湘教版九年级上册期末测试数学卷（标准难度 含答案）

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湘教版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作，使，在轴上，点在轴上，则 的面积为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数，的图象上，轴，点是轴上一点，线段与轴正半轴交于点若的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
等腰三角形一边长为，它的另外两条边的长度是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是( )
A. B. C. 或 D.
已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为( )
A. B. C. D.
如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于下列结论：；；；若四边形的面积为，则该正方形的面积为；其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
如图，在 中，，于，交于点，为的中点，连接，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是( )
A. B.
C. D.
如图，在中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，则的值为( )
A. B.
C. D.
如图，在平面直角坐标系中，，，，是正方形边上的线段，点在其中某条线段上，若射线与轴正半轴的夹角为，且，则点所在的线段可以是( )
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
某数学兴趣小组为了了解本班同学一周课外阅读的时间，随机调查了名同学，并将所得数据整理如表：
学生编号
一周课外阅读时间小时
表中有一个数字被污染后而模糊不清该处用表示，但曾计算得该组数据的平均数为，则这组数据的方差和中位数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
从，两个品种的西瓜中随机各取个，它们的质量分布折线图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
甲、乙、丙、丁四人次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这次测验平均成绩较高且较稳定的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是，，则的值是______．
如图，等边的边长为，点为边上一点，且，点为边上一点若，则的长为 ．
如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，的面积为，则的值为______．
田大伯从鱼塘捞出条鱼做上标记再放入池塘，经过一段时间后又捞出条，发现有标记的鱼有条，田大伯的鱼塘里鱼的条数约是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于、两点，点的坐标为，连接、，过作轴，垂足为，交于，若．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积．
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与轴负半轴交于点，且．
求两个函数的解析式；
已知点，试在该一次函数图象上确定一点，使得，求出此时点的坐标．
某网店第一次用元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多元，购进数量则是第一次的倍．
第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？
该网店发现：每盒售价为元时，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．该网店某星期销售该款口罩获得了元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？毛利润售价进价销售量
某中学计划租用客车送名学生和名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有名教师．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示．设租车总费用为元，租用甲型客车辆．
甲型客车 乙型客车
载客量人辆
租金元辆
共需租______辆客车；
若学校计划租车总费用在元的限额内，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围；
因燃油价格上涨，甲型客车每辆租金上调元，乙型客车每辆租金上调元，若租车的最低费用是元，求的值．
已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，．
求证：∽；
若，，求的面积；
若，求的值．
如图，中，，，于，点是上一点，连接并延长交于点，于点，连接．
求证：∽；
如图，若，求证：点是中点；
如图，若，，求．
小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点处测得汽车前端的俯角为，且，若直线与地面相交于点，点到地面的垂线段的长度为米，假设眼睛处的水平线与地面平行．
求的长度；
假如障碍物上的点正好位于线段的中点位置障碍物的横截面为长方形，且线段为此长方形前端的边，，若小强的爸爸将汽车沿直线后退米，通过汽车的前端点恰好看见障碍物的顶部点点为点的对应点，点为点的对应点，求障碍物的高度．
如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，，，与交于点，连接，满足∽，其中对应，对应，对应
求证：．
若，求的值．
保家卫国尽精英，战绩辉煌留盛名，近几年涌现了很多缅怀中国军人的优秀作品，其中长津湖和长津湖之水门桥正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：长津湖得分：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．
平均数 众数 中位数
长津湖
长津湖之水门桥
根据以上信息，解答下列问题：
上述表格中的______，______；
根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由写出一条理由即可；
若该校九年级名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下这两部作品一共大约可得到多少个满分？
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：如图，过点、点分别作轴的垂线，垂足分别为、，
点在反比例的图象上，
，
又的面积为，．
，
，
，
又，
，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义可得，再根据三角形的面积公式可得，进而求出和，由反比例函数系数的几何意义可求出的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数系数的几何意义是解决问题的前提，求出、、是正确解答的关键．
3.【答案】
【解析】解：当等腰三角形的底边为时，
此时关于的一元二次方程的有两个相等实数根，
，
，
此时两腰长为，
，
满足题意，
当等腰三角形的腰长为时，
此时是方程的其中一根，
，
，
此时另外一根为：，
，
不能组成三角形，
综上所述，，
故选：．
根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，及勾股定理．
设矩形的长和宽分别为、，由根与系数的关系得出，，将其代入到矩形对角线的长计算可得．
【解答】
解：设矩形的长和宽分别为、，
根据题意知，，
则矩形对角线的长为
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，故正确，
连接．
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，故正确，
设，则，，
，即，故正确，
根据对称性可知，≌，
，
，，
，，
，∽，
，，
，
，故错误，
，，
∽，
，
，
，故正确，
故选：．
正确．证明，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
正确．利用四点共圆证明即可．
正确．设，求出，即可解决问题．
错误，通过计算正方形的面积为．
正确．利用相似三角形的性质证明即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
6.【答案】
【解析】解：，
四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据已知可得，因为为的中点，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可得，从而求出的度数，进而利用已知，证明是等腰三角形，求出，最后利用三角形的内角和即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：过作于点，
，，，
可得，
在中，，
．
在中，，
，
．
故这时轮船与小岛的距离是．
故选：．
根据题意，求出，，即可得解．
此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：连接，过点作，垂足为，设与相交于点，
，点是边的中点，
，
，
，
，
，
点是的中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
连接，过点作，垂足为，设与相交于点，根据直角三角形斜边上的中线可得，从而可得，然后证明是的垂直平分线，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可证，最后根据平行线的性质证明，从而可得，即可解答．
9.【答案】
【解析】解：如图，当点在线段上时，连接．
，，，
，
同法可证，点在上时，，
如图，当点在上时，作于．
，，，
，
同法可证，点在上时，，
故选：．
本题考查正方形的性质，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
当点在线段上时，连接根据正弦函数，余弦函数的定义判断，的大小．当点在上时，作于，判断，的大小即可解决问题．
10.【答案】
【解析】解：这组数据的平均数为，
模糊不清的数是：，
将数据重新排列为、、、、，
所以这组数据的中位数为，
则这组数据的方差为；
故选：．
先由平均数的公式计算出模糊不清的值，再根据中位数和方差的公式计算即可．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11.【答案】
【解析】解：由图可得，
，
，
故反映出这两组数据之间差异不能反映出这两组数据之间差异，故选项A不符合题意；
和的中位数和众数都相等，故不能反映出这两组数据之间差异，故选项B和不符合题意；
由图象可得，种数据波动小，比较稳定，种数据波动大，不稳定，能反映出这两组数据之间差异，故选项D符合题意；
故选：．
根据统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意，本题得以解决．
本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】
【解析】解：由折线统计图得：乙、丙的成绩在附近波动，甲、丁的成绩在附近波动，
乙、丙的平均成绩高于甲、丁，
由折线统计图得：乙成绩的波动幅度小于丙成绩的波动幅度，
这四人中乙的平均成绩好又发挥稳定，
故选：．
利用平均数和方差的意义进行判断．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越差，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了折线统计图．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理等知识．
过点作，垂足为，构造直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，的长，从而确定点的坐标，再依据点在反比例函数的图象上，代入关系式即可求出的值．
【解答】
解：过点作，垂足为，
，
，
又菱形的周长是，
，
在中，，
，
，
把代入反比例函数得：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质，相似三角形的判定与性质等．
根据等边三角形的性质、三角形的外角性质，相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】
解：为等边三角形，
，
又，
，
，
，
解得．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是斜边上的中线，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意得：
条，
答：田大伯的鱼塘里鱼的条数是；
故答案为：．
首先求出有记号的条鱼在条鱼中所占的比例，然后根据用样本估计总体的思想求出鱼塘中鱼的条数．
此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．
17.【答案】解：如图，过点作轴交于，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为，
，
，
轴，，
，
，
点的纵坐标为，
点在反比例函数图象上，
，
一次函数经过，
，
，
一次函数的表达式为；
如图，过点作轴于交于，
，
直线的解析式为，
，
，
，
．
【解析】此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，三角形的中位线，解本题的关键是用待定系数法求出直线的解析式．
先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
先求出的解析式，进而求出长度，用三角形的面积公式即可得出结论．
18.【答案】解：将代入中，得，
．
，且点在轴的负半轴上，
点坐标为，
将、分别代入中，
得解得
．
故所求函数表达式为和．
因为，所以点在线段的中垂线上，即轴上．
又因为点在一次函数的图象上，
所以点为一次函数的图象与轴的交点．
令，得．
所以点的坐标为．

【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
先把的坐标代入反比例函数中可得的值，从而可得反比例函数的解析式，利用待定系数法即可解答；
根据可知点在线段的中垂线上，即轴上，可得，从而可得点的坐标．
19.【答案】解：设第一次每盒医用外科口罩进价元，则第二次进价元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每盒医用外科口罩的进价是元．
设降价元，
第二次进价为元，
根据题意，得，
解得或，
为了便民利民，
，
盒，
答：该网店这星期销售该款口罩盒．
【解析】设第一次每盒医用外科口罩进价元，则第二次进价元，根据第二次购进数量则是第一次的倍列分式方程，求解即可；
设降价元，根据该网店某星期销售该款口罩获得了元的毛利润，列一元二次方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用等，理解题意并建立合适的等量关系是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如果全部租用甲种客车，则需要辆，
如果全部租用乙种客车，则需要辆，
汽车辆数为整数，且有名教师，每辆汽车上至少要有名教师，
共需租辆汽车．
故答案为：；
设租用辆甲种客车，则租用乙种客车辆，
则租车费用，
，
解得，
为整数，
或或．
故关于的函数解析式是，自变量的取值范围是或或；
依题意有：，
解得，
为整数，
或或．
故的值为或或．
根据题意和表格中的数据可以得到需要租用多少辆客车，本题得以解决；
根据中的结果和表格中的数据可以得到关于的函数解析式，以及自变量的取值范围；
根据租车的最低费用是元，列出不等式可求的值．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
21.【答案】解：证明：为边上的高，
，
，
，
平分，
，
∽．
过点作于点，
在中，，，
，
是的平分线，，
，
，，
∽，
，
设，则，
，
解得，
，
由知，∽，
，
．
由知，，∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
．
【解析】根据，可得，再结合角平分线的定义可得，即可得证．
过点作于点，由角平分线的性质可得，利用∽，求出的值，进而可得，由知，∽，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而可得出答案．
易知，∽，∽，可得，，结合，可得，可求出的值，即可得出答案．
本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
∽；
证明：过点作，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是中点；
解：过点作，垂足为，
，
，，
，
，，
，
点、、、四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
由得：，
，
，
，
，
的长为．
【解析】根据垂直定义可得，再利用同角的余角相等可得，即可解答；
过点作，交于点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，
进而可得，即可解答；
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而证明点、、、四点共圆，进而可得，然后求出，从而可证明≌，进而可得，然后可求出、，的长，最后利用可得，进行计算即可解答．
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得，，
在中，，，
，
答：的长度为；
过作于，
则四边形是矩形，
，
点是线段的中点，
米，
，
，
，
∽，
，
，
，
答：障碍物的高度为米．
【解析】由题意得到，解直角三角形即可得到结论；
过作于，于是得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据线段的中点的定义得到米，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题问题，牢固掌握仰角俯角的定义是解题的关键．
24.【答案】证明：∽，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
由得，，
，
，
∽，
，
即，
，
由得：，
则，
在中，．
【解析】由相似可得，再由矩形的性质得，，从而可求得，则有，即可求得的度数；
结合可求得，再由相似的性质求得，即可求的值．
本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得．
25.【答案】解：；
该校九年级学生对长津湖评价更高，理由是：长津湖的平均数、众数、中位数均比长津湖之水门桥的高；
这两部作品一共大约可得到满分的个数为人
答：该校九年级名学生都对这两部作品进行打分，这两部作品一共大约可得到满分的个数为人．
【解析】
【分析】
本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，熟练掌握中位数、众数、平均数的定义及计算方法是解答本题的关键．
根据中位数及众数的定义直接求解即可；
通过平均数、中位数、众数的比较得出答案；
求出两部作品满分人数所占的百分比即可．
【解答】
解：将长津湖得分按照从小到大排好顺序处在中间位置的两位数为：，
根据扇形图可知长津湖之水门桥的得分为分的所占的比例为，
得分为分的所占的比例为，
长津湖之水门桥的得分的众数为分，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
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