《对数函数》
一、简单应用
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，解得，即函数的定义域是.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；所以.
3．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【答案】C
【详解】由图可知a>1，b>1，0a>1>d>c．
二、图象应用
4．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
5．（2022·上海·高一专题练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数的图象为减函数可知，，
再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象
6．（2022·全国·高一课时练习）已知，，分别为方程，，的根，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在同一直角坐标系中作出函数，，和的大致图像，如图所示.
由函数与图像的交点的横坐标为，
函数与图像的交点的横坐标为，
函数与图像的交点的横坐标为，知.
7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．以上选项均有可能
【答案】C
【详解】作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，所以，即，，即，
三、单调性
8．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，
9．（2022·全国·高一课时练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】方法一 :
由得，
则，解得或.
方法二 :
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，，解得或，
10．（2022·全国·高一课时练习）设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在 单调递增
【答案】B
【详解】解：由，得x≠±．
又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，
∵11．可得内层函数t＝||的图象如图，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，
又对数式y＝是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减．
11．（2022·全国·高一专题练习）已知在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在上为单调递增函数；
，解得；实数的取值范围为．
12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 在上单调递减，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数 在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
13．（2022·福建泉州·高一期末）若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数中，令，函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，因此，，解得，所以实数a的取值范围为.
四、综合
14．（多选）（2022·广东湛江·高一期末）下列函数为偶函数且在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】对A，为偶函数且在上是增函数，故A正确；
对B，为偶函数且在上是减函数，故B错误；
对C，不为偶函数，故C错误；
对D，为偶函数且在上是增函数，故D正确
15．（多选）（2022·重庆八中高一期末）已知函数，下列关于的说法正确的是（ ）
A．定义域是 B．值域是
C．图象恒过定点 D．当时，在定义域上是增函数
【答案】ABC
【详解】解：对于A选项，，解得，所以定义域是，故正确；
对于B选项，由对数函数的性质得值域是，故正确；
对于C选项，函数恒过定点，故正确；
对于D选项，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，故根据复合函数单调性得当时，在定义域上是减函数，故错误；
16．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A．函数的图象恒过定点
B．函数在区间上单调递减
C．函数在区间上的最小值为0
D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【详解】代入函数解析式，成立，故A正确；
当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误；
当时，，所以，故C正确；
当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确.
17．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，设，，，则的大小关系_______.
【答案】
【详解】解：因为定义域为，又，所以是偶函数，
且时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，又，所以，
即.
18．（2022·全国·高一课时练习）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
(1)当时，求在上的最大值与最小值；
(2)求在上的最小值．
【分析】（1）解：设（，且），
∵的图像过点，∴，即，
∴，即，∴．
∵，∴，即．
设，则，，
∴，又，，∴．
∴当时，在上的最大值为3，最小值为．
（2）解：设，则，
由（1）知，对称轴为直线．
①当时，在上是增函数．；
②当时，在上单调递减，在上单调递减，；
③当时，在上单调递减，．
综上所述，．
19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．
(1)求的值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【分析】（1）解：因为函数的图象关于原点对称，
所以，即，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，
所以，解得，又时，无意义，故．
（2）因为时，恒成立，所以恒成立，所以在上恒成立，因为是减函数，
所以当时，，所以，所以实数的取值范围是．
（3）因为在上单调递增，在上单调递减，因为关于的方程在上有解，
所以即解得，
所以实数的取值范围是．
《练习》
一、单选题
1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列函数，其中在上是增函数且不存在零点的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A选项，函数在上是增函数且不存在零点，故A正确；
对于B选项，函数的零点是1，故B错误；
对于C选项，函数在上是减函数，故C错误；
对于D选项，函数在上是减函数，故D错误．
2．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以.
3．（2020·天津·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，则，，解得，即函数的定义域，由题意，令，，则，易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间，由，则在上二次函数的递增区间为，
4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．（3，4） C．（2，5） D．
【答案】A
【详解】由题意得，，解得，
所以，所以.
因为，所以，即，
从而，解得.故不等式的解集为.
15．（2022·全国·高一专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，即为，即有ab＝1.
当a＞1时，0＜b＜1，函数与均为减函数，四个图像均不满足
当0＜a＜1时，b＞1，函数数与均为增函数，排除ACD
在同一坐标系中的图像可能是B，
5．（2022·重庆·高一期末）已知关于的函数在上是单调递减的函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，则，
因为的单调递增函数，函数在上是单调递减的函数
由复合函数的单调性判断方法可得是单调递减函数，所以，又在上是单调递减的函数，所以，得，
6．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数定义域为，，
因在，上单调，则函数在，上单调，而函数在区间上单调递减，必有函数在上单调递减，而在上递增，则在上递减，于是得，解得，
由，有意义得：，解得，因此，，
所以实数的取值范围是.
二、多选题
7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．定义域为（－1，4）B．最大值为2 C．最小值为－2 D．单调递增区间为
【答案】ACD
【详解】令，得，
即函数的定义域为，故A正确；
∵，∴，
∴，故B错误，C正确；
令，则其在，上单调递增，在上单调递减，又在（0，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性得的单调递增区间为，故D正确．
8．（2022·江西南昌·高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．的定义域为
C． D．在定义域上单调递减
【答案】ABC
【详解】定义域为，又，所以为奇函数，AB正确；
，，，所以，C正确；
在定义域内为增函数，而单调递增，由复合函数单调性可知：在定义域上单调递增，D错误.
9．（2022·安徽·界首中学高一期末）设，函数（），则（ ）
A．函数的最小值是0 B．函数的最大值是2
C．函数在上递增 D．函数在上递减
【答案】BCD
【详解】令函数，，显然，在上单调递增，而，当时，，即，则有，当时，在上单调递增，，其值域为，当时，在上单调递减，，其值域为，
因此，函数的值域是，A不正确；B，C，D都正确.
三、填空题
10．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为4，则a的取值范围为________．
【答案】
【详解】解：因为，当时，易知在上单调递增，当时，在上单调递增．
作出的大致图象，如图所示．
由图可知，，，因为在上的最大值为，所以的取值范围为．
11．（2022·上海市控江中学高一期末）函数的严格减区间为______.
【答案】
【详解】解：，得或，故函数的定义域为，令，则函数在上递增，在上递减，又函数为减函数，所以函数的严格减区间为.
12．（2022·全国·高一课时练习）若函数是幂函数，且其图像过点，则的单调递增区间为___________.
【答案】
【详解】函数是幂函数，且其图象过点，
，且，求得，，可得，
则函数，
令，解得：或，且的对称轴是，
故函数在递增，
13．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期末）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是_______
【答案】
【详解】由，在R上单调递增，
∴在上递增，在上也递增，
由增函数图象特征知：不能在点上方，综上， ，解得，
∴实数a的取值范围是.
14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】由不等式可知，在上单调递增，又因为在上单调递减，
则在上单调递减，且在上恒成立，
所以，解得．
四、解答题
15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)若函数的定义域为，求实数的值；
(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的值；
(3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【分析】（1）令，则由题意可知1，3为方程的两个根，
所以函数的图像的对称轴方程为，即．
（2）由题意，对于方程，，即，
由函数的值域为，可得当时，，解得或．故实数的值为1或．
（3）函数在上单调递增，则在上单调递减．
易知函数的图像的对称轴为直线，所以．易知在时取得最小值，
当时，有，得，所以实数的取值范围是．
16．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数（且）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
【分析】（1）由得.所以的定义域为，
因为函数的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（2）①当时，在上为增函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.
②当时，在上为减函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.
综上，①当时，存在，使得不等式成立；②当时，存在，使得不等式成立.《对数函数》
一、性质简单应用
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
二、图象应用
4．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·上海·高一专题练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知，，分别为方程，，的根，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．以上选项均有可能
三、单调性
8．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高一课时练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高一课时练习）设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在 单调递增
11．（2022·全国·高一专题练习）已知在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 在上单调递减，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·福建泉州·高一期末）若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
四、综合
14．（多选）（2022·广东湛江·高一期末）下列函数为偶函数且在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
15．（多选）（2022·重庆八中高一期末）已知函数，下列关于的说法正确的是（ ）
A．定义域是 B．值域是
C．图象恒过定点 D．当时，在定义域上是增函数
16．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A．函数的图象恒过定点
B．函数在区间上单调递减
C．函数在区间上的最小值为0
D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是
17．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，设，，，则的大小关系_______.
18．（2022·全国·高一课时练习）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
(1)当时，求在上的最大值与最小值；
(2)求在上的最小值．
19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．
(1)求的值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
《练习》
一、单选题
1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列函数，其中在上是增函数且不存在零点的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·天津·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．（3，4） C．（2，5） D．
5．（2022·全国·高一专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·重庆·高一期末）已知关于的函数在上是单调递减的函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．定义域为（－1，4）B．最大值为2 C．最小值为－2 D．单调递增区间为
9．（2022·江西南昌·高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．的定义域为
C． D．在定义域上单调递减
10．（2022·安徽·界首中学高一期末）设，函数（），则（ ）
A．函数的最小值是0 B．函数的最大值是2
C．函数在上递增 D．函数在上递减
三、填空题
11．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为4，则a的取值范围为________．
12．（2022·上海市控江中学高一期末）函数的严格减区间为______.
13．（2022·全国·高一课时练习）若函数是幂函数，且其图像过点，则的单调递增区间为___________.
14．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期末）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是_______
15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围是________.
四、解答题
16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)若函数的定义域为，求实数的值；
(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的值；
(3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
17．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数（且）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
