象中按性别采用分层抽样抽取7人，再从中随机抽取2人，求抽到的两人均为女生的概率.
(2)填写下面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，能否认为成绩下降与“短视频成瘾”有关
“短视频成瘾” 没有“短视频成瘾” 合计
学习成绩下降 100
学习成绩未下降
合计 96
参考公式与数据：，.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
21、已知双曲线的离心率为，点在C上.
(1)求双曲线C的方程.
(2)设过点的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数 若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由，
22、已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)证明：.
参考答案
1、答案：B
解析：，或，.故选B.
2、答案：A
解析：因为，，所以，
A项，因为，所以向量与平行.故A项正确.
B项，因为，所以向量与不平行.故B项错误.
C项，因为，所以向量与不平行.故C项错误.
D项，因为，所以向量与不平行.故D项错误.
故本题正确答案为A.
3、答案：A
解析：，
.
故选A.
4、答案：A
解析：设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列的前n项和，依题意，可得且，，又，解得.故选A.
5、答案：B
解析：画出轴截面如图所示，D是圆锥底面的圆心，O是球心.由于球的半径为2，两个圆锥的高之比为1:3，则，，所以两个圆锥的体积之和为.故选B.
6、答案：A
解析：分别将，两边平方得，，两式相减得，.故选A.
7、答案：A
解析：画出的图象(图略),可知在R上单调递增, 故 ,解得.
8、答案：C
解析：
9、答案：CD
解析：对于A：设，所以，当时，函数，当时，，当时，，故在时函数取得最小值，，所以，，即，，故A错误；
对于B：当时，故函数为偶函数，故B错误；
对于C：当时，等价于，当时，等价于，当时，等价于，反之同样成立，故C正确；
对于D：中，当时，，所以，由于，故，两边平方得：，故，即，所以或，当时，即，由于，所以，即，，所以，故，.当时，，故.故D正确.
故选CD.
10、答案：AB
解析：在中，，
则圆锥的母线长，半径，
对于选项A：圆锥SO的侧面积为，故选项A正确；
对于选项B：当时，的面积最大，
此时，
则三棱锥体积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：当点B与点A重合时，为最小角，
当点B与点C重合时，，达到最大值，
又因为B与A，C不重合，则，
又，所以，故选项C错误；
对于选项D：由，，，
得，又，
则为等边三角形，则，
将以AB为轴旋转到与共面，得到，
则为等边三角形，，
如图：
则，
因为，，
，
则，故选项D错误；
故选：AB.
11、答案：ACD
解析：
12、答案：BCD
解析：依题意，，
，，故C正确；
对于A，，
所以，故A错误；
对于B，，
所以，故B正确；
，故D正确.
故选：BCD.
13、答案：
解析：
14、答案：
解析：的展开式的系数为.
15、答案：
解析：，，，
由正弦定理可得：，
.
故答案为.
16、答案：
解析：令，则，，，
，即.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)设等差数列的公差为d，
由题意得
所以
故.
(2)因为，
所以，
，
两式相减得，
所以.
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：因为平面ABC，所以，
因为，，所以，
又，所以平面.
(2)以C为原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，则，，
所以，，取，则.
又平面ABC，取平面ABC的法向量，
所以.
由图可知，二面角为钝角，所以二面角为.
19、答案：(1)
(2)
解析：(1)，
，
，，
，.
(2)由余弦定理可得：，
即，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立.
，
面积的最大值为.
20、答案：(1)
(2)可以认为成绩下降与“短视频成瘾”有关
解析：(1)由题意，“短视频成瘾”且成绩未下降的女生有15名，所以“短视频成瘾”且成绩未下降的男生有20名，
若按性别采用分层抽样的方法从该样本中抽取7人，则其中男生4人，女生3人，
记“从7人中抽取2人，抽到的均为女生”为事件A，
则
(2)解：零假设为：成绩下降与“短视频成瘾”无关.
“短视频成瘾”的学生中成绩末下降的有35名学生根据统计数据得到列联表：
“短视频成瘾” 没有“短视频成瘾” 合计
学习成绩下降 61 39 100
学习成绩未下降 35 65 100
合计 96 104 200
所以，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
因此可以认为成绩下降与“短视频成瘾”有关.
21、答案：(1)
(2)在x轴上存在点，使得为常数，该常数为
解析：(1)因为双曲线C的离心率为，
所以，化简得.
将点的坐标代入，可得，
解得，
所以C的方程为.
(2)设，，直线l的方程为，联立方程组消去y得，
由题可知且，即且，
所以，.
设存在符合条件的定点，则，，
所以
所以，
化简得.
因为为常数，所以，解得.
此时该常数的值为，
所以在x轴上存在点，使得为常数，该常数为.
22、答案：(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
解析：(1)令，则，设，
当时，，时，，在上单调递减，
在上单调递增，，
时，；当时，且时，，
当上时，无零点，当或时，有一个零点，
当时，有两个零点.
(2)设，则，
即证，即证，
即证：，
设，则，当时，，当时，
，在单调递减，在单调递增，，
，当且仅当时“=”成立，由(1)知，当时，存在，
使得
.