高一上学期数学专题复习：
第6章《幂函数、指数函数和对数函数》专题（2）
一、多项选择题
1．有如下命题，其中真命题的标号为 ( )
A．， B．，
C．， D．，
1．BD
2．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是 ( )
A．＋＝ B．3x＞4y＞6z
C．x＋y＞(＋)z D．xy＞2z2
2．ACD
3．下列选项中说法正确的是 ( )
A．函数的单调减区间为
B．幂函数过点，则
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
3．BD
4．关于函数，下列结论中正确的是 ( )
A．当时，是增函数 B．当时，的值域为
C．当时，是奇函数 D．若的定义域为，则
4．ACD
5．已知函数，则下列说法正确的是 ( )
A．函数在的值域为
B．若实数满足且，则的取值范围是
C．实数，关于的方程恰有五个不同实数根
D．实数，关于的方程有四个不同实数根
5．ABD
二、解答题
1．设且，函数的图象过点．
(1)求的值及的定义域；
(2)求在上的单调区间和最大值．
1．(1)∵函数的图象过点，
∴，∴，即，
又且，∴， …………………………………………………2分
要使有意义，
则，∴的定义域为 …………………………4分
(2)，令
∵，∴的最大值为4，此时……………………………6分
且在单调递增，单调递减 ……………………………………………7分
∴在上的单调增区间为，单调减区间为，……………………9分
最大值为2． ………………………………………………10分
2．已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)设，当时，对任意，，都有，求的取值范围．
2．(1)解：当时，
由，得， ………………………………………1分
即，等价于，
解得； ……………………………………………………3分
(2)解：因为对任意，，都有，
所以对任意，，都有，………………………4分
设的定义域为，
又当，且时，有，即，
即，所以在I上单调递减． ……………………………………6分
因此函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
由，
化简得，
上式对任意成立． …………………………………………………8分
因为，
令，对称轴为，
所以函数在区间上单调递增，
所以，， …………………………………………………11分
由，得．
故的取值范围为． ……………………………………………12分
3．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关)．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③(常数是自然对数的底数，)．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．
3．(1)解：由性质③知，所以，
由性质②知，，，所以，…………1分
即，解得，． ………………………………………3分
因为函数、均为上的增函数，
故函数为上的增函数，合乎题意． …………………………………………4分
(2)证明：由(1)可得：
． ……6分
(3)解：函数，设，
由性质①，在是增函数知，当时，，
所以原函数即，， …………………………………………7分
设，，
当时，在上单调递减，此时．……………8分
当时，函数的对称轴为，
当时，则，在上单调递减，
此时， ………………………………………………9分
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时． ………………………………………………10分
当时，即时，在上单调递减，
此时． ……………………………………………………11分
综上所述，． ………………………………………12分
4．已知函数．
(1)当时，求函数在的值域；
(2)已知，若存在两个不同的正数a，b，当函数的定义域为时， 的值域为，求实数k的取值范围．
4．(1)当时，，
令，
则，……………………………………1分
根据复合函数单调性可知，
在上单调递增，…………………………………2分
故，
所以函数在的值域为 ………………………………………4分
(2)因为函数的定义域为，
令，则， ……………………………………………………5分
则
因为，所以对称轴，
故在上单调递增，则单调递增．……………7分
因为的值域为，
所以，即，…………………………9分
故可看作方程的两个根， ……………………………10分
由于为正数，所以，
则要满足，解得：，
故实数k的取值范围是 ………………………………………12分
5．定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有 成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数；
(1)求函数在区间上的所有上界构成的集合；
(2)若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
5．(1)函数为奇函数，所以，
即，所以，解得，………………………2分
而当时，不合题意，故． ……………………………………………3分
所以，
由在区间上单调递减，结合复合函数的单调性可知，
函数在区间上单调递增， …………………………………………………4分
且，
所以在区间上值域为，所以， ………………………5分
根据定义可知：当时，成立，
故函数在区间上的所有上界构成的集合为； ……………………6分
(2)因为函数在上是以5为上界的有界函数，
所以在上恒成立，即，
即， ……………………………………………8分
所以在上恒成立，
所以， …………………………………………9分
令，，，
易知在上递减，所以， ……………………10分
在上递增，所以， ……………………………11分
所以，即实数的取值范围为． …………………………………12分高一上学期数学专题复习：
第6章《幂函数、指数函数和对数函数》专题（2）
一、多项选择题
1．有如下命题，其中真命题的标号为 ( )
A．， B．，
C．， D．，
2．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是 ( )
A．＋＝ B．3x＞4y＞6z
C．x＋y＞(＋)z D．xy＞2z2
3．下列选项中说法正确的是 ( )
A．函数的单调减区间为
B．幂函数过点，则
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
4．关于函数，下列结论中正确的是 ( )
A．当时，是增函数 B．当时，的值域为
C．当时，是奇函数 D．若的定义域为，则
5．已知函数，则下列说法正确的是 ( )
A．函数在的值域为
B．若实数满足且，则的取值范围是
C．实数，关于的方程恰有五个不同实数根
D．实数，关于的方程有四个不同实数根
二、解答题
1．设且，函数的图象过点．
(1)求的值及的定义域；
(2)求在上的单调区间和最大值．
2．已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)设，当时，对任意，，都有，求的取值范围．
3．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关)．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③(常数是自然对数的底数，)．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．
4．已知函数．
(1)当时，求函数在的值域；
(2)已知，若存在两个不同的正数a，b，当函数的定义域为时， 的值域为，求实数k的取值范围．
5．定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有 成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数；
(1)求函数在区间上的所有上界构成的集合；
(2)若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
