高一上学期数学专题复习：
第6章《幂函数、指数函数和对数函数》专题（3）
一、多项选择题
1．若，，则下列选项正确的有 ( )
A． B． C． D．
1． ACD
2．已知函数，，则下列说法正确的是 ( )
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
2． ABC
3．设，函数的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
3． BD
4．已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，若，则 ( )
A． B． C．m的值可能是4 D．m的值可能是6
4． AD
5．下列说法，正确的是 ( )
A．已知，，那么的值为
B．
C．若且，则函数的图象一定过点
D．已知函数，，的图象如图所示，则
5． ABD
二、解答题
1．若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”．
(1)若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；
(2)设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．(注：为自然数．)
1．解：(1)因为为、的“函数”，
所以①，所以．……………………………1分
因为为奇函数，为偶函数，所以，．
所以②． …………………………………………………3分
联立①②解得，． ………………………4分
(2)假设存在实数、，使得为，的“函数”．
则．
①因为是偶函数，所以．
即，即， ………………5分
因为，整理得．
因为对恒成立，所．……………………………………7分
②， …9分
因为，当且仅当，即时取等号．
所以， ………………………………………………11分
由于的值域为，所以，且．
又因为，所以，．
综上，存在，满足要求．…………………………………………………12分
2．已知函数(且)．
(1)当时，解不等式；
(2)，，求实数的取值范围；
(3)在(2)的条件下，是否存在，使在区间上的值域是 若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．
2． 解：(1)时，，
所以，解得
即函数定义域为， ……………………………………………1分
因为，即，所以，
即，解得或，又，所以不等式的解集为． ………………………………………………………3分
(2)，，即成立，又
函数在上为增函数， ……………………………………4分
①若，则，所以，即，
则，解得或．又，所以．…………………5分
②若，则，所以，即，
则，解得，又，所以．………………………6分
综上的取值范围为． ……………………………………………7分
(3)假设存在，满足题意，由(2)知，所以在上是减函数，则， ……………………………………………………8分
所以，即，是方程的大于的两个不等实根
……………………………………………………………………………………………9分
设，其对称轴为，
由题意得 ……………………………………………11分
所以或，又，所以．
综上，不存在满足题意的实数，． ……………………………………………12分
3．已知函数与的图像关于直线对称，函数．
(1)若函数是奇函数，求实数的值；
(2)当时，若，且，求实数的取值范围；
(3)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
3． 解：(1)由题意可知，又是奇函数， …………1分
所以对定义域内任意一个，都有，
即，可得，
所以，
整理得，即，可得； ……………………3分
(2)
，………………4分
设，令，
当时，即， ……………………………………………………5分
设，，因为，
所以，即，为的两根，整理得，
所以，，…………………………………………………………6分
因为，所以，即，
由，可得，
即，解得；…………………………………………………7分
(3)由(2)可知，，
设，且，所以，
，………………………8分
因为在上是单调函数，
所以或，
因为，所以，即，
所以或， …………10分
即对任意，都有或，
因为，所以，
所以，所以或，
所以或．……………………………………………………………………12分
4．已知，函数．
(1)若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)若关于的方程有两个不同实数根，求的取值范围．
4． 解：(1)依题意，，
，………………………………………………………………1分
，，而恒有，于是得，……………3分
，，而，
当且仅当，即时取“＝”，于是得……………………………5分
因此有，
所以实数的取值范围是． ……………………………6分
(2)依题意，，
由
， ………………………… ………8分
因此，，，解得，，…………………………………………………………………9分
因原方程有两个不同实数根，则，
解得且，…………………………………………………………………11分
所以的取值范围是 ．……………………………………12分
5． 已知函数(且，)是偶函数．
(1)求k的值：
(2)若且，函数的图象与函数的图象都没有交点，求b的值；
(3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数c的取值范围．
5．解：(1)，即，
，． ……2分
(2)，即，
，， ……… ………… …………3分
因为，
所以，， ……… ………… …………4分
，， ……… ………… …………5分
所以． ……… ………… …………6分
(3)由题意得，有唯一解，
有唯一解． ………… …………7分
令，，
有唯一解，
有唯一解． ………… …………8分
设，
当时，，，，所以不符合题意；
当时，，，所以恰好一个大于的解：符合题意；
当时，，
解得或，
，符合题意；
，不符合题意， ………… …………11分
综上， ………… ………12分高一上学期数学专题复习：
第6章《幂函数、指数函数和对数函数》专题（3）
一、多项选择题
1．若，，则下列选项正确的有 ( )
A． B． C． D．
2．已知函数，，则下列说法正确的是 ( )
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
3．设，函数的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
4．已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，若，则 ( )
A． B． C．m的值可能是4 D．m的值可能是6
5．下列说法，正确的是
( )
A．已知，，那么的值为
B．
C．若且，则函数的图象一定过点
D．已知函数，，的图象如图所示，则
二、解答题
1．若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”．
(1)若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；
(2)设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．(注：为自然数．)
2．已知函数(且)．
(1)当时，解不等式；
(2)，，求实数的取值范围；
(3)在(2)的条件下，是否存在，使在区间上的值域是 若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．
3．已知函数与的图像关于直线对称，函数．
(1)若函数是奇函数，求实数的值；
(2)当时，若，且，求实数的取值范围；
(3)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
4．已知，函数．
(1)若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)若关于的方程有两个不同实数根，求的取值范围．
5． 已知函数(且，)是偶函数．
(1)求k的值：
(2)若且，函数的图象与函数的图象都没有交点，求b的值；
(3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数c的取值范围．
