《函数零点》
一、求零点
1．（2022·江苏·高一期中）函数零点是__________．
2．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））函数的零点是（ ）
A． B． C． D．9
3．（多选）（2022·江苏宿迁·高一期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．函数的零点为和
D．不等式的解集为
4．（2022·北京市第十三中学高一期中）已知二次函数．
(1)求函数的零点；
(2)求不等式的解集；
(3)如果函数的图像恒在直线的上方，求：a的取值范围．
二、零点所在区间
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
2．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
则函数在区间上的零点至少有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2022·贵州遵义·高三期中（理））若是方程的根，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2022·全国·高一课时练习）若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上有且只有1个零点
B．函数在区间上一定没有零点
C．函数在区间上可能有零点
D．函数在区间上至少有1个零点
三、由零点个数求参数
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2（多选）．（2022·四川·广安二中高一期中）若方程有且只有一个解，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁鞍山·高一期中）已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________.
四、综合问题
1．（2022·江苏省扬中高级中学高一期中）已知函数，若关于的方程有三个互不相等的实数根，则①实数的取值范围为___________；②的取值范围为___________.
2．（2022·上海市市北中学高三期中）已知函数，则函数的所有零点之和为_____________．
3．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
《练习》
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，则函数在下列哪个区间内必有零点（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）根据表中数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（ ）
x 0 1 2 3
0.37 1 2.27 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A． B． C． D．
3．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习）方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川泸州·一模（文））已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·江苏宿迁·高一期中）已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数单调减区间为
C．若，则的取值范围是
D．若方程有三个解，则的取值范围是
三、填空题
6．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）函数，函数的零点所在的区间为则____
7．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（文））已知函数，，若存在2个零点，则a的取值范围是________
8．（2022·重庆一中高一期中）已知函数与函数的图像在恰好有一个交点，则实数的取值范围是______.
9．（2021·辽宁实验中学高一阶段练习）设方程的解为，，方程的解为，，则______．
四、解答题
10．（2022·江苏·海安高级中学高一期中）设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
11．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数（）.
(1)当，时，求函数的不动点；
(2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.
12．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数
(1)求的定义域并判断的奇偶性；
(2)求函数的值域；
(3)若关于的方程有实根，求实数的取值范围《函数零点》
一、求零点
1．（2022·江苏·高一期中）函数零点是__________．
【答案】
【详解】令，得，解得或.
2．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））函数的零点是（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【详解】当时，，解得
当时，，解得所以函数的零点为：
3．（多选）（2022·江苏宿迁·高一期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．函数的零点为和
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【详解】关于的不等式的解集为，所以，且和4是关于的方程的两根，由韦达定理得，则，所以A正确；不等式即为，解得，所以B正确；
因为和4是关于的方程的两根，函数的零点为和，故C错误；不等式即为，即，解得或，所以不等式的解集为，所以D正确.
4．（2022·北京市第十三中学高一期中）已知二次函数．
(1)求函数的零点；
(2)求不等式的解集；
(3)如果函数的图像恒在直线的上方，求：a的取值范围．
【详解】（1）因为二次函数，
令，则则或，
即函数的零点为
（2）由得
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为
（3）若函数的图像恒在直线的上方，则恒成立，
即恒成立所以，解得
即
二、零点所在区间
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】A
【详解】函数是定义在R上的连续递增函数，，，由零点存在定理，函数零点所在的区间为（0，1）.
2．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
则函数在区间上的零点至少有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】因为函数的图像是连续不断的，
且，由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，
因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，
因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，
综上：函数在区间上的零点至少有3个.
3．（2022·贵州遵义·高三期中（理））若是方程的根，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，因为是方程的根，所以为函数的零点，因为函数，在上都为单调递增函数，
所以在上单调递增，又，，所以函数的零点一定在区间内，所以，
4．（多选）（2022·全国·高一课时练习）若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上有且只有1个零点
B．函数在区间上一定没有零点
C．函数在区间上可能有零点
D．函数在区间上至少有1个零点
【答案】CD
【详解】因为函数的图像在R上连续，且，，所以，所以函数在区间上至少有1个零点，故选项A错误，选项D正确；函数在区间上可能有零点，也可能无零点，故选项B错误，选项C正确．
三、由零点个数求参数
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，
当时，在上单调递减，；
当时，在上单调递增，；
当时，在上单调递增，；
由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，
2（多选）．（2022·四川·广安二中高一期中）若方程有且只有一个解，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，结合图象即可得出答案.
【详解】解：方程有且只有一个解，即函数与的图象只有一个交点，画出函数的图象，由图可知，或.
3．（2022·辽宁鞍山·高一期中）已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】由于在上只有一个零点4，函数在上的两个零点为1和3，若,此时在上没有零点，函数在上的两个零点为1和3，满足题意，当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1和3，不满足题意，舍去当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1，满足题意，当时，此时在上有零点4，函数在上没有零点，不满足题意，舍去，综上：或，
四、综合问题
1．（2022·江苏省扬中高级中学高一期中）已知函数，若关于的方程有三个互不相等的实数根，则①实数的取值范围为___________；②的取值范围为___________.
【答案】
【详解】有三个互不相等的实数根等价于与有三个不同的交点，
作出图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有三个不同的交点，即实数的取值范围为；令，解得：，；又关于对称，，.
2．（2022·上海市市北中学高三期中）已知函数，则函数的所有零点之和为_____________．
【答案】
【详解】时，，，由，可得或，或；时，，，由，可得或，或；函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
3．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，，即，解得；
故要使得方程有四个不相等的实数根，则与的图象有四个交点，如下图所示：
数形结合可知，.
《练习》
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，则函数在下列哪个区间内必有零点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，,，由零点存在定理可知，在内必有零点.
2．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）根据表中数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（ ）
x 0 1 2 3
0.37 1 2.27 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，
，，，，得，由零点存在定理可知：函数的存在零点位于区间内，即方程的一个根所在区间为．
3．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习）方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，显然单调递增，
又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，所以的根所在区间为.
4．（2022·四川泸州·一模（文））已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若方程恰有三个不同的实数根，则函数与有3个不同的交点如图与的图像
由图可得函数与有3个不同的交点，则
故选：A.
二、多选题
5．（2022·江苏宿迁·高一期中）已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数单调减区间为
C．若，则的取值范围是
D．若方程有三个解，则的取值范围是
【答案】ACD
【详解】，A正确；
画出函数图像，根据图像知函数单调减区间为和，B错误；
当时，，解得；当时，，解得，故，C正确；，方程有三个解，根据图像知，，D正确.
三、填空题
6．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）函数，函数的零点所在的区间为则____
【答案】2
【详解】函数定义域为，且在上单调递增，
，因此函数的唯一零点在内，所以.
7．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（文））已知函数，，若存在2个零点，则a的取值范围是________
【答案】
【详解】令，得，
作出函数与的图象如下，
由图象可知，当时，图象有2个交点，即存在2个零点.
8．（2022·重庆一中高一期中）已知函数与函数的图像在恰好有一个交点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】联立得，
解出，
令，原式整理得，可变形为
这个方程在上恰有一个解等价于函数和在仅有一个交点.
在上单调递减，在上单调递增；
分别计算的值为，易得：
故答案为：.
9．（2021·辽宁实验中学高一阶段练习）设方程的解为，，方程的解为，，则______．
【答案】10
【详解】由方程得，由方程得，
在同一坐标系下做出函数、，的图象，
不妨设，如下图，
因为函数与的图象关于对称，即点与点、点与点都关于对称，
由解得，即两直线的交点为，则，
则.
四、解答题
10．（2022·江苏·海安高级中学高一期中）设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
【详解】（1）函数有且只有一个零点，所以方程有且仅有一个根，当时，，即，满足题设；当时，，即，此时，满足题设；综上，时，零点为2；，零点为4.
（2）因为对任意的，总，使得成立，所以的值域是的值域的子集，可得时， 在上单调递增，且，所以的值域为.
当时，在上单调递增，故，即，
所以可得 解得；当时，，不满足题意；当时，在上单调递减，故，即，
所以可得，解得；综上，m的取值范围为.
11．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数（）.
(1)当，时，求函数的不动点；
(2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.
【分析】（1），由，解得或，
所以所求的不动点为或.
（2）令，则①，
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，
即恒成立，则，故.
（3）设，，，，
又的中点在该直线上，所以，
，而应是方程①的两个根，所以，
即，，
当时，.
12．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数
(1)求的定义域并判断的奇偶性；
(2)求函数的值域；
(3)若关于的方程有实根，求实数的取值范围
【分析】(1)由题意可得，由，得，
所以的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，
(2)，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以的值域为，
(3)关于的方程有实根，即在上有实根，
令，
因为在上单调递减，而在上单调递增，
所以在上单调递减，所以在上的最小值为，最大值为，所以，
所以当时，方程有实根
