苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.3.1空间图形的表面积 教学设计

第十三章　立体几何初步
13.3　空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积
《课程标准》指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求．在《立体几何初步》部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证．学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法．
课程目标 学科素养
1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法. 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 3.培养空间想象能力和思维能力． 在计算棱柱、棱锥、棱台的表面积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.
1.教学重点：掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.
2.教学难点：能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
多媒体调试、讲义分发。
胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大.
问题　(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？
(2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？
提示　(1)这就需求出金字塔的体积.
(2)首先计算金字塔地上部分的表面面积之和，然后根据单位面积保护液的使用量来估计其总的使用量.
知识点一　几种特殊的多面体
1．直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．
2．正棱柱：底面为正多边形的直棱柱．
3．正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．
4．正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．
知识点二　几种特殊的多面体的表面积
多面体 图形 表面积公式
直棱柱 S直棱柱侧＝ch(c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高). S表＝S侧＋2S底
正棱锥 S正棱锥侧＝ch′(c为正棱锥的底面周长，h′为斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)). S表＝S侧＋S底
正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为正棱台的上、下底面的周长， h′为斜高). S表＝S侧＋S上底＋S下底
知识点三　圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 图形 表面积公式
圆柱 底面积：S底＝2πr2， 侧面积：S侧＝2πrl， 表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥 底面积：S底＝πr2， 侧面积：S侧＝πrl， 表面积：S＝πr(r＋l)
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2，下底面面积：S下底＝πr2，侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)，表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
一、求多面体的侧面积和表面积
例1　正四棱台两底面边长分别为a和b(a(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
解　(1)如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高．
由题意知∠C1CO＝45°，
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝(b－a)．
在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝(b－a)，
又EF＝CE·sin 45°＝(b－a)，
∴C1F＝
＝＝(b－a)．
∴S侧＝(4a＋4b)×(b－a)＝(b2－a2)．
(2)∵S侧＝S底，S底＝a2＋b2，
∴4·(a＋b)·h斜＝a2＋b2，
∴h斜＝.
又EF＝，∴h＝＝.
延伸探究
若正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长．
解　如图，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x＋10)cm，
在Rt△E1FE中，
EF＝＝5(cm)．
∵E1F＝12 cm，
∴斜高E1E＝13 cm.
∴S侧＝4×(x＋x＋10)×13＝52(x＋5)，
S表＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.
∵S表＝512 cm2，
∴2x2＋72x＋360＝512，
解得x＝－38(舍去)或x＝2.
∴x＋10＝12.
∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,12 cm.
反思感悟　(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．
(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到．
跟踪训练1　已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积．
解　如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴4··BC·PE＝2BC2，
∴BC＝PE.
在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE，
∴9＋2＝PE2，
∴PE＝2.
∴S底＝BC2＝PE2＝(2)2＝12，
S侧＝2S底＝2×12＝24，
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
二、求旋转体的表面积
例2　圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________ cm2.(结果中保留π)
答案　1 100π
解析　如图所示，
设圆台的上底面周长为ccm，上、下底面半径分别为r1，r2，
因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π×SA＝2π×10，
所以SA＝20 cm.
同理可得SB＝40 cm.
所以AB＝SB－SA＝20(cm)，
所以S表＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)×AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
延伸探究
若本例条件改为：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求圆台较小底面的半径．
解　设圆台较小底面的半径为r，
则另一底面半径为3r，由题意知母线长l＝3，
∵S侧＝π(r＋3r)×3＝84π，∴r＝7.
反思感悟　(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底面半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．
(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．
(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．
跟踪训练2　如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm，求以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形的表面积．
解　以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形是圆台，
其上底面半径是4 cm，下底面半径是16 cm，
母线DC＝＝13(cm)，
所以该空间图形的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．
三、简单组合体的表面积
例3　牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2，π取3.14)
解　上部分圆锥体的母线长为 m，其侧面积为S1＝π××(m2)．
下部分圆柱体的侧面积为S2＝π×5×1.8(m2)．
∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
S＝S1＋S2＝π××＋π×5×1.8
≈50.03(m2)．
反思感悟　(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单空间图形组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用．
(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种空间图形，哪些面计算在内，哪些面在实际中没有．
跟踪训练3　如图所示的空间图形是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，求挖洞后空间图形的表面积是多少？(π取3.14)
解　因为正方体的棱长为4 cm，而洞深只有1 cm，所以正方体没有被打透，这样一来打洞后所得空间图形的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积，这个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，
则挖洞后空间图形的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．
1．若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案　C
解析　设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
2．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　)
A．6 B．12 C．24 D．48
答案　D
解析　正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.
3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π B．12π C．8π D．10π
答案　B
解析　因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.
4．已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．
答案　4
解析　∵l＝，
∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，
∴l＝4.
5．已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
答案　112或72
解析　设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm，
则
解得或
∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)或S侧＝4×6×3＝72 (cm2)．
应从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系．
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