苏教版（2019）高中数学必修第二册 13.3.2空间图形的体积教学设计

第十三章　立体几何初步
13.3　空间图形的表面积和体积
13.3.2 空间图形的体积
《课程标准》指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求．在《立体几何初步》部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证．学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法．
课程目标 学科素养
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积. 2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积. 3.会求简单组合体的体积及表面积． 在计算柱体、锥体、台体、球的体积过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.
1.教学重点：掌握柱体、锥体、台体、球的体积公式
2.教学难点：会求简单组合体的体积及表面积.
多媒体调试、讲义分发。
黄海游乐城中有一个巨大的球形建筑，高30米，直径21.8米，由不锈钢网架结构筑成，叫做“黄海明珠”，球内共分六层，主要以游客餐饮娱乐为主.
问题　(1)若要在球体结构表面重新装修，贴上一层蓝色的玻璃，那么所需的材料多少与球的哪个量有关？
(2)若要衡量球体结构内能够容纳多少游客，则应考虑球的哪个量？
(3)若要加大此球体的容客量，则球体的半径应发生了什么变化？
提示　(1)与球的表面积有关.
(2)与球体的体积有关.
(3)球体的半径应变大.
知识点一　柱体、锥体、台体的体积公式
1．柱体的体积公式V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
2．锥体的体积公式V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
3．台体的体积公式V台体＝h(S′＋＋S)(S′，S为上、下底面面积，h为高)．
4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体＝Sh V台体＝h(S′＋＋S)V锥体＝Sh.
知识点二　球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S球面＝4πR2(R为球的半径)．
2．球的体积公式V球＝πR3.
知识点三　球的截面的特点
1．球既是中心对称的空间图形，又是轴对称的空间图形，它的任何截面均为圆面．
2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．
一、柱体、锥体、台体的体积
例1　(1)棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是(　　)
A．18＋6 B．6＋2
C．24 D．18
答案　B
解析　V＝(S＋＋S′)h＝×(2＋＋4)×3＝6＋2.
(2)把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为________．
答案　或
解析　设圆柱的底面半径为r，母线长为l，
则①当2πr＝6时，r＝，l＝3，
所以V圆柱＝πr2·l＝π·2·3＝.
②当2πr＝3时，r＝，l＝6，
所以V圆柱＝πr2·l＝π·2·6＝.
所以所求圆柱的体积为或.
(3)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．
①求剩余部分的体积；
②求三棱锥A－A1BD的体积及高．
解　①＝S△ABD·A1A＝×·AB·AD·A1A＝a3.
故剩余部分的体积V＝V正方体－＝a3－a3＝a3.
②＝＝a3.
设三棱锥A－A1BD的高为h，
则＝··h
＝××(a)2h＝a2h，
故a2h＝a3，解得h＝a.
反思感悟　求空间图形体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积．
提醒：求空间图形的体积时，要注意利用好空间图形的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出空间图形的高和底面积．
跟踪训练1　(1)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
解　设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，
∴VC－A′D′D＝CD·S△A′D′D＝a·bc＝abc，
∴剩余部分的体积为
VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc，
∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
(2)圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？
解　如图，由题意可知，圆台的上底面半径为4 cm，
于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
圆台的高h＝BC
＝
＝＝4(cm)，
V圆台＝h(S＋＋S′)＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．
二、球的表面积与体积
例2　(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
答案　πa2
解析　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a，如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，
OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
(2)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为________．
答案　π
解析　球的直径是长方体的体对角线，
∴2R＝＝，V＝πR3＝π.
延伸探究
1．若把本例(2)换成“棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上”，求此球的体积．
解　正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，即2R＝，所以R＝，
所以V球＝·π·()3＝4π.
2．若把本例(2)换成“棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上”，求球的体积．
解　把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x，
由题意知2R＝x＝×＝a，
所以R＝a，
所以V＝π3＝a3π.
反思感悟　“切”“接”问题的处理规律
(1)“接”的处理
抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
(2)“切”的处理
首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心．
跟踪训练2　求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
解　如图，等边三角形ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.
设球的半径OE＝R，
OA＝＝2OE＝2R.
∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，
BD＝AD·tan 30°＝R，
∵V球＝πR3，
V圆锥＝π·BD2×AD＝π(R)2×3R＝3πR3，
∴V球∶V圆锥＝4∶9.
三、组合体的体积
例3　如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此空间图形的体积．
解　V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此空间图形的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱
＝(48＋22π)(cm3)．
反思感悟　代入公式计算空间图形的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别．
跟踪训练3　如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所得的空间图形的体积．
解　如图，过点C作CE垂直于AD，
交AD的延长线于点E，则所求空间图形的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积．
所以所求空间图形的体积V＝V圆台－V圆锥
＝π(52＋5×2＋22)×4－π×22×2＝π.
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为(　　)
A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3
答案　B
解析　V＝3×4×5＝60(cm3)．
2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　A
解析　由题意知，V＝(π＋2π＋4π)·h＝7π，所以h＝3.
3．将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为(　　)
A．2π B.
C. D.
答案　B
解析　设圆锥底面半径为r，扇形弧长为l，
则l＝2πr＝π×1，∴r＝，
∴圆锥的高为＝，
∴圆锥的体积为V＝×π××＝.
4．正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍．
答案　3
解析　设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，
∴外接球的半径为.
∴外接球的体积为π×3，
内切球的体积为π×3，
∴外接球的体积是内切球的体积的3倍．
5．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是________ cm.
答案　4
解析　∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，
∴铜质的五棱柱的体积V＝16×4＝64(cm3)．
设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm，
则a3＝64，解得a＝4.
通过对球的表面积、体积公式的运用，加深学生对公式的认识，突出公式在实际问题解决中的作用．
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