高一上学期数学专题复习：第7章《三角函数》专题（2）
一、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
1．在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于的是( )
A． B． C． D．
1．A B
2．函数在一个周期内的图象如图所示，则( )
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
2．A C D
3．已知函数的图象经过点，且在区间上单调，则 可能的取值为()
A．， B．，
C．， D．，
3．B C
4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋．一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m．安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙(船底到海底的距离)，如表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深．
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0
3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5
6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0
若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有( )
A． B．
C．该货船在至期间可以进港 D．该货船在至期间可以进港
4．B D
5．关于函数，则下列判断正确的有()
A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
5． A C
二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
解：(1)∵，
∴，
∴；
(2)∵，∴．
7．某同学用“五点法”画函数 (其中，，)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：
0 π 2π
(1)请根据上表中的部分数据，求出函数的解析式；
(2)若定义在区间上的函数的最大值为，最小值为，
求实数的值．
解：(1)由题意的周期，∴．
又解之．∴．
将代入得，∴．
所以．
(2)由已知．
∵，∴，∴．
当时，，不合题意；
当时，．∴解之；
当时，．∴解之．
综上，的值分别为或．
8．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若，不等式恒成立，试求实数a的取值范围．(其中e为自然对数的底数)
解(1)的x满足的不等关系有
即，故，解之，，
所以函数的定义域为，，该定义域关于原点对称．
又，所以函数为奇函数．
(没有求定义域的，本问要扣分)
(2)∵，∴．
由已知不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立．
令，则，，
∴．
当且仅当即时取等号
∴．
所以a的取值范围为．
9．如图，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动圈．当水轮上的点 从水中浮现时(即图中点)开始计算时间．
(1)将点距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点第一次达到最高点需要多少时间．
解：(1)以水轮圆心为原点，与水面平行的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．
当时，点的坐标为，角度为，
又水轮每分钟逆时针转动圈，∴水轮转动的角速度为，∴时刻，角度．
所以由三角函数的定义得，．
(2)由已知当时，，
∴，．∴，．∴时，．
答：第一次达到最高点时需要．
10．已知函数(其中，，)的图象与轴的交于两点，两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为．
(1)求函数的解析式；
(2)求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解．(其中e为自然对数的底数)
解：(1)由题意，函数的周期为，故．
∴，又，∴
∴．
(2)证明：因为，故当时，．
原不等式可化为，
又因为，则．
要使得在有解，只需在区间有解．
代入得
①当即，时
此时与区间与区间的交集为空集；
②当，即，时
令得时，满足
又因为，故只需，原不等式在区间有解．高一上学期数学专题复习：第7章《三角函数》专题（2）
一、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
1．在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于的是 ( )
A． B． C． D．
2．函数在一个周期内的图象如图所示，则 ( )
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
3．已知函数的图象经过点，且在区间上单调，则 可能的取值为 ( )
A．， B．，
C．， D．，
4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋．一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m．安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙(船底到海底的距离)，如表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深．
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0
3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5
6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0
若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有 ( )
A．
B．
C．该货船在至期间可以进港
D．该货船在至期间可以进港
5．关于函数，则下列判断正确的有 ( )
A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
7．某同学用“五点法”画函数 (其中，，)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：
0 π 2π
(1)请根据上表中的部分数据，求出函数的解析式；
(2)若定义在区间上的函数的最大值为，最小值为，
求实数的值．
8．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若，不等式恒成立，试求实数a的取值范围．(其中e为自然对数的底数)
9．如图，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动圈．当水轮上的点 从水中浮现时(即图中点)开始计算时间．
(1)将点距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点第一次达到最高点需要多少时间．
10．已知函数(其中，，)的图象与轴的交于两点，两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为．
(1)求函数的解析式；
(2)求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解．(其中e为自然对数的底数)
