湘教版九年级上册期末测试数学卷（困难 含答案）

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湘教版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温将至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 水温从加热到，需要
B. 水温下降过程中，与的函数关系式是
C. 上午点接通电源，可以保证当天：能喝到不超过的水
D. 水温不低于的时间为
如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )
≌；；若，则平分；若，则
A. B. C. D.
如图是清朝李演撰写的九章算术细草图说中的“勾股圆方图”，四边形，四边形，四边形均为正方形，，，是某个直角三角形的三边，其中是斜边，若：：，，则的长为( )
A. B.
C. D.
在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点、，则代数式( )
A. B. C. D.
如图，菱形的边长为，、分别是、上的点，连接、、，与相交于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，，平分，与对角线相交于点，是线段的中点，则下列结论中正确的有个．( )
；；；．
A. B. C. D.
如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是( )
A. B. C. D.
关于七年级与班在运动会中的比赛成绩，甲同学说：班与班得分比为乙同学说：班得分是班得分的倍少分设班得分，班得分，则( )
B.
C. D.
某短跑队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，教练记录了他们次训练成绩，然后对他们的成绩平均数秒及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙、丁的成绩分析如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
根据上表信息，参赛选手应选( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续天的最高气温，结果如下单位：：，，，下列结论错误的是( )
A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，点为双曲线上一动点，连接并延长到点，使，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点当时，连接，将沿直线进行翻折，则翻折后的与四边形的重叠部分图中阴影部分的面积是______．
如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为______．
如图，在中，，，点为边上一点，将线段绕点逆时针旋转交于点，则长度的最大值为______．
如图，在梯形中，，，，点是腰上的一点且，当是直角三角形时，则边的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，直线与双曲线相交于，两点．
求双曲线的解析式；
若，，为双曲线上的三点，且，请直接写出，，的大小关系；
观察图象，请直接写出不等式的解集．
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
求一次函数的解析式；
根据图象直接写出使成立的的取值范围；
求的面积．
党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市年到年专利授权情况的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
长春市从年到年，专利授权量最多的是______年；
长春市从年到年，专利授权量年增长率的中位数是______；
与年相比，年长春市专利授权量增加了______件，专利授权量年增长率提高了______个百分点；注：为个百分点
根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“”，错误的画“”．
因为年的专利授权量年增长率最低，所以年的专利授权量的增长量就最小．______
与年相比，年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．______
通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．______
定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于的一元二次方程为．
求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
求衍生点的轨迹的解析式；
若无论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，求与满足的关系．
在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接、．
如图，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______ ，为______ 度；
如图，当时，写出线段和线段的数量关系，并说明理由；
如图，在的条件下，当时，求的最小值．
已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，的面积为．
求一次函数和反比例函数的表达式．
根据图象直接回答，在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
点为轴上一点，若与相似，求的长．
如图，一艘渔船以海里的速度由西向东追赶鱼群。在处测得小岛在船的北偏东方向；后，渔船行至处，此时测得小岛在船的北偏东方向。已知以小岛为中心，周围海里内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？
如图，在的正方形网格中，，，均为小正方形的顶点，是与网格线的交点．用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹．
在图中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；在上画点，使；
在图中，在上画点不与点重合，使；并找出关于的对称点．
某地区为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图每组数据包括右端点但不包括左端点，请你根据统计图解答下列问题：
此次调查抽取了多少用户的用水量数据？
补全频数分布直方图，求扇形图中“吨吨”部分的圆心角的度数；
如果自来水公司将基本用水量定为每户吨，那么该地区万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为：，
故A选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
水温下降过程中，与的函数关系式是，
故B选项不合题意；
令，则，
，
即饮水机每经过分钟，要重新从开始加热一次，
从点点分钟，所用时间为分钟，
而水温加热到分钟，仅需要分钟，
故当时间是点时，饮水机第三次加热，从加热了分钟，
令，则，
故C选项不符合题意；
水温从加热到所需要时间为：，
令，则，
，
水温不低于的时间为，
故选：．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意，利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令，则，求出每分钟，饮水机重新加热，故时间为点时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了分钟，令，代入到反比例函数中，求出，即可得到不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：点是动点，
与不一定相等，
与不一定全等，故不正确；
设，
轴，
，
，
轴，
，
，
，
，故正确；
如图，过点作于，于，
，，
，
，
，
，
，，
是的平分线，故正确；
如图，延长交轴于，延长交轴于，
轴，轴，
四边形是矩形，
点，在双曲线上，
，
，
，
，
，
，
，，
，故错误；
正确的有，
故选：．
由点是动点，进而判断出错误，设出点的坐标，进而得出，，利用三角形面积公式计算即可判断出正确，利用角平分线定理的逆定理判断出正确，先求出矩形，进而得出，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：：：，
设，，
四边形，四边形，四边形均为正方形，
，，，
由题意得，，，
，
，
，，是某个直角三角形的三边，其中是斜边，
，
，
解得：负值舍去，
，
故选：．
设，，根据正方形的性质得到，，，由题意得，，，求出，，根据勾股定理列方程即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数和一次函数图像的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，整体代入法．
先根据反比例函数和一次函数图像上点的坐标特征得，，再根据反比例函数和一次函数图像的交点为、得，最后化简整式，整体代入计算即可解答．
【解答】
解：函数与的图象交于点、，
，，
，
，
，
．
5.【答案】
【解析】解：方法一：过点作交于，于，如图所示：
菱形的边长为，，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
∽，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，
方法二：∽，
，
，
，
过点作于点，
可得，，
．
方法三：是等边三角形，，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
∽，
，
，
．
．
故选：．
方法一：过点作交于，于，证是等边三角形，得，再证∽，得，则，然后证≌，得，，则是等边三角形，得，最后由含角的直角三角形的性质和勾股定理得，即可求解．方法二：证明∽，可得，所以，过点作于点，再利用勾股定理即可解决问题．方法三：证明∽，可得，设，则，，然后证明∽，进而可以解决问题．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：过点作，交延长线于，
，
在正方形中，，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，，
，
，
是正方形对角线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在正方形中，，
，
，
；
故选：．
过点作，交延长线于，再根据正方形的性质，推出，根据同角的余角相等，推出，证明∽，推出，是正方形对角线，推出，求出，进而求出．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质，连接，作轴于，轴于，如图，利用反比例函数的性质得，根据等腰三角形的性质得，利用正切的定义得到，再证明∽，利用相似的性质得，然后根据的几何意义求的值．
【解答】
解：连接，作轴于，轴于，如图，
、两点为反比例函数与正比例函数的两交点，
点、点关于原点对称，
，
，
，
在中，，
，，
，
∽，
，
而，
，
，
而，
．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
，，
，
四边形是矩形，
，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
是线段的中点，，
，
故正确；
，
，
，
，
，，
故正确；
，
，
，
，
故正确；
，，
，
，
故错误，
故选：．
利用面积法可求的长，由三角形的中位线定理可求的长，可判断；由平行线分线段成比例可求的长，可判断；由面积关系可求，可判断；由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的值，可判断，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，过点作于，
将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，
，，，，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
由折叠的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次方程组的应用．
设班得分，班得分，根据：班与班得分比为：；班得分比班得分的倍少分即可列出方程组．
【解答】
解：设班得分，班得分，
根据题意可得：，
故选C．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查方差的意义．
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；
反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】
解：，
平均数丙甲乙丁，
因为所用时间越短越好，而丁的时间用的最短，即成绩最好，且成绩较为稳定，
所以选择丁参赛
故选D．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．
根据平均数的计算公式、中位数、众数的定义以及方差公式分别对每一项进行分析即可．
【解答】
解：平均数，
把这些数从小到大排列为：，，，，
则中位数是；
数据出现两次最多，
众数为，
方差．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：连接，，则，
，
，将沿直线进行翻折得，
，
四边形为菱形，
，，
轴，
轴，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
连接，，根据折叠性质得四边形为菱形，进而得，，由反比例函数的比例系数的几何意义和相似三角形的性质求出，，的面积，进而结合边的比例关系求出的面积，最后便可求得阴影部分面积．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，折叠性质，菱形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，中位线定理，三角形的面积，涉及的知识点多，难度较大，关键是由与其他三角形的关系，求出其他三角形的面积．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
设，交于，根据正方形的性质得到，，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，点，分别是，的中点，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可得到结论．
【解答】
解：设，交于，
四边形是正方形，
，，
点，分别是边，的中点，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，
，，，
∽，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：过点作于，设，，则，
将线段绕点逆时针旋转交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
解得或舍去，
，
的最大值为．
过点作于，设，，则，证明∽，推出，推出，可得，由，可得，解得或舍去，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于点，以为坐标原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，
，，
，，
，，
设，
如图，过点，作，于点，，
，四边形是矩形，
∽，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
是直角三角形，
，
，
解得，
则边的长为．
故答案为：．
过点作交于点，以为坐标原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，根据，，可得，，所以，，设，过点，作，于点，，可得，四边形是矩形，然后可得∽，可得，再根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
17.【答案】解双曲线经过点，
，
双曲线的解析式为；
根据反比例函数的图象在一、三象限随的增大而减小可知：若，则；
点在双曲线上，
，
点坐标为
、在直线上，
，
解得．
直线的解析式为．
根据图象得当或时，，
即不等式的解集为：或．
【解析】根据待定系数法即可求得；
根据反比例函数的性质即可判断；
根据图象的交点坐标即可得到不等式的解集．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法和反比例函数的性质．
18.【答案】解：点，两点在反比例函数的图象上，
，
，，
，．
又点，两点在一次函数的图象上，
．
解得，
则该一次函数的解析式为：；
根据图象可知使成立的的取值范围是或；
如图，分别过点、作轴，轴，垂足分别是、点．直线交轴于点．
令，得，即．
，，
，，
．
【解析】先把、点坐标代入求出、的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数、的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
根据该不等式的解集即为直线在双曲线下方时的范围即可写出答案；
分别过点、作轴，轴，垂足分别是、点．直线交轴于点．，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
本题主要考查双曲线与直线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想的运用是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：根据题意得：从年到年，专利授权量最多的是年，
故答案为：；
把专利授权量年增长率从小到大排列为：，，，，，
位于正中间的是，
专利授权量年增长率的中位数是，
故答案为：；
与年相比，年长春市专利授权量增加了件；
专利授权量年增长率提高了，
专利授权量年增长率提高了个百分点，
故答案为：，；
因为年的专利授权量的增长量为件，
年的专利授权量的增长量件，
所以年的专利授权量的增长量高于年的专利授权量的增长量，故错误，
故答案为：；
因为专利授权量年增长率，
所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故正确，
故答案为：；
根据题意得：从年到年，每年的专利授权量都有所增加，
所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故正确，
故答案为：．
观察统计图可得专利授权量最多的是年，即可求解；
先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；
分别用年长春市专利授权量减去年长春市专利授权量，年专利授权量年增长率减去年专利授权量年增长率，即可求解；
根据题意可得年的的专利授权量的增长量低于年的，可得错误；根据专利授权量年增长率当年专利授权量上一年专利授权量，可得正确；观察统计图可得从年到年，每年的专利授权量上一年专利授权量都有所增加，可得正确，即可求解．
本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确解答的关键．
20.【答案】解：，
，
不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
，
解得：，，
方程的衍生点为，
则衍生点的轨迹的解析式为：；
存在．
直线，过定点，
方程的两个根为，，
，
，，
，
．
【解析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，新定义型问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
由，可得方程总有两个不相等的实数根；
解方程得，，可得衍生点的坐标，继而求得轨迹的解析式；
首先求出定点的坐标，得方程的两个根，整理得，，计算即可．
21.【答案】解：，；
结论：．
理由：如图中，
，，，
，，
，
，
，
∽，
，
．
如图，过点作，过作，使
当、、三点共线时，取最小值
，
，，
，
设，则
在中，，即，解得
，
，
所以此时
故最小值为．
【解析】解：如图中，
将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，
，
，，，
，是等边三角形，
，
，
，，
≌，
．
设交于点．
≌，
，
，
，即．
故答案为：；；
证明≌，进而利用全等三角形的性质解决问题即可．
证明∽，可得解决问题．
先构造，然后利用垂线段最短求得最小值．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题注意一题多解．
22.【答案】解：对于直线，
当时，则，
，
，
，
，
或，
当时，一次函数的解析式为，
，不符合题意，
一次函数的解析式为，
，
点在反比例函数上，
，
反比例函数的解析式为
由知，，
由图象知当时，一次函数的值等于反比例函数的值
由知，，
，
，
由知，，
，，
当点在轴正半轴上时，
与相似，且，
当∽时，，
，此时点与点重合，不符合题意，
当∽时，，
，
，
，
，
当点在轴负半轴上时，，
综上，的长为．
【解析】本题考查的是低矮顶系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的综合，相似三角形的判定与性质有关知识．
根据的面积为可得的值，从而得出点的坐标，代入函数解析式即可；
根据图象直接可得答案；
当点在轴正半轴上时，则，只能是∽，得，当点在轴负半轴上时，由于，此种情况不存在．
23.【答案】解：作于，
根据题意，海里，，，
在中，，
在中，，
，
海里，
解得：，
无触礁危险．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，“化斜为直”是解三角形的常规思路，常需作垂线高，构造直角三角形．原则上不破坏特殊角、、．
根据题意可知，实质是比较点到的距离与的大小．因此作于点，求的长．
24.【答案】解：如图中，线段，点就是求作的点；
如图中，点，点即为所求．

【解析】将线段绕点逆时针旋转得到线段，取格点，，连接交于点，连接，线段，点即为所求；
取格点，连接交于点，取的中点，连接，取的中点，连接交于点，连接交于点，连接，延长交于点，作点关于的对称点，连接，，交于点，连接，延长交于点，点，点即为所求．
本题考查作图旋转变换，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：此次调查抽取的用户户数为：户；
用水量在吨之间的用户数量：，
补全频数分布直方图如下：
扇形图中“吨吨”部分的圆心角的度数：；
少于吨的有户
少于吨的户数是：，
答：于是可估计该地区万用户中约有万用户的用水全部享受基本价格．
【解析】根据统计图可知“吨吨”的用户户占，从而可以求得此次调查抽取的户数；
根据中求得的用户数与条形统计图可以得到“吨吨”的用户数，进而求得扇形图中“吨吨”部分的圆心角的度数；
根据前面统计图的信息可以得到该地区万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
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