苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.3.1空间图形的表面积练习（解析版）

13.3　空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积
1．棱长都是3的三棱锥的表面积S为(　　)
A．9 B．6 C．3 D．5
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
3．(多选)以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(　　)
A．64π cm2 B．36π cm2
C．54π cm2 D．48π cm2
4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)
A．81π B．100π C．168π D．169π
5．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为(　　)
A．160 B．80 C．100 D．120
6．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是________．
7．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2.
8．如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．
9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
10.如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为点D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．
11．已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是(　　)
A. cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
12．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
13.有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为________．
14．已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为________．
15．把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________ cm，表面积等于________ cm2.
16．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
13.3　空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积答案
1．棱长都是3的三棱锥的表面积S为(　　)
A．9 B．6 C．3 D．5
【答案】　A
【解析】　因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，
所以S＝4××32＝9.
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
【答案】　B
【解析】　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2.
3．(多选)以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(　　)
A．64π cm2 B．36π cm2
C．54π cm2 D．48π cm2
【答案】　AB
【解析】　分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64π cm2,36π cm2.
4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)
A．81π B．100π C．168π D．169π
【答案】　C
【解析】　圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
5．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为(　　)
A．160 B．80 C．100 D．120
【答案】　A
【解析】　设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，
所以l＝152－52，l＝92－52.
又l＋l＝4a2，
即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，
所以S侧＝ch＝4×8×5＝160.
6．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是________．
【答案】　4∶3
【解析】　设圆锥的底面半径为r，则有l＝2πr，
所以l＝3r.
所以＝＝＝.
7．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2.
【答案】　1 012
【解析】　易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12，所以正四棱台的表面积S＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm2)．
8．如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．
【答案】　1∶
【解析】　设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1—AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶.
9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
解　圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm.
即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.
在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，
AD＝AO－A′O′＝2x cm，所以A′D＝AD＝2x cm，
又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D
＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7 cm.
综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.
10.如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为点D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．
解　在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5知，AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.所以CD＝，记为r＝，
那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，
母线长分别是AC＝3，BC＝4，
所以S表＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π.
所以旋转体的表面积是π.
11．已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是(　　)
A. cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
【答案】　D
【解析】　设过同一顶点的三条棱长分别为a cm，b cm，c cm ，体对角线长为l cm，则a＋b＋c＝6，且2(ab＋bc＋ca)＝24，从而l＝＝
＝＝2(cm)，故选D.
12．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
【答案】　A
【解析】　如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，
△ABC为等边三角形，AB＝a，
∴PA＝PB＝PC＝a，
∴表面积为×a2＋×2×3＝a2＋a2＝a2.
13.有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为________．
【答案】　36
【解析】　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，
∴S表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.
∴该空间图形的表面积为36.
14．已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为________．
【答案】　(－1)∶1
【解析】　如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r，R，则有＝，
即＝，
所以R＝2r，圆锥的母线长l＝R.
所以＝＝
＝＝＝－1.
15．把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________ cm，表面积等于________ cm2.
【答案】　20　224π
【解析】　设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.
又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.
∵圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，
∴πl2＝2.5×8πl，
∴l＝20 cm.
圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2)．
16．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解　如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′.过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，
则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴3×a×h′＝a2×2，
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，
∴SO2＋OE2＝SE2，
∴32＋2＝h′2，
∴h′＝2，
∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18，
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
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