高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何巩固训练（含答案）

空间向量与立体几何巩固训练
一、选择题
1、在棱长为1的正方体中，设，，，则的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
2、设a，b是不共线的两个向量，且，，则( )
A. B. C.， D.，
3、已知非零向量，不共线，若，，，则A,B,C,D四点( )
A.一定共圆
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面
D.一定不共面
4、若向量m垂直于向量a和b，向量（且），则( )
A. B.
C.m既不平行于n，也不垂直于n D.以上三种情况都有可能
5、已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为( )
A.0 B. C.9 D.
6、正四棱锥的所有边长都相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7、在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AB与CD的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直
8、若空间向量，，则( )
A. B. C. D.
9、若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
10、如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则( )
A. B. C. D.
11、如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，点N在BC上，且，，则( )
A. B. C. D.
12、已知平面内有一点,平面的一个法向量为,则下列四个点中在平面内的是( )
A. B. C. D.
13、若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
14、如图，直三棱柱中，若，，，则等于( )
A. B. C. D.
15、已知点，，则( )
A. B. C. D.
16、如图，在四棱雉中，E，F分别是BC，OA的中点，则( )
A. B. C. D.
17、已知点，，若，则点C的坐标为( )
A. B. C. D.
18、若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
19、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是( )
A.1 B. C. D.
20、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
21、在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为_____________.
在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，，则AB与PC的夹角的余弦值为______.
23、在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，平面ABC，.M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______.
已知向量，，若，则的值是_________.
已知空间向量，，，若，，共面，则______.
三、解答题
26、如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE.
（1）计算DE的长；
（2）求点O到平面ABC的距离.
27、如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，.求平面ABCD与平面BQP的夹角.
28、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记.
求MN的长；
a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值.
参考答案
1、答案：B
解析：由题意得.
2、答案：A
解析：若，则，与已知a，b不共线矛盾，故，同理，故选A.
3、答案：C
解析：因为非零向量,，不共线，，，,所以，所以，由共面向量定理可知，A,B,C,D四点共面，故B、D错误；不妨设是该平面内向量的单位正交基底，易知A、B、C、D四点构成一个凹四边形，此时四点不共圆，故A错误.故选C.
4、答案：B
解析：由已知得，，所以，故，故选B.
5、答案：D
解析：不能构成空间的一个基底，，，共面，则，其中，则，解得故选：D.
6、答案：C
解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，.，，，BE与SA所成角的余弦值为.
故选C.
7、答案：B
解析：因为，，，，所以，，可得，所以，即直线与的位置关系是平行，故选B.
8、答案：A
解析：因为，，所以.
9、答案：B
解析：因为，所以，，共面.
10、答案：D
解析：平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，
，，
，故选：D.
11、答案：A
解析：连接MB，如图所示：
.
故选：A
12、答案：B
解析：对于选项A中的点，，，排除A.同理可排除C，D.对于选项B中的点，，所以,故选B.
13、答案：D
解析：异面直线，的方向向量分别是，
设异面直线与的夹角为，则异面直线与的夹角的余弦值为：
14、答案：A
15、答案：C
解析：.
16、答案：A
解析：.
17、答案：B
解析：设，因为，所以，所以，所以，故选：B.
18、答案：B
解析：设异面直线与所成的角为.，，，.
19、答案：D
解析：，，，.
20、答案：B
解析：如图，设BC的中点为D，连接、AD、，
易知即为异面直线AB与所成的角(或其补角)
设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，
则，，，
由余弦定理，得
故选：B.
21、答案：
解析：设，，，
则，
，.
由，得（负值舍去），
，，，又，，
.
22、答案：
解析：，又，，.
故答案为：
23、答案：
解析：易知,,，故以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，由M为PC的中点可得，则，，
设为平面MBA的一个法向量，
则即
令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离.
24、答案：
解析：因为向量，，且，
所以，，，，
解得，，所以.
故答案为：.
25、答案：3
解析：因为，，共面，所以存在唯一实数x，y，使，
即，
则，解得，，.故答案为：3
26、答案：(1)
(2)
解析：(方法一)如答图，取的中心H，连接CH交BA于点M，则平面ABC.
在BC上取点G，使，
，建立如图所示的空间直角坐标系.
.
又.
，
.
(2)点O到平面ABC的距离即为.
(方法二)(1)取为一组基底，其中，，，则.
，
.
.
(2)连接AE，取的中心H，连接OH(图略)，则OH即为点O到平面ABC的距离.
.
27、答案：
解析：(方法一)建立如答图所示空间直角坐标系，
由题已知，正方体棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，且，
.
设平面BQP的法向量，
取，则.
取平面ABCD的一个法向量，
.
设平面ABCD与平面BQP的夹角为，则.
(方法二)取BC的中点M，则平面ABCD，
在平面ABCD上的射影为.
在中，，
，
，
设两平面夹角为，则.
28、
（1）答案：
解析：以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则，.
，
.
（2）答案：
解析：，
当时，.
（3）答案：
解析：由(2)知当M，N分别为AC，BF的中点时，MN的长最小，则.
取MN的中点G，连接AG，BG，则.
为MN的中点，
，
即是二面角的平面角.
，
设平面MNA与平面MNB的夹角为，则，
所求夹角的余弦值为.