教科版（2019）必修 第二册 第四章 机械能及其守恒定律 4.5机械能守恒定律的应用（含解析）

培优作业(六)　机械能守恒定律的应用
A组　(15分钟　50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．以水平面为零势能面，小球水平抛出时重力势能等于动能的2倍，那么在抛体运动过程中，当其动能和势能相等时，水平速度和竖直速度之比为(　　)
A．∶1　 B．1∶1　
C．1∶　 D．∶1
2．如图，从竖直面上大圆(直径为d)的最高点A，引出两条不同的光滑轨道，端点都在大圆上，同一物体由静止开始，从A点分别沿两条轨道滑到底端，则(　　)
A．所用的时间相同 B．重力做功都相同
C．机械能不相同 D．到达底端的动能相等
3．(多选)如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的竖直轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h.如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是(　　)
4．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
A．2R B．
C． D．
5．如图所示，滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下，当滑到最低点时，关于滑块的动能大小和对轨道的压力，下列说法正确的是(　　)
A．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大
B．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关
C．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越小
D．轨道半径变化时，滑块动能和对轨道的压力都不变
6．如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动．要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为(　　)
A． B．
C． D．
二、非选择题(20分)
7．如图所示，光滑轨道顶端高为h，底端通过小段圆弧与半径为R的光滑圆形轨道连接，整个轨道和斜面都在竖直平面内．一个小球从顶端A处由静止释放，通过圆轨道最高点时，对轨道的压力大小等于重力，则斜面高h应该是R的多少倍？
B组　(25分钟　50分)
计算题(每小题10分，共50分)
1．如图所示，小球质量为m，大小不计，右边圆轨道半径为R，小球从h＝3R处沿斜面滑下后，又沿圆轨道滑到最高点P处，不计任何摩擦．
求：
(1)小球通过P点的速度大小．
(2)小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力．
2．如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上．已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s．
(2)小物块落地时的动能Ek．
(3)小物块的初速度大小v0．
3．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B．
(1)小球到达B点时的速率为多大？
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多大？
(3)若初速度v0＝3，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？
4．如图所示，A物体用板托着，位于离地h＝1.0 m处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg.现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：
(1)A落地前瞬间的速度大小为多少？
(2)B物体在上升过程中离地的最大高度为多大？
5．如图所示，斜面ABC下端与光滑的圆弧轨道CDE相切于C，整个装置竖直固定，D是最低点，圆心角∠DOC＝37°，E、B与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝0.30 m，斜面长L＝1.90 m，AB部分光滑，BC部分粗糙．现有一个质量m＝0.10 kg的小物块P从斜面上端A点无初速下滑，物块P与斜面BC部分之间的动摩擦因数μ＝0.75.取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求：
(1)物块第一次通过C点时的速度大小vC；
(2)物块第一次通过D点时受到轨道的支持力大小N；
(3)物块最终所处的位置．
答案：
培优作业(六)　机械能守恒定律的应用
A组　(15分钟　50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．以水平面为零势能面，小球水平抛出时重力势能等于动能的2倍，那么在抛体运动过程中，当其动能和势能相等时，水平速度和竖直速度之比为(　　)
A．∶1　 B．1∶1　
C．1∶　 D．∶1
解析：开始抛出时：mgh＝2·mv，当动能和势能相等时：mgh1＝mv2，此时小球的竖直速度vy＝＝＝，解得＝，故选项D正确．
答案：D
2．如图，从竖直面上大圆(直径为d)的最高点A，引出两条不同的光滑轨道，端点都在大圆上，同一物体由静止开始，从A点分别沿两条轨道滑到底端，则(　　)
A．所用的时间相同 B．重力做功都相同
C．机械能不相同 D．到达底端的动能相等
解析：由机械能守恒定律及重力做功的特点知B、C、D错误．由等时圆的特点知A正确．
答案：A
3．(多选)如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的竖直轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h.如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是(　　)
解析：A图中小球沿轨道上滑直到速度为零，由于机械能守恒，因此小球能上升到h高度，选项A正确；B图中，小球到达轨道顶端后离开轨道做斜上抛运动，到达抛物线最高点时速度不为零，因此动能不为零，则小球不能上升到h高度，选项B错误；C图中小球沿竖直管向上运动，直到速度减小到零，小球可上升到h高度，选项C正确；D图中小球进入圆轨道后做圆周运动，能达到最高点的条件是在最高点时重力等于向心力，即mg＝m，动能不能为零，所以选项D错误．
答案：AC
4．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
A．2R B．
C． D．
解析：运用机械能守恒定律，当A下落到地面前，对AB整体有2mgR－mgR＝·2mv2＋mv2，所以mv2＝mgR，即A落地后B还能再升高，上升的最大高度为R，故选项C正确，选项A、B、D错误．
答案：C
5．如图所示，滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下，当滑到最低点时，关于滑块的动能大小和对轨道的压力，下列说法正确的是(　　)
A．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大
B．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关
C．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越小
D．轨道半径变化时，滑块动能和对轨道的压力都不变
解析：轨道半径越大，滑块转化为动能的重力势能就越大，故动能越大，由机械能守恒定律得，mgR＝mv2，滑块对轨道的压力N＝mg＋＝3mg，与半径的大小无关，选项B正确．
答案：B
6．如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动．要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为(　　)
A． B．
C． D．
解析：小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg＝m.小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，设小车在A处获得的最小初速度为vA，由机械能守恒定律得mv＝mgr＋mv2，解得vA＝.故选项C正确．
答案：C
二、非选择题(20分)
7．如图所示，光滑轨道顶端高为h，底端通过小段圆弧与半径为R的光滑圆形轨道连接，整个轨道和斜面都在竖直平面内．一个小球从顶端A处由静止释放，通过圆轨道最高点时，对轨道的压力大小等于重力，则斜面高h应该是R的多少倍？
解析：设小球的质量为m，由题意知在最高点B处有
2mg＝m，得vB＝①
小球运动过程机械能守恒，有
mgh＝mg·2R＋mv②
联立①②式解得h＝3R．
答案：3倍
B组　(25分钟　50分)
计算题(每小题10分，共50分)
1．如图所示，小球质量为m，大小不计，右边圆轨道半径为R，小球从h＝3R处沿斜面滑下后，又沿圆轨道滑到最高点P处，不计任何摩擦．
求：
(1)小球通过P点的速度大小．
(2)小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力．
解析：(1)根据机械能守恒定律：
mg(h－2R)＝mv
解得小球通过P点的速度v1＝
(2)设小球通过最低点的速度为v2
根据机械能守恒定律mgh＝mv
根据牛顿第二定律FN－mg＝m
解得FN＝7mg，故小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg，方向竖直向下．
答案：(1)　(2)7mg　竖直向下
2．如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上．已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s．
(2)小物块落地时的动能Ek．
(3)小物块的初速度大小v0．
解析：(1)小物块飞离桌面后做平抛运动，根据平抛运动规律，有竖直方向：h＝gt2
水平方向：s＝vt
解得水平距离s＝v＝0.90 m．
(2)小物块从飞离桌面到落地的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律可得小物块落地时的动能为
Ek＝mv2＋mgh＝0.90 J．
(3)小物块在桌面上运动的过程中，根据动能定理，有
－μmg·l＝mv2－mv
解得小物块的初速度大小v0＝＝4.0 m/s．
答案：(1)0.90 m　(2)0.90 J　(3)4.0 m/s
3．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B．
(1)小球到达B点时的速率为多大？
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多大？
(3)若初速度v0＝3，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？
解析：(1)小球恰能到达最高点B，有
mg＝m，得vB＝．
(2)由A到B根据机械能守恒定律
mv＝mg＋mv
解得v0＝
(3)当v0＝3时，在小球从A到B的过程中由动能定理得
－mg－Wf＝mv－mv
可求出Wf＝mgL．
答案：(1)　(2)　(3)mgL
4．如图所示，A物体用板托着，位于离地h＝1.0 m处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg.现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：
(1)A落地前瞬间的速度大小为多少？
(2)B物体在上升过程中离地的最大高度为多大？
解析：(1)A落地时，A、B系统重力势能的减少量
ΔEp减＝Mgh－mgh
系统动能的增加量
ΔEk增＝(M＋m)v2
根据系统机械能守恒有
Mgh－mgh＝(M＋m)v2
故A落地时，A、B物体的瞬时速度v＝2 m/s．
(2)A落地后，B物体上升过程机械能守恒，设上升h′后速度变为零，取地面为参考平面
故mgh＋mv2＝mg(h＋h′)
所以h′＝0.2 m
故B物体离地面的最大高度为h＋h′＝1.2 m．
答案：(1)2 m/s　(2)1.2 m
5．如图所示，斜面ABC下端与光滑的圆弧轨道CDE相切于C，整个装置竖直固定，D是最低点，圆心角∠DOC＝37°，E、B与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝0.30 m，斜面长L＝1.90 m，AB部分光滑，BC部分粗糙．现有一个质量m＝0.10 kg的小物块P从斜面上端A点无初速下滑，物块P与斜面BC部分之间的动摩擦因数μ＝0.75.取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求：
(1)物块第一次通过C点时的速度大小vC；
(2)物块第一次通过D点时受到轨道的支持力大小N；
(3)物块最终所处的位置．
解析：(1)根据几何关系得，斜面BC部分的长度为：l＝0.40 m
设物块第一次通过B点时的速度为vB，根据动能定理有：mg(L－l)sin 37°＝mv－0
代入数据得：vB＝3 m/s
物块在BC部分滑动受到的摩擦力大小为：f＝μmgcos 37°＝0.60N
在BC部分下滑过程受到的合力为：F＝mgsin 37°－f＝0
则物块第一次通过C点时的速度为：vC＝vB＝3 m/s
(2)设物块第一次通过D点时的速度为vD，根据动能定理：
mgR(1－cos 37°)＝mv－mv
在D点由牛顿第二定律得：FD－mg＝m
联立解得：FD＝7.4N
(3)物块每通过一次BC部分减小的机械能为：ΔE＝fl＝0.24J
物块在B点的动能为：EkB＝mv＝0.9J
物块能经过BC部分的次数为：n＝＝＝3.75
设物块第四次从下端进入BC部分后最终在距离C点x处于静止，则有：
mg(L－x)sin 37°－f(3l＋x)＝0
解得：x＝0.35 m
答案：(1)4.2 m/s　(2)7.4N　(3)距离C点0.35 m处静止