高一上学期数学专题复习：第5章《函数的概念与性质》专题（1）
一、多项选择题
1．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②在定义域上单调递减，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的有 ( )
A． B．
C． D．
2．已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则 ( )
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
3．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是 ( )
A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为0
C．函数图象与x轴有无数个交点 D．函数是增函数
4．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是 ( )
A． B． C． D．1
5．已知函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，则下列结论中不正确的是 ( )
A．函数f(x)一定存在最大值 B．函数f(x)一定存在最小值
C．函数f(x)一定不存在最大值 D．函数f(x)一定不存在最小值
二、解答题
6．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋1)－f(x)＝2x－2；②不等式f(x)＜0的解集为{x|1＜x＜2}；③函数y＝f(x)的图象过点(3，2)．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解．
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且满足________(填所选条件的序号)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
7．请先阅读下列材料，然后回答问题：
对于问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值 若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．故当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确 若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
(2)试研究函数y＝的最值情况；
(3)对于函数f(x)＝(a＞0)，试研究其最值情况．
8．已知函数f(x)＝3x2－2mx－1(m∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上的最小值为g(m)，求g(m)的表达式；
(2)已知h(x)为奇函数，当x≤0时，h(x)＝f(x)＋2mx＋1，若h(2x－3)≤h(x＋t)对t∈[－1，1]恒成立，求实数x的取值范围．
9．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性，并证明你的判断；
(3)是否存在实数，使得当的定义域为时，函数的值域恰为．若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由．
10．若函数的自变量的取值区间为小时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”，已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)求函数在内的“和谐区间”；
(3)若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素，若存在，求出实数m的取值集合，若不存在，请说明理由．高一上学期数学专题复习：第5章《函数的概念与性质》专题（1）
一、多项选择题
1．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②在定义域上单调递减，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的有 ( )
A． B．
C． D．
1．AD
2．已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则 ( )
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
2．ACD
3．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是 ( )
A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为0
C．函数图象与x轴有无数个交点 D．函数是增函数
3．BC
4．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是 ( )
A． B． C． D．1
4．AD
5．已知函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，则下列结论中不正确的是 ( )
A．函数f(x)一定存在最大值 B．函数f(x)一定存在最小值
C．函数f(x)一定不存在最大值 D．函数f(x)一定不存在最小值
5．ABD
二、解答题
6．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋1)－f(x)＝2x－2；②不等式f(x)＜0的解集为{x|1＜x＜2}；③函数y＝f(x)的图象过点(3，2)．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解．
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且满足________(填所选条件的序号)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
6．解：(1)条件①：因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝2x－2，
即2(a－1)x＋a＋b＋2＝0对任意的x恒成立，
所以解得
条件②：因为不等式f(x)＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
所以解得且a＞0，
条件③：函数y＝f(x)的图象过点(3，2)，所以9a＋3b＋c＝2．
若选择条件①②：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2；
若选择条件①③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2；
若选择条件②③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2．
(2)由(1)知g(x)＝x2－(m＋3)x＋2，其对称轴为x＝，
①当≤1，即m≤－1时，g(x)min＝g(1)＝3－(m＋3)＝－m＝3，解得m＝－3，
②当≥2，即m≥1时，g(x)min＝g(2)＝6－(2m＋6)＝－2m＝3，解得m＝－(舍)，
③当1＜＜2，即－1＜m＜1时，g(x)min＝g＝－＋2＝3，无解．
综上所述，所求实数m的值为－3．
7．请先阅读下列材料，然后回答问题：
对于问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值 若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．故当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确 若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
(2)试研究函数y＝的最值情况；
(3)对于函数f(x)＝(a＞0)，试研究其最值情况．
7．解：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0．正确解答如下：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4，易知u≠0，
当0＜u≤4时，≥，即f(x)≥；
当u＜0时，＜0，即f(x)＜0．
∴f(x)＜0或f(x)≥，即f(x)既无最大值，也无最小值．
(2)∵x2＋x＋2＝＋≥，∴0＜y≤，
∴函数y＝的最大值为(当x＝－时取到)，而无最小值．
(3)对于函数f(x)＝(a＞0)，令u＝ax2＋bx＋c，
①当Δ＞0时，u有最小值，umin＝＜0；
当≤u＜0时，≤，即f(x)≤；
当u＞0时，f(x)＞0．
∴f(x)＞0或f(x)≤，即f(x)既无最大值也无最小值．
②当Δ＝0时，u有最小值，umin＝＝0，结合f(x)＝知u≠0，∴u＞0，此时＞0，即f(x)＞0，f(x)既无最大值也无最小值．
③当Δ＜0时，u有最小值，umin＝＞0，即u≥＞0，
∴0＜≤，即0＜f(x)≤，
∴当x＝－时，f(x)有最大值，没有最小值．
综上，当Δ≥0时，f(x)既无最大值，也无最小值；
当Δ＜0时，f(x)有最大值，此时x＝－，没有最小值．
8．已知函数f(x)＝3x2－2mx－1(m∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上的最小值为g(m)，求g(m)的表达式；
(2)已知h(x)为奇函数，当x≤0时，h(x)＝f(x)＋2mx＋1，若h(2x－3)≤h(x＋t)对t∈[－1，1]恒成立，求实数x的取值范围．
8．解：(1)若≤0，即m≤0时，f(x)在[0，2]上是增函数，则g(m)＝f(0)＝－1．
若≥2，即m≥6时，f(x)在[0，2]上是减函数，则g(m)＝f(2)＝11－4m．
若0＜＜2，即0＜m＜6时，f(x)在[0，2]上先减后增，则g(m)＝f＝－－1．
综上，g(m)＝
(2)当x≤0时，h(x)＝3x2，设x＞0，则－x＜0，
∴h(－x)＝3x2，又h(x)为奇函数，
∴h(x)＝－h(－x)＝－3x2，
∴h(x)＝其函数图象如图所示．
∴h(x)在R上是减函数，且h(2x－3)≤h(x＋t)对t∈[－1，1]恒成立，
∴2x－3≥x＋t对t∈[－1，1]恒成立，即t≤x－3对t∈[－1，1]恒成立．
∴1≤x－3，即x≥4．
∴实数x的取值范围是[4，＋∞)．
9．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性，并证明你的判断；
(3)是否存在实数，使得当的定义域为时，函数的值域恰为．若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由．
9．(1)由可得，解得，
此时，，故函数为偶函数，；
(2)由题意可知，，任取，
则有，
故在上为增函数
任取，
则有，
故在上为减函数；
(3)因为函数在上为增函数，所以在上值域为，
所以所以为方程的两不等正根，
所以，解得．
10．若函数的自变量的取值区间为小时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”，已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)求函数在内的“和谐区间”；
(3)若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素，若存在，求出实数m的取值集合，若不存在，请说明理由．
10．(1)由题意可知，时时，，
故；
(2)由题意可知，在单调递减，
若有和谐区间，则有，
解方程，解得或，即有和谐区间，区间值域刚好为；
(3)同理，可知还有一个和谐区间，则有
令，可知若与恰有两个交点，则必在内有交点，
即在内有解，解得，且只有一解，
则另一交点必在内，即在内有解，解得，
故存在，使题设条件成立
