《幂函数》
一、单选题
1．（2022·湖北·应城市第一高级中学高一期中）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．3 B． C．9 D．
2．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·山东省青岛第六十八中学高一期中）幂函数的图像分布在第一、二象限，则实数（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
4．（2022·广东·高一期中）已知幂函数过点，则在其定义域内（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．为奇函数 D．为偶函数
5．（2022·湖南省宁远县第一中学高一期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A．3 B．－1 C．1或－3 D．－1或3
6．（2022·浙江·温州中学高一期中）若,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·山西·太原五中高一阶段练习）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建泉州·高一期中）下列比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·浙江嘉兴·高一期中）下列有关幂函数的结论中，正确的是（ ）
A．的图象都经过点 B．的图象可能会出现在第四象限
C．当时，在是增函数 D．当时，在是减函数
10．（2022·安徽·高一期中）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
11．（2022·江苏扬州·高三期中）下列说法中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为减函数
C．若，则 D．若，则
13．（2022·广东·广州市第七十五中学高一期中）已知幂函数，则（ ）
A． B．定义域为 C． D．
三、填空题
14．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）已知幂函数图象不过原点，则实数m的值为______．
15．（2022·上海市风华中学高一期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则____________．
16．（2022·湖南·长郡中学高一期中）已知函数是幂函数，若，则实数的最大值是______．
四、解答题
17．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）已知幂函数在上单调递增.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
18．（2022·浙江嘉兴·高一期中）已知幂函数（为常数）的图象经过点.
(1)求的解析式；
(2)设，
（ⅰ）判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
（ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.《幂函数》
一、单选题
1．（2022·湖北·应城市第一高级中学高一期中）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】A
【详解】由题意设，由函数的图象过点，
则，解得，即 ，则，
2．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数和函数是奇函数，不符合题意，CD选项错误.
函数是偶函数，且在上递减，不符合题意，A选项错误.
函数是偶函数，且在上单调递增，符合题意，B选项正确.
3．（2019·山东省青岛第六十八中学高一期中）幂函数的图像分布在第一、二象限，则实数（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
【答案】B
【详解】因为函数为幂函数，所以，解得：或.当时，幂函数为为偶函数，图像关于y轴对称，在第一、二象限；
当时，幂函数为为奇函数，图像关于原点对称，在第一、三象限.
4．（2022·广东·高一期中）已知幂函数过点，则在其定义域内（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
【详解】因为为幂函数，设解析式为，将点代入，
得，，所以，值域为，所以A，B不对，
又因为，所以为奇函数，C对，D不对
5．（2022·湖南省宁远县第一中学高一期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A．3 B．－1 C．1或－3 D．－1或3
【答案】A
【详解】因为是幂函数，所以，解得或3；
又在上单调递增，当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，故．
6．（2022·浙江·温州中学高一期中）若,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解:由题知构造,由幂函数性质可知单调递增,
,,,
综上:.
7．（2022·山西·太原五中高一阶段练习）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数可知且为奇数，又，故，代入得，，由的单调性得，解得：
8．（2022·福建泉州·高一期中）下列比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，又在上单调递减，，所以，所以.
二、多选题
9．（2022·浙江嘉兴·高一期中）下列有关幂函数的结论中，正确的是（ ）
A．的图象都经过点 B．的图象可能会出现在第四象限
C．当时，在是增函数 D．当时，在是减函数
【答案】ACD
【详解】由幂函数的性质可知，即的图象都经过点，故A正确；
若函数的图象出现在第四象限，且函数在第一象限内必有图象，
从而存在，使得一个对应两个值，与函数的定义矛盾，故B错误；
当时，在是增函数，故C正确；
当时，在是减函数，故D正确.
10．（2022·安徽·高一期中）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】ACD
【详解】对A，当时，，由不等式性质可得，故正确；
对于B，，可得，由不等式性质可得，故错误；对于C，由可得，即，又，所以，故C正确；
对于D，因为在上单调递增，所以由可得，
也可由不等式的性质，当为奇数时，可得，故正确.
11．（2022·江苏扬州·高三期中）下列说法中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【详解】对于A，若，则，A正确；对于B，若，当时，，B错误；对于C，若，则，C正确；
对于D，若，则，不一定有，D错误.
12．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为减函数
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【详解】设幂函数为实数，∵其图像经过点，∴，解得，
∴，其定义域为，且在上为增函数，A正确；
时，，选项C正确；∵函数是上凸函数，
∴对定义域内任意的，都有成立，选项D错误.
13．（2022·广东·广州市第七十五中学高一期中）已知幂函数，则（ ）
A． B．定义域为 C． D．
【答案】AC
【详解】为幂函数，，得，A对；
函数的定义域为，B错误；由于在上为增函数，，C对；，，D错误，
三、填空题
14．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）已知幂函数图象不过原点，则实数m的值为______．
【答案】1
【详解】令，解得或，当时，图象不过原点，成立；
当时，图象过原点，不成立；故实数m的值为1，
15．（2022·上海市风华中学高一期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则____________．
【答案】
【详解】根据其为幂函数，则，解得或，
当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示：
故舍去，
当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示：
16．（2022·湖南·长郡中学高一期中）已知函数是幂函数，若，则实数的最大值是______．
【答案】6
【详解】解：因为函数是幂函数，所以，解得，
所以，因为，所以函数是上的奇函数，
又函数在上递增，且在定义域内连续，所以函数在上递增，
不等式，即为不等式，所以，解得，所以实数的最大值是6.
四、解答题
17．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）已知幂函数在上单调递增.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）为幂函数，，解得：或；
当时，在上单调递减，不合题意；
当时，在上单调递增，符合题意；综上所述：.
（2）由（1）得：在上恒成立，在上恒成立，当时，，，解得：，
即实数的取值范围为.
18．（2022·浙江嘉兴·高一期中）已知幂函数（为常数）的图象经过点.
(1)求的解析式；
(2)设，
（ⅰ）判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
（ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）解：幂函数的图象经过点，，解得，
；
（2）解：由（1）可得，
（ⅰ）在上单调递增，证明：设任意的且，
，
，，，，
函数在区间上单调递增；
（ⅱ）在上恒成立，又在区间上单调递增，所以，所以，的取值范围是．
