苏教版（2019）高中数学必修第二册 14.2.2分层抽样练习（解析版）

14.2.2　分层抽样
1．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　)
A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
2．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取的个数为(　　)
A．12,6,3 B．12,3,6
C．3,6,12 D．3,12,6
3．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)
A．100 B．150
C．200 D．250
4．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问各几何？”意思是：北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是(　　)
A．102 B．112
C．130 D．136
5．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取的高一学生人数为(　　)
A．8 B．11 C．16 D．10
6．已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人，用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个样本，且每个学生被抽到的可能性为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为________．
7．某学校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生．现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则此学校共有高中学生______人．
8．某橘子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行统计．如果所抽取的山地是平地的2倍多1亩，则这个橘子园的平地与山地的亩数分别为________．
9．为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0＜m≤72≤n)．
(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；
(2)若高校B中抽取的教授总数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数．
10．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？
11．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表所示：
一年级 二年级 三年级
女生 373 380 y
男生 377 370 z
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为(　　)
A．24 B．18
C．16 D．12
12．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为(　　)
A．60 B．80
C．120 D．180
13．某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查，得到了如下表所示的数据，则＝______.
年级段 小学 初中 高中
总人数 800 x y
样本中人数 16 15 z
14．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
15．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)
A．200,20 B．100,20
C．200,10 D．100,10
16．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
14.2.2　分层抽样解析答案
1．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　)
A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
【答案】　D
【解析】　D中总体有明显差异，故用分层抽样．
2．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取的个数为(　　)
A．12,6,3 B．12,3,6
C．3,6,12 D．3,12,6
【答案】　C
【解析】　由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取的个数为21×＝3,21×＝6,21×＝12.
3．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)
A．100 B．150
C．200 D．250
【答案】　A
【解析】　由题意得，＝，解得n＝100.
4．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问各几何？”意思是：北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是(　　)
A．102 B．112
C．130 D．136
【答案】　B
【解析】　因为北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，故需从西乡征集的人数是378×≈112.
5．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取的高一学生人数为(　　)
A．8 B．11 C．16 D．10
【答案】　A
【解析】　若设高三学生人数为x，则高一学生人数为，高二学生人数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生人数为800，因此应抽取的高一学生人数为＝8.
6．已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人，用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个样本，且每个学生被抽到的可能性为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为________．
【答案】　15
【解析】　因为每个学生被抽到的可能性为0.02，所以从高二年级抽取的学生人数为0.02×750＝15.
7．某学校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生．现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则此学校共有高中学生______人．
【答案】　900
【解析】　高二年级被抽取45－20－10＝15(人)，
被抽取的比例为＝，所以x＝400，z＝200.
所以此学校共有高中学生900人．
8．某橘子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行统计．如果所抽取的山地是平地的2倍多1亩，则这个橘子园的平地与山地的亩数分别为________．
【答案】　36,84
【解析】　设所抽取的平地的亩数为x，则抽取的山地的亩数为2x＋1，∴x＋2x＋1＝10，得x＝3，∴这个橘子园的平地的亩数为120×＝36，山地的亩数为120－36＝84.
9．为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0＜m≤72≤n)．
(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；
(2)若高校B中抽取的教授总数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数．
解　(1)∵0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，∴高校B中抽取2人，
∴高校A中抽取1人，高校C中抽取3人，
∴＝＝，解得m＝36，n＝108.
(2)∵高校B中抽取的教授总数是高校A和C中抽取的教授总数的，
∴(m＋n)＝72，解得m＋n＝108，
∴三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.
10．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？
解　(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．
因为样本容量为120，总体个数为500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比为＝，
所以500×＝8,3 000×＝48,4 000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
分层抽样的步骤是
①分层：将全校师生分为教职员工、初中生、高中生，共三层．
②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本．
④综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法．如果用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是
①编号：将3 000份答卷都编上号码：0001,0002,0003，…，3000.
②在随机数表上随机选取一个起始位置．
③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．
11．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表所示：
一年级 二年级 三年级
女生 373 380 y
男生 377 370 z
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为(　　)
A．24 B．18
C．16 D．12
【答案】　C
【解析】　一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×＝16.
12．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为(　　)
A．60 B．80
C．120 D．180
【答案】　C
【解析】　11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，抽样比为，因为分层抽取的样本容量为300，故回收问卷总数为＝900(份)，故x＝900－120－180－240＝360(份)，360×＝120(份)．
13．某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查，得到了如下表所示的数据，则＝______.
年级段 小学 初中 高中
总人数 800 x y
样本中人数 16 15 z
【答案】　37 500
【解析】　由分层抽样的特点，得＝＝，即x＝750，＝50，则＝37 500.
14．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
【答案】　6
【解析】　因为“泥塑”社团的人数占总人数的，故“剪纸”社团的人数占总人数的，所以“剪纸”社团的人数为800×＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×＝6.
15．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)
A．200,20 B．100,20
C．200,10 D．100,10
【答案】　A
【解析】　该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.
16．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解　(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，
则有＝47.5%，＝10%，
解得b＝50%，c＝10%，
故a＝100%－50%－10%＝40%.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中，
抽取的青年人人数为200××40%＝60；
抽取的中年人人数为200××50%＝75；
抽取的老年人人数为200××10%＝15.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60,75,15.
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