苏教版（2019）高中数学必修第二册 14.2.2分层抽样教学设计

第十四章　统计
14.2　抽样
14.2.2　分层抽样
因为本章所学习的统计学知识是描述性统计学的内容，学生的经验、体验非常重要，教材在选材时充分利用学生已有经验，选择学生熟悉的材料、案例，并重视运用图形进行直观展示，以促进学生的理解．
在本章的结构上，本章内容以总－分－总的体系进行展开，“获取数据的途径”中的案例渗透了统计分析的基本过程，展示了统计分析的基本步骤，然后基于此，通过问题链进行探究学习，并引导学生通过不同的视角进行多角度研究，让学生充分体验统计分析方法的多样性和合理选择统计分析的工具，以及合理选择统计量的必要性．
课程目标 学科素养
1.理解分层抽样的基本思想和适用情形. 2.掌握分层抽样的实施步骤. 3.了解简单随机抽样与分层抽样的区别和联系． 在分层随机抽样的实施过程中，掌握分层随机抽样的抽样步骤，发展学生数据分析素养.
1.教学重点：掌握分层抽样的实施步骤.
2.教学难点：理解分层抽样的基本思想和适用情形.
多媒体调试、讲义分发。
某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.
问题　1.上述问题中总体有什么特征？
2.采用抽签法合适吗？若不合适，应该用什么方法抽取样本？
提示　1.该总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异.
2.不合适，若用抽签法，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.应该用分层随机抽样抽取样本.
知识点一　分层抽样
1．分层抽样的定义
一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．
2．分层抽样的特点
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)按比例确定每层抽取个体的个数．
(3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样的方法．
(4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性．
(5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法．
知识点二　分层抽样的实施步骤
1．将总体按一定标准分层．
2．计算各层的个体数与总体的个体数的比．
3．按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量．
4．在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．
知识点三　两种抽样方法的比较
类别 特点 相互联系 适用范围 共同点
简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
分层抽样 将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取 各层抽样时，可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成
一、对分层抽样概念的理解
例1　①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这两件事，合适的抽样方法分别为(　　)
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．简单随机抽样，简单随机抽样
D．分层抽样，分层抽样
答案　A
解析　①由于学生分成了差异比较大的几部分，应用分层抽样．②由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．
反思感悟　判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)样本能更充分地反映总体的情况．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
跟踪训练1　在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法正确的是________．(填序号)
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征．
答案　①③
解析　根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误；由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，③正确．故①③正确．
二、分层抽样的应用
例2　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
解　用分层抽样来抽取样本，步骤如下：
(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)．
(3)在各层分别按随机数表法抽取样本．
(4)汇总每层抽样，组成样本．
反思感悟　利用分层抽样抽取样本的操作步骤
(1)将总体按一定标准进行分层．
(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比．
(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．
(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．
(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．
跟踪训练2　某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．
解　(1)由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．
(2)确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40；200×＝60；200×＝100.
(3)在各层分别按简单随机抽样抽取样本．
(4)综合每层抽样，组成容量为200的样本．
题型三　分层随机抽样中的计算问题
例3　(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A.101 B.808 C.1212 D.2012
(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体.
(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________.
解析　(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，
所以抽取驾驶员的抽样比为＝，
所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808.
(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又由总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体.
(3)＝×3＋×8＝6.
答案　(1)B　(2)20　(3)6
规律方法　(1)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系
①＝；
②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
(2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：
＝＋＝＋.
跟踪训练3　甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)
A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人
C.20人，30人，40人 D.30人，50人，10人
解析　先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)，故选B.
答案　B
1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
答案　D
解析　青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7∶5∶3，所以样本容量为7÷＝15.
2．某校对全校1 200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生人数为(　　)
A．670 B．680 C．690 D．700
答案　C
解析　男生人数占总人数的比等于抽到男生人数占样本容量的比，可得男生人数为1 200×＝690.
3．为了调查某省各城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________．
答案　4
解析　乙组城市数占总城市数的比例为＝，样本容量为12，故乙组中应抽取的城市数为12×＝4.
4．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：
类别 粮食类 植物油类 动物性食品类 果蔬类
种数 40 10 30 20
现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________．
答案　6
解析　因为总体的个数为40＋10＋30＋20＝100，所以根据分层抽样的定义可知，抽取的植物油类食品种数为×20＝2，抽取的果蔬类食品种数为×20＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为2＋4＝6.
5．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的表格：
产品类别 A B C
产品数量(件) 1 300
样本数量(件) 130
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本数量比C产品的样本数量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________．
答案　800
解析　设C产品的样本数量为n，则A产品的样本数量为n＋10，由题意知＝，解得n＝80.
故C产品的数量为80÷＝800.
选择抽样方法的规律：
(1)当总体的个体数和样本量都较小时，可采用抽签法.
(2)当总体的个体数较大，样本量较小时，可采用随机数法.
(3)当总体按一个或多个变量可划分为若干个层时，采用分层随机抽样.
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