高一上学期数学专题复习：
第6章《幂函数、指数函数和对数函数》专题（1）
一、多项选择题
1．已知正实数，满足，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则下列结论正确的是 ( )
A． B． C． D．
3．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是 ( )
A． B．
C． D．
4．已知，，且，则 ( )
A． B． C． D．
5．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 ( )
A．“”是“”的充分不必要条件
B．函数过定点
C．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
D．函数的定义域为D，若满足：(1)在D内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是
二、解答题
1．已知定义在上的函数．
(1)求证：是奇函数；
(2)求证：在上单调递增；
(3)求不等式的解集．
2．已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
3．对于函数，若在其定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
(1)若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
(2)若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数n的取值范围．
4．已知函数是奇函数，是偶函数
(1)求的值；
(2)设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
5．已知函数且在上最大值和最小值的和为12，令．
(1)求实数的值，并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；
(2)解不等式：．高一上学期数学专题复习：
第6章《幂函数、指数函数和对数函数》专题（1）
一、多项选择题
1．已知正实数，满足，则 ( )
A． B． C． D．
1．BC
2．已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则下列结论正确的是 ( )
A． B． C． D．
2．BCD
3．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是 ( )
A． B．
C． D．
3．AD
4．已知，，且，则 ( )
A． B． C． D．
4．ACD
5．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 ( )
A．“”是“”的充分不必要条件
B．函数过定点
C．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
D．函数的定义域为D，若满足：(1)在D内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是
5．AC
二、解答题
1．已知定义在上的函数．
(1)求证：是奇函数；
(2)求证：在上单调递增；
(3)求不等式的解集．
1．(1)由已知函数定义域为，关于原点对称， …………………………1分
，所以函数是奇函数；……………4分
(2)任取， ……………………5分
… ……7分
因为，所以
所以在上单调递增； ………………………………………8分
(3)不等式可化为 ………………………9分
因为在上单调递增，所以不等式可化为 …………………11分
解得 ……………………………．…………………12分
2．已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
2．(1)解：是定义在上的奇函数，， ……………………1分
因为在时，，
设，则， ………………… ………………2分
则， ………………………………………………4分
故 ．…………………………………6分
(2)解：由题意，可化为
化简可得， ………………………………………………8分
令，， …………………………………………9分
因为在定义域上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减， ………………………………………………10分
， …………………………………………11分
故． ………………………………………………………………12分
3．对于函数，若在其定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
(1)若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
(2)若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数n的取值范围．
3．(1)解：因为是定义在区间上的“局部奇函数”
所以，即，所以
于是问题转换成方程在有解 ………………………1分
令，，则 ……………………………………………………2分
所以在上有解根据在为减函数，在为增函数，且， ………………………………………5分
所以，即，解得
所以实数m的取值范围为； …………………………………………………6分
(2)因为是定义在区间R上的“局部奇函数”
所以，即
整理可得： ……………………………………7分
令，则
又
所以方程在上有解 ………………………………………8分
设，
当时，在上有解，此时，解得： ……………………………………………………………9分
当时，在上有解，此时，
解得． …………………………………………………………11分
综上所述：实数n的取值范围． ………… ……………12分
4．已知函数是奇函数，是偶函数
(1)求的值；
(2)设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
4． 解：(1)由于为奇函数，且定义域为，则，
因为，所以，，
所以，恒成立，所以，，即 ．……2分
由于，，
是偶函数，
，则，
所以，，
所以，， ……………………………………………………5分
因此，． ……………………………………………………6分
(2)解：，，
因为函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以，函数在区间上是增函数，…………………………8分
当时，，所以，， …………………………9分
由题意得，解之得， ………………………………………11分
因此，实数的取值范围是 ………………………………………12分
5．已知函数且在上最大值和最小值的和为12，令．
(1)求实数的值，并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；
(2)解不等式：．
5． 解：(1)因为函数且在上为单调函数，且最大值和最小值的和为12，所以，解得或． ………………………………………2分
因为且，所以．
所以， ………………………………………3分
所以
， ．………………………………………5分
所以为定值1． ．…．…．…．……………………………………6分
(2)由(1)得，，且，
所以， ……………………………………7分
所以 ，所以， …………………………………9分
整理得，，解得， …………………………………………11分
所以原不等式的解集为． …………………………………………12分
