高一上学期数学专题复习：第5章《函数的概念与性质》专题（2）
一、多项选择题
1．以下说法中错误的有 ( )
A．“是定义在上的偶函数”的含义是“存在，使得”
B．若定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；
C．设是两个非空集合，则的含义是“对于，都有”
D．是定义在上的函数，，都有，则函数的最大值为
1、CD．
2．下列四个命题正确的是 ( )
A．若奇函数f(x)在[a，b]上单调递减，则它在[－b，－a]上单调递增
B．若偶函数g(x)在[a，b]上单调递减，则它在[－b，－a]上单调递增
C．若函数f(x＋1)为奇函数，那么f(x)的图象关于(1，0)中心对称
D．若函数f(x－1)为偶函数，那么f(x)的图象关于x＝1对称
2、BC
3．定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在[0，＋∞)上正确的结论是 ( )
A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．最大值 D．最小值－
3、ABC
4．若定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞0时，f(x)＜0，则下列结论正确的是 ( )
A．f(0)＝0 B．f(x)是偶函数
C．f(x)是减函数 D．x＜0时，f(x)＞0
4、ACD
5．已知函数f(x)为R上的奇函数，函数g(x)为R上的偶函数，则下列判断正确的是 ( )
A．f(x)·g(x)为奇函数 B．f(x)＋g(x)为奇函数
C．f(x)－g(x)为奇函数 D．(g(x)≠0)为奇函数
5、AD
二、解答题
6．已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
6．解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示．
(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为[2，4]．
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0．
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
7．解：(1)因为a＞b，所以a－b＞0，
由题意得＞0，所以f(a)＋f(－b)＞0．
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4．
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
8．设函数f(x)＝ax2＋(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)若a＝，试判断函数f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
8．解：(1)①当a＝0时，函数f(x)＝，定义域{x|x≠0}关于原点对称，f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)＝是奇函数．
②当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋，定义域{x|x≠0}关于原点对称，f(－x)＝a(－x)2＋＝ax2－，所以f(x)＝ax2＋既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)当a＝时，函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
证明：在[1，＋∞)上任取x1，x2，不妨设x1＞x2≥1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)．
因为x1＞x2≥1，所以x1－x2＞0，x1＋x2＞＋＝1．
又0＜＜≤1，0＜＜1，所以x1＋x2－＞0．
则f(x1)－f(x2)＞0 f(x1)＞f(x2)，即函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
9．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；
(2)利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心．
9．解：(1)因为函数f(x)的图象关于点(－1，0)成中心对称，
所以y＝f(x－1)为奇函数，只要设y＝f(x－1)＝x，
则f(x)＝x＋1．
(注：答案不唯一，只要满足y＝f(x－1)为奇函数即可)
(2)设函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心为P(a，b)，则g(x)＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)2＋4－b
＝x3＋(3a－3)x2＋3(a2－2a)x＋a3－3a2＋4－b，
因为g(x)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即－x3＋(3a－3)x2－3(a2－2a)x＋a3－3a2＋4－b
＝－x3－(3a－3)x2－3(a2－2a)x－a3＋3a2－4＋b，
所以得3a－3＝0，－a3＋3a2－4＋b＝0，
解得a＝1，b＝2．
即函数f(x)的图象的对称中心为(1，2)．
10．已知函数f(x)＝x2－tx＋2t－2，g(x)＝2|x－1|，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}，其中min{p，q}＝
(1)若f(x)≥2t－4恒成立，求实数t的取值范围；
(2)若t≥6，
①求使得F(x)＝f(x)成立的x的取值范围；
②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(t)．
10．解：(1)因为f(x)≥2t－4恒成立，所以x2－tx＋2t－2≥2t－4恒成立，
所以x2－tx＋2≥0恒成立，所以Δ＝t2－8≤0，解得－2≤t≤2，
所以t∈．
(2)①当x≥1时，x2－tx＋2t－2≤2x－2，所以(x－2)(x－t)≤0，解得x∈[2，t]；
当x＜1时，x2－tx＋2t－2≤2－2x，所以x2＋(2－x)(t－2)≤0，
因为2－x＞0，t－2＞0，x2≥0，所以x2＋(2－x)(t－2)＞0，
所以x2－tx＋2t－2≤2－2x无解．
综上所述，x的取值范围是[2，t]．
②由①可知，F(x)＝
当0≤x＜2时，g(x)＝所以g(x)max＝g(0)＝2，所以F(x)max＝2；
当2≤x≤6时，f(x)的对称轴为x＝≥3，所以F(x)max＝max{f(2)，f(6)}，
又f(2)＝2，f(6)＝34－4t，所以F(x)max＝max{2，34－4t}，
令34－4t＝2，所以t＝8，所以F(x)max＝
综上可知，M(t)＝高一上学期数学专题复习：第5章《函数的概念与性质》专题（2）
一、多项选择题
1．以下说法中错误的有 ( )
A．“是定义在上的偶函数”的含义是“存在，使得”
B．若定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；
C．设是两个非空集合，则的含义是“对于，都有”
D．是定义在上的函数，，都有，则函数的最大值为
2．下列四个命题正确的是 ( )
A．若奇函数f(x)在[a，b]上单调递减，则它在[－b，－a]上单调递增
B．若偶函数g(x)在[a，b]上单调递减，则它在[－b，－a]上单调递增
C．若函数f(x＋1)为奇函数，那么f(x)的图象关于(1，0)中心对称
D．若函数f(x－1)为偶函数，那么f(x)的图象关于x＝1对称
3．定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在[0，＋∞)上正确的结论是 ( )
A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．最大值 D．最小值－
4．若定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞0时，f(x)＜0，则下列结论正确的是 ( )
A．f(0)＝0 B．f(x)是偶函数
C．f(x)是减函数 D．x＜0时，f(x)＞0
5．已知函数f(x)为R上的奇函数，函数g(x)为R上的偶函数，则下列判断正确的是 ( )
A．f(x)·g(x)为奇函数 B．f(x)＋g(x)为奇函数
C．f(x)－g(x)为奇函数 D．(g(x)≠0)为奇函数
二、解答题
6．已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0．
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
8．设函数f(x)＝ax2＋(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)若a＝，试判断函数f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
9．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；
(2)利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心．
10．已知函数f(x)＝x2－tx＋2t－2，g(x)＝2|x－1|，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}，其中min{p，q}＝
(1)若f(x)≥2t－4恒成立，求实数t的取值范围；
(2)若t≥6，
①求使得F(x)＝f(x)成立的x的取值范围；
②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(t)．
