培优作业(一)
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．关于做平抛运动的物体，下列说法正确的是( )
A．速度始终不变 B．加速度始终不变
C．受力始终与运动方向垂直 D．受力始终与运动方向平行
2．(多选)物体做平抛运动，下列说法正确的是( )
A．由于物体受力的大小和方向不变，因此平抛运动是匀变速运动
B．由于物体速度的方向不断变化，因此平抛运动不是匀变速运动
C．平抛运动是任何恒力作用下的曲线运动
D．平抛运动的速度大小是时刻变化的
3． (多选)从同一点沿水平方向抛出的A、B两个小球能落在同一个斜面上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则小球初速度vA、vB的关系和运动时间tA、tB的关系分别是( )
A．vA＞vB B．vA＜vB
C．tA＞tB D．tA＜tB
4．如图所示，在距离竖直墙壁为L＝1.2 m处，将一小球水平抛出，小球撞到墙上时，速度方向与墙面成θ＝37°，不计空气阻力．墙足够长，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则( )
A．球的初速度大小为3 m/s
B．球撞到墙上时的速度大小为4 m/s
C．将初速度变为原来的2倍，其他条件不变，小球撞到墙上的点上移了m
D．若将初速度变为原来的一半，其他条件不变，小球可能不会撞到墙
5．(2017·江苏卷)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A．t B．t
C． D．
二、非选择题(每小题10分，共20分)
6．如图，一个斜面固定在水平面上，从斜面顶端以不同初速度v0水平抛出小物体，得到物体在空中运动时间t与初速度v0的关系如下表，g＝10 m/s 2.试求：
v0/m·s－1 … 2 … 9 10 …
t/s … 0.400 … 1.000 1.000 …
(1)v0＝2 m/s时平抛水平位移x
(2)斜面的高度h
(3)斜面的倾角θ
7．滑雪运动越来越被大众喜欢，中国申办2022年冬奥会，国际奥委会评估团已结束对北京和张家口的考察，我们期待申奥成功．如图，某滑雪爱好者经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．求：(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)
(1)A点与O点的距离L．
(2)运动员离开O点时的速度大小．
(3)运动员落到A点时的速度大小．
B组 (25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔2 s释放一个铁球，先后共释放4个，如果不计空气阻力，则在某一时刻4个球在空中的排列情况大致为( )
2．“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈，都能套中地面上的同一目标．设大人和小孩的抛出点离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于( )
A．2∶1 B．1∶2
C．∶1 D．1∶
3．物体以一定的初速度水平抛出，不计空气阻力．经过t1时间，其速度方向与水平方向夹角为37°，再经过t2时间，其速度方向与水平方向夹角为53°，则t1∶t2为( )
A．9∶7 B．7∶9
C．16∶9 D．9∶16
4．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，且ab＝bc＝cd.从a点正上方O点处以速度v水平抛出—个小球，它落在斜面上的b点，若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
5． (多选)如图所示，一个质量为0.4 kg的小物块从O点以v0＝1 m/s的初速度从水平台上的O点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的P点．现以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，不计一切摩擦和空气阻力，g＝10 m/s2，则下列说法正确的是
A．小物块从O点运动到P点的时间为1 s
B．小物块刚到P点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于5
C．小物块刚到P点时速度的大小为10 m/s
D．小物体位移大小为m
6．(多选)如下图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )
A．小球在空中的运动时间变为原来的2倍
B．夹角α将变大
C．PQ间距一定大于原来间距的3倍
D．夹角α与初速度大小有关
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．宽阔的水平面上竖直固定高为1.5 m的薄木板，在离开其水平距离1 m、高1.8 m处水平抛出视为质点的玩具小鸟(不计空气阻力，g取10 m/s2)．
(1)若水平初速度v0＝10 m/s，则其做平抛运动的时间是多少？
(2)若任意改变初速度，为使小鸟能击中木板，其初速度的取值范围是多少？
8．宽为L的竖直障碍物上开有间距为d的矩形孔，其下沿离地高h＝1.2 m，离地高H＝2 m的质点与障碍物相距x.在障碍物以v0＝4 m/s匀速向左运动的同时，质点自由下落，取g＝10 m/s2.为使质点能穿过该孔
(1)L最大值是多少；
(2)L＝0.6 m时，x取值范围是多少．
培优作业(一)
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．关于做平抛运动的物体，下列说法正确的是( )
A．速度始终不变 B．加速度始终不变
C．受力始终与运动方向垂直 D．受力始终与运动方向平行
解析：做平抛运动的物体，速度时刻改变，选项A错误；加速度g不变，选项B正确；重力与运动方向之间的夹角为θ，0<θ<90°，故选项C、D错误．
答案：B
2．(多选)物体做平抛运动，下列说法正确的是( )
A．由于物体受力的大小和方向不变，因此平抛运动是匀变速运动
B．由于物体速度的方向不断变化，因此平抛运动不是匀变速运动
C．平抛运动是任何恒力作用下的曲线运动
D．平抛运动的速度大小是时刻变化的
解析：做平抛运动的物体只受重力作用，加速度a＝g，方向竖直向下，为一恒量，因此平抛运动是匀变速运动，故选项A正确，选项B错误；由于平抛运动是只在重力作用下水平抛出的运动，故选项C错误；由于竖直方向速度逐渐变大，因此，平抛运动的速度大小时刻变化，故选项D正确．
答案：AD
3． (多选)从同一点沿水平方向抛出的A、B两个小球能落在同一个斜面上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则小球初速度vA、vB的关系和运动时间tA、tB的关系分别是( )
A．vA＞vB B．vA＜vB
C．tA＞tB D．tA＜tB
解析：A小球下落的高度小于B小球下落的高度，所以根据h＝gt2知t＝，故tA＜tB，选项C错误，选项D正确；根据x＝vt知，B的水平位移较小，时间较长，则水平初速度较小，故vA＞vB，选项A正确，选项B错误．
答案：AD
4．如图所示，在距离竖直墙壁为L＝1.2 m处，将一小球水平抛出，小球撞到墙上时，速度方向与墙面成θ＝37°，不计空气阻力．墙足够长，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则( )
A．球的初速度大小为3 m/s
B．球撞到墙上时的速度大小为4 m/s
C．将初速度变为原来的2倍，其他条件不变，小球撞到墙上的点上移了m
D．若将初速度变为原来的一半，其他条件不变，小球可能不会撞到墙
解析：A、设小球水平抛出时的速度为v0，则从开始到撞到墙上所用的时间为：t＝
撞到墙上时的竖直速度：vy＝gt
根据速度方向与墙面成θ＝37°，则tan θ＝＝
代入数据得：v0＝3 m/s，A正确；B、撞到墙上时的速度：v＝＝ m/s＝5 m/s，B错误；C、打到墙上的点距抛出点的竖直高度为：h1＝gt2＝＝0.8 m；若将球的初速度变为原来的2倍，则打到墙上的点距抛出点的竖直高度为：h2＝gt＝＝0.2 m．小球撞到墙上的点上移了Δh＝h1－h2＝0.8 m－0.2 m＝0.6 m，C错误；D、因为墙足够长，只要初速度不为零，就一定能打到墙上，D错误．
答案：A
5．(2017·江苏卷)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A．t B．t
C． D．
解析：设A、B两小球分别以速度vA、vB水平抛出时，经过时间t相遇，则根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动有
vAt＋vBt＝d ①
(d为初始时刻两小球间的水平距离)
设当A、B两小球抛出速度都变为原来的2倍时，经过时间t′相遇，
则2vAt′＋2vBt′＝d ②
联立①②解得
t′＝
选项C正确．
答案：C
二、非选择题(每小题10分，共20分)
6．如图，一个斜面固定在水平面上，从斜面顶端以不同初速度v0水平抛出小物体，得到物体在空中运动时间t与初速度v0的关系如下表，g＝10 m/s 2.试求：
v0/m·s－1 … 2 … 9 10 …
t/s … 0.400 … 1.000 1.000 …
(1)v0＝2 m/s时平抛水平位移x
(2)斜面的高度h
(3)斜面的倾角θ
解析：(1)水平方向上做匀速直线运动：x＝v0t＝0.80 m
故平抛水平位移x＝0.80 m．
(2)因为初速度达到9 m/s以后运动时间保持1 s不变，故小物体落地点在水平面h＝gt2＝5 m
(3)小物体初速度2 m/s，运动时间0.400 s时落在斜面，
tan θ＝＝＝1
θ＝45°
故斜面的倾角θ＝45°．
答案：(1)0.80 m (2)5 m (3)45°
7．滑雪运动越来越被大众喜欢，中国申办2022年冬奥会，国际奥委会评估团已结束对北京和张家口的考察，我们期待申奥成功．如图，某滑雪爱好者经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．求：(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)
(1)A点与O点的距离L．
(2)运动员离开O点时的速度大小．
(3)运动员落到A点时的速度大小．
解析：(1)竖直方向h＝gt2＝45 m，A点与O点的距离L＝＝75 m．
(2)水平方向x＝＝v0t得v0＝20 m/s．
(3)竖直方向速度vy＝gt＝30 m/s，v＝＝10 m/s．
答案：(1)75 m (2)20 m/s (3)10 m/s
B组 (25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔2 s释放一个铁球，先后共释放4个，如果不计空气阻力，则在某一时刻4个球在空中的排列情况大致为( )
解析：因为平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，所以释放的小球都在飞机的正下方，即在飞机的正下方排成竖直的直线．小球在竖直方向上的距离随着时间的增大逐渐增加．故选项A正确，选项B、C、D错误．
答案：A
2．“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈，都能套中地面上的同一目标．设大人和小孩的抛出点离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于( )
A．2∶1 B．1∶2
C．∶1 D．1∶
解析：铁丝圈做平抛运动，所以运动时间t＝，故水平位移为x＝v，因为两者的水平位移相同，所以有v1＝v2，因为H1∶H2＝2∶1，所以v1∶v2＝1∶，选项D正确，选项A、B、C错误．
答案：D
3．物体以一定的初速度水平抛出，不计空气阻力．经过t1时间，其速度方向与水平方向夹角为37°，再经过t2时间，其速度方向与水平方向夹角为53°，则t1∶t2为( )
A．9∶7 B．7∶9
C．16∶9 D．9∶16
解析：设初速度为v0，则tan 37°＝＝，解得vy＝v0，t1＝；tan 53°＝，解得vy′＝v0，则t2＝＝＝，则t1∶t2＝9∶7.故选项A正确，选项B、C、D错误．
答案：A
4．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，且ab＝bc＝cd.从a点正上方O点处以速度v水平抛出—个小球，它落在斜面上的b点，若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
解析：过b作一条与斜面底边平行的直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v水平抛出时，小球将落在我们所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的bc之间，故选项A正确，选项B、C、D错误．
答案：A
5． (多选)如图所示，一个质量为0.4 kg的小物块从O点以v0＝1 m/s的初速度从水平台上的O点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的P点．现以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，不计一切摩擦和空气阻力，g＝10 m/s2，则下列说法正确的是
A．小物块从O点运动到P点的时间为1 s
B．小物块刚到P点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于5
C．小物块刚到P点时速度的大小为10 m/s
D．小物体位移大小为m
解析：由题意可知，小物块从O点水平抛出后满足：y＝－gt2，x＝vt，又有：y＝x2－6，联立解得t＝1 s，故A正确．到达P点时竖直分速度vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，则P点的速度vp＝ m/s＝ m/s，方向与水平方向夹角的正切值tan α＝＝10，故B、C错误．小物体的水平位移x＝v0t＝1×1 m＝1m，竖直位移y＝gt2＝×10×1 m＝5 m，根据平行四边形定则知，小物体的位移大小s＝＝ m＝ m，故D正确．故选AD．
答案：AD
6．(多选)如下图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )
A．小球在空中的运动时间变为原来的2倍
B．夹角α将变大
C．PQ间距一定大于原来间距的3倍
D．夹角α与初速度大小有关
解析：斜面倾角的正切值tan θ＝＝得t＝知运动的时间与平抛运动的初速度有关，初速度变为原来的2倍，则运行时间变为原来的2倍，故A正确；由图可知tan α＝＝，而tan θ＝＝，可知tan α＝2tan θ；则初速度变为原来的两倍，则时间变为原来的两倍，速度与水平方向的夹角不变，所以α1＝α2，故BD错误；因为初速度变为原来的两倍，运行的时间也变为原来的两倍，根据x＝v0t，水平位移变为原来的4倍．因此x1∶x2＝1∶4；根据y＝gt2，初速度变为原来的两倍，运行时间变为原来的两倍，则竖直位移变为原来的4倍．因此y1∶y2＝1∶4，根据位移合成法则可知，PQ间距一定大于原来间距的3倍．故C正确．
答案：AC
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．宽阔的水平面上竖直固定高为1.5 m的薄木板，在离开其水平距离1 m、高1.8 m处水平抛出视为质点的玩具小鸟(不计空气阻力，g取10 m/s2)．
(1)若水平初速度v0＝10 m/s，则其做平抛运动的时间是多少？
(2)若任意改变初速度，为使小鸟能击中木板，其初速度的取值范围是多少？
解析：(1)当玩具小鸟恰好擦过木板的上边缘飞过时，平抛运动的时间
t1＝＝ s＝ s．
玩具小鸟恰好能到达薄木板上端时的平抛运动的初速度v0′＝＝ m/s＜10 m/s
可知水平速度为10 m/s时，玩具小鸟飞过木板上端．
根据h＝gt2得，t＝＝ s＝0.6 s．
(2)当小鸟恰好落在木板的最低点时
h＝gt，t2＝0.6 s
v0＝＝ m/s＝ m/s
当小鸟恰好落在木板的最高点
由(1)可知v0′＝＝ m/s
故为使小鸟能击中木板则初速度的取值范围是 m/s＜v0＜ m/s．
答案：(1)0.6 s (2) m/s＜v0＜ m/s
8．宽为L的竖直障碍物上开有间距为d的矩形孔，其下沿离地高h＝1.2 m，离地高H＝2 m的质点与障碍物相距x.在障碍物以v0＝4 m/s匀速向左运动的同时，质点自由下落，取g＝10 m/s2.为使质点能穿过该孔
(1)L最大值是多少；
(2)L＝0.6 m时，x取值范围是多少．
解析：(1)要穿过小孔，竖直方向经过小孔的上边H－h－d＝gt；
经过小孔下边H－h＝gt；
经过小孔的时间最多有Δt＝t2－t1＝0.2 s；
水平方向v0Δt≥L；
所以L最大值为v0Δt＝0.8 m；
(2)当L＝0.6 m时，小球在水平方向的运动满足v0t1≤x，v0t2≥x＋L；
整理可得0.8 m≤x≤1 m．
答案：(1)0.8 m (2)0.8 m≤x≤1 m培优作业(二)
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直平面内以速度v做匀速圆周运动，轨迹半径为R，在其运动圆周的最高点和最低点，飞行员对座椅产生的压力( )
A．在最低点比在最高点大2mv2/R
B．相等
C．在最低点比在最高点大2mg
D．在最高点的压力大些
2．(多选)如图所示是上海锦江乐园新建的“摩天转轮”，它的直径达98 m，世界排名第五．游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25 min.下列说法正确的是( )
A．每时每刻每个人受到的合外力都不等于零
B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动
C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变
D．乘客在乘坐过程中有失重和超重的感觉
3． (多选)如图所示，一只光滑的碗水平放置，其内放一质量为m的小球，开始时小球相对于碗静止于碗底，则下列哪些情况能使碗对小球的支持力大于小球的重力( )
A．碗竖直向上做加速运动
B．碗竖直向下做减速运动
C．碗竖直向下做加速运动
D．当碗和小球一起水平匀速运动而碗突然静止时
4．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB．当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上．若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转动轴的最大距离为( )
A． B．
C． D．RB
5．如图所示，质量为m的小球固定在长为l的细轻杆的一端，绕细杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动．球转到最高点A时，线速度的大小为 ，此时( )
A．杆受到的拉力
B．杆受到的压力
C．杆受到mg的拉力
D．杆受到mg的压力
6．如图所示，A、B两物块叠放在一起放在水平圆盘的边缘，用不可伸长的细线将A与转轴相连，且线刚好拉直．已知A的质量为m，B的质量为2 m，A和B、B和圆盘间的动摩擦因数均为μ，细线长为L，重力加速度为g，不计物块的大小，转动圆盘使物块随圆盘一起做匀速圆周运动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，细线能承受的拉力很大，则下列说法正确的是( )
A．只要圆盘转动，细线就会有拉力
B．当B与圆盘间的摩擦力刚达到最大静摩擦力时，A与B间的摩擦力小于μmg
C．当转动的角速度为 ，物块B刚好要滑动
D．当转动的角速度为 ，细线的拉力大小等于μmg
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，一半径R＝0.5 m的水平圆盘可绕过圆心O的竖直轴O′O转动，圆盘圆心O处有一光滑小孔，用一长L＝1 m的细线穿过小孔连接质量分别为0.2 kg和0.5 kg的小球A和小物块B，小物块B放在圆盘边缘且与圆盘相对静止．现让小球A在水平面内做角速度ωA＝5 rad/s的匀速圆周运动，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3(取重力加速度g＝10 m/s2)．求：
(1)细线与竖直方向的夹角θ；
(2)小物块B与圆盘保持相对静止时，圆盘角速度ω的取值范围．
8．如图所示，轻质杆长为3L，在杆的两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的小孔穿在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动．当球B运动到最低点时，杆对球B的作用力大小为2mg，已知当地重力加速度为g，求此时：
(1)球B转动的角速度大小．
(2)球A对杆的作用力大小以及方向．
B组 (25分钟 50分)
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(多选)在图示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则( )
A．在最高点A，小球受重力和向心力
B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力
C．在最高点A，小球的速度为
D．在最高点A，小球的向心加速度为2g
2． (多选)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法错误的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是零
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
3．如图所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C．从a到b，物块所受的摩擦力先增大后减小
D．从b到a，物块处于超重状态
4．(多选)如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
D．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
5．(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，轻杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其Fv2图像如图乙所示，则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
二、非选择题(每小题10分，共20分)
6．如图1所示，水平转盘可绕其竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为m＝1 kg的A、B两个物块，B物块用长为l＝0.25 m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计．细线能承受的最大拉力为Fm＝8N.A、B间的动摩擦因数为μ2＝0.4，B与转盘间的动摩擦为因数为μ1＝0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力．转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零．当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F.试通过计算在如图2坐标系中作出F ω2图象．(g＝10 m/s2)(要求写出必要的计算过程)
7．如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到圆盘转轴的距离分别为rA＝20 cm，rB＝30 cm.A、B与盘面的最大静摩擦力均为重力的，试求：(g取10 m/s2)
(1)当细线开始出现张力时，圆盘的角速度．
(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度．
(3)当A即将滑动时，烧断细线，A、B所处的状态怎样？
培优作业(二)
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直平面内以速度v做匀速圆周运动，轨迹半径为R，在其运动圆周的最高点和最低点，飞行员对座椅产生的压力( )
A．在最低点比在最高点大2mv2/R
B．相等
C．在最低点比在最高点大2mg
D．在最高点的压力大些
解析：飞行员在最高点所受支持力F1＝m－mg，在最低点所受支持力F2＝m＋mg，故F2－F1＝2mg，在最低点所受支持力较大，选项C正确，选项A、B、D错误．
答案：C
2．(多选)如图所示是上海锦江乐园新建的“摩天转轮”，它的直径达98 m，世界排名第五．游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25 min.下列说法正确的是( )
A．每时每刻每个人受到的合外力都不等于零
B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动
C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变
D．乘客在乘坐过程中有失重和超重的感觉
解析：匀速圆周运动不是匀速运动，而是非匀变速运动，物体所受合外力提供向心力，每时每刻指向圆心，其大小恒定，故选项A正确，选项B错误．人在乘坐过程中，人对座位的压力在最低点时最大，Fmax＝mg＋m，处于超重状态；在最高点时最小，Fmin＝mg－m，处于失重状态，选项C错误，选项D正确．
答案：AD
3． (多选)如图所示，一只光滑的碗水平放置，其内放一质量为m的小球，开始时小球相对于碗静止于碗底，则下列哪些情况能使碗对小球的支持力大于小球的重力( )
A．碗竖直向上做加速运动
B．碗竖直向下做减速运动
C．碗竖直向下做加速运动
D．当碗和小球一起水平匀速运动而碗突然静止时
解析：碗竖直向上做加速运动或向下做减速运动，加速度方向均向上，小球处于超重状态，对碗的压力都大于它的重力；碗竖直向下做加速运动，加速度方向向下，小球处于失重状态，对碗的压力小于它的重力；当碗由水平匀速运动而突然静止时，小球从最低端向上做圆周运动，向心力竖直向上，即碗对球的支持力大于它的重力．所以选项A、B、D正确，选项C错误．
答案：ABD
4．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB．当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上．若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转动轴的最大距离为( )
A． B．
C． D．RB
解析：由图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘上的线速度相同，由ω＝，得＝＝＝.由于小木块恰能在A轮边缘静止，则由静摩擦力提供的向心力达最大值为μmg，故
μmg＝mωRA ①
设放在B轮上能使木块相对静止的距B转动轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力提供，故
μmg＝mωr ②
因A、B材料相同，故木块与A、B的动摩擦因数相同，①②式左边相等，故mωRA＝mωr，得r＝2RA＝2RA＝＝．
所以选项C正确．
答案：C
5．如图所示，质量为m的小球固定在长为l的细轻杆的一端，绕细杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动．球转到最高点A时，线速度的大小为 ，此时( )
A．杆受到的拉力
B．杆受到的压力
C．杆受到mg的拉力
D．杆受到mg的压力
解析：v<，故杆给小球提供支持力．
设杆对小球支持力为FN，则
mg－FN＝m，解得FN＝mg
根据牛顿第三定律，球对杆的压力为mg，故选项B正确．
答案：B
6．如图所示，A、B两物块叠放在一起放在水平圆盘的边缘，用不可伸长的细线将A与转轴相连，且线刚好拉直．已知A的质量为m，B的质量为2 m，A和B、B和圆盘间的动摩擦因数均为μ，细线长为L，重力加速度为g，不计物块的大小，转动圆盘使物块随圆盘一起做匀速圆周运动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，细线能承受的拉力很大，则下列说法正确的是( )
A．只要圆盘转动，细线就会有拉力
B．当B与圆盘间的摩擦力刚达到最大静摩擦力时，A与B间的摩擦力小于μmg
C．当转动的角速度为 ，物块B刚好要滑动
D．当转动的角速度为 ，细线的拉力大小等于μmg
解析：B与圆盘之间有摩擦力，当转盘转动的角速度较小时，摩擦力完全充当向心力，细线上不一定有拉力，A错误；当B与圆盘间的摩擦力刚达到最大静摩擦力时，对A有fA＝mrω2，对AB整体分析，根据牛顿第二定律有fB＝3mrω2，可知盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的3倍；又fB＝μ·3mg，所以fA＝μmg，B错误；对B分析可知B刚要发生相对滑动时，B受到转盘的摩擦力和A对B的摩擦力，二者的方向是相同的，则μmg＋3μmg＝2mωL，最大角速度ω0＝，C正确；对A进行受力分析可知，当B要滑动时，A受到细线的拉力和B对A的摩擦力，二者的方向相反，所以F－μmg＝m，联立得F＝3μmg，D错误．
答案：C
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，一半径R＝0.5 m的水平圆盘可绕过圆心O的竖直轴O′O转动，圆盘圆心O处有一光滑小孔，用一长L＝1 m的细线穿过小孔连接质量分别为0.2 kg和0.5 kg的小球A和小物块B，小物块B放在圆盘边缘且与圆盘相对静止．现让小球A在水平面内做角速度ωA＝5 rad/s的匀速圆周运动，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3(取重力加速度g＝10 m/s2)．求：
(1)细线与竖直方向的夹角θ；
(2)小物块B与圆盘保持相对静止时，圆盘角速度ω的取值范围．
解析：(1)小球A在水平面内做圆周运动，在竖直方向有Tcos θ＝mAg
在水平方向有Tsin θ＝mArω，其中r＝(L－R)sin θ
联立解得cos θ＝0.8，θ＝arccos 0.8
(2)绳的拉力T＝＝2.5 N
当转盘转速较小时，B有向圆心O运动的趋势，静摩擦力远离O，有T－f＝mBRω2
其中0≤f≤μmBg
解得2 rad/s≤ω≤ rad/s
当转盘转速较大时，B有远离圆心O运动的趋势，静摩擦力指向O，T＋f＝mBRω2
其中0≤f≤μmBg
解得 rad/s≤ω≤4 rad/s
故圆盘角速度ω的取值范围为2 rad/s≤ω≤4 rad/s．
答案：(1)arccos 0.8 (或arcsin 0.6) (2)2 rad/s≤ω≤4 rad/s
8．如图所示，轻质杆长为3L，在杆的两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的小孔穿在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动．当球B运动到最低点时，杆对球B的作用力大小为2mg，已知当地重力加速度为g，求此时：
(1)球B转动的角速度大小．
(2)球A对杆的作用力大小以及方向．
解析：(1)球B所受重力和弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得F1－mg＝mω2(2L)
其中F1＝2mg，联立解得ω＝
(2)球A的角速度等于球B的角速度，设杆对球A是向下的拉力，根据牛顿第二定律得F2＋mg＝mω2L
解得F2＝－mg＜0
故假设不成立，则杆对球A的作用力应是向上的支持力
根据牛顿第三定律可知，球A对杆的作用力是向下的压力，大小为mg．
答案：(1) (2)mg
B组 (25分钟 50分)
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(多选)在图示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则( )
A．在最高点A，小球受重力和向心力
B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力
C．在最高点A，小球的速度为
D．在最高点A，小球的向心加速度为2g
解析：小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma，又FN＝mg，所以a＝2g，选项B、D正确．
答案：BD
2． (多选)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法错误的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是零
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
解析：小球过最高点时，若v＝，杆所受弹力等于零，选项A正确．此题属于轻杆模型，小球过最高点的最小速度是零，选项B正确．小球过最高点时，若v＜，杆对球有向上的支持力，且该力随速度的增大而减小；若v＞，杆对球有向下的拉力，且该力随速度的增大而增大，选项C、D错误．
答案：CD
3．如图所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C．从a到b，物块所受的摩擦力先增大后减小
D．从b到a，物块处于超重状态
解析：在c、d两点处，只受重力和支持力，在其他位置处物块受到重力、支持力、静摩擦力三个作用力，故选项A错误；物块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，故选项B错误；从a运动到b，物块的加速度的方向始终指向圆心，水平方向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律知，物块所受木板的摩擦力先减小后增大，故选项C错误；从b运动到a，向心加速度有向上的分量，所以物块处于超重状态，故选项D正确．
答案：D
4．(多选)如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
D．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
解析：在最高点，若重力完全充当向心力，即球和细绳之间没有相互作用力，此时有mg＝m，解得v＝，此时小球刚好能在竖直平面内做圆周运动．若v＞，则小球对细绳有拉力；若v＜，则小球不能在竖直平面内做圆周运动．所以在最高点，充当向心力的不一定是重力．在最低点，细绳的拉力和重力的合力充当向心力，故有T－mg＝m，即T＝m＋mg，则小球过最低点时细绳的拉力一定大于小球重力．故选项C、D正确，选项A、B错误．
答案：CD
5．(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，轻杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其Fv2图像如图乙所示，则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
解析：小球在最高点，若v＝0，则F＝mg＝a，则m＝，当F＝0时，由题图乙知v2＝b，则有mg＝m＝，解得g＝，故m＝，选项A正确，选项B错误．由题图乙可知，当v2＜b时，轻杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，轻杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，轻杆对小球弹力方向向下，故选项C错误．若v2＝2b，则F＋mg＝m＝＝2mg，解得F＝mg，即小球受到的弹力与重力大小相等，故选项D正确．
答案：AD
二、非选择题(每小题10分，共20分)
6．如图1所示，水平转盘可绕其竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为m＝1 kg的A、B两个物块，B物块用长为l＝0.25 m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计．细线能承受的最大拉力为Fm＝8N.A、B间的动摩擦因数为μ2＝0.4，B与转盘间的动摩擦为因数为μ1＝0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力．转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零．当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F.试通过计算在如图2坐标系中作出F ω2图象．(g＝10 m/s2)(要求写出必要的计算过程)
解析：设B恰好滑动时角速度为ω1，A恰好滑动时的角速度为ω2，绳子拉力最大时角速度为ω3，当B恰好滑动时，绳子恰好出现拉力，此时对AB整体μ12mg＝2mωl，解得ω1＝2 rad/s
因此当0 rad/s＜ω≤2 rad/s时，绳子没有拉力，传感器示数为零；
当A恰好滑动时，对物块A，μ2mg＝mωl，
解得ω1＝4 rad/s
此时绳子的拉力为F1，对AB整体，F1＋μ12mg＝2mωl，
解得F1＝6N＜8N，即A恰好滑动时绳子未断；
因此当2 rad/s＜ω≤4 rad/s时，F＋μ12mg＝2mω2l，即F＝0.5ω2－2，
当A脱离B后，B继续做匀速圆周运动直到绳子达到最大拉力，对B：Fm＋μ1mg＝mωl，
解得ω3＝6 rad/s
因此当4 rad/s＜ω≤6 rad/s时，F＋μ1mg＝mω2l，即F＝0.25ω2－1，综上所述，作出F ω2如图所示
答案：见解析．
7．如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到圆盘转轴的距离分别为rA＝20 cm，rB＝30 cm.A、B与盘面的最大静摩擦力均为重力的，试求：(g取10 m/s2)
(1)当细线开始出现张力时，圆盘的角速度．
(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度．
(3)当A即将滑动时，烧断细线，A、B所处的状态怎样？
解析：(1)由于rB＞rA，当圆盘以角速度ω转动时，物体B所需向心力大，当ω增大到一定值时，物体B开始滑动，细线开始被拉紧产生张力，因此，由向心力公式有kmg＝mωrB
解得ω1＝＝ rad/s≈3.65 rad/s．
(2)当A开始滑动时，对B满足kmg＋F＝mωrB
对A满足kmg－F＝mωrA
联立得ω2＝＝ rad/s＝4 rad/s．
(3)当A即将滑动时，将细线烧断，F突然消失，对B来说kmg
答案：(1)3.65 rad/s (2)4 rad/s (3)见解析培优作业(三) 万有引力定律的综合应用
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重(即物体对火箭竖直向下的压力)为9 N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面重力加速度g取10 m/s2)( )
A．2倍 B．3倍
C．4倍 D．0.5倍
2．已知地球和火星半径之比为a，质量之比为b，如果分别在地球表面上和火星表面上以相同的初速度竖直上抛一物体(不计阻力)，则物体在地球表面和火星表面上升的最大高度之比为( )
A． B．
C． D．
3．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如下图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比m1∶m2＝3∶2，则可知( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为L
4．(多选)地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是( )
A．＝ B．＝2
C．＝ D．＝
5．我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星1R(PAKSAT－1R)成功送入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功．关于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是( )
A．运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．离地面的高度一定，相对地面保持静止
C．绕地球运动的周期比月球绕地球运行的周期大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
6．(多选)图中的甲是地球赤道上的一个物体、乙是“神舟六号”宇宙飞船(周期约90分钟)、丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v 乙C．已知甲运动的周期T甲＝24 h，可计算出地球的密度ρ＝
D．已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量M＝
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
8．宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起．设两者相距为L，质量分别为m1和m2．
(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．
(2)试写出它们角速度的表达式．
B组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．某星球的质量约为地球的9倍，半球约为地球的三分之一，若从地球上高h处平抛一物体，射程为63 m，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，射程应为( )
A．189 m B．21 m
C．7 m D．567 m
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.则地球的密度为( )
A． B．
C． D．
3．(多选)可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道( )
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆
B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
4． (多选)如图所示发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运动时，下列说法正确的是 ( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度
5． (多选)(2015·天津卷)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．如图所示，纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )
A．P1的平均密度比P2的大 B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C．s1的向心加速度比s2的大 D．s1的公转周期比s2的大
6．(2015·四川卷)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A．火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一物体，经过时间t物体落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一物体，需经过时间5t物体落回原处．(地球表面重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小．
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
8．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m．
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？
培优作业(三) 万有引力定律的综合应用
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重(即物体对火箭竖直向下的压力)为9 N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面重力加速度g取10 m/s2)( )
A．2倍 B．3倍
C．4倍 D．0.5倍
解析：设此时火箭离地球表面高度为h．
由牛顿第二定律得FN－mg′＝ma ①
在地球表面处：mg＝G ②
由①式可得g′＝0.625 m/s2 ③
又因h处，mg′＝G ④
由②④式得＝
代入数据，得h＝3R，故选项B正确．
答案：B
2．已知地球和火星半径之比为a，质量之比为b，如果分别在地球表面上和火星表面上以相同的初速度竖直上抛一物体(不计阻力)，则物体在地球表面和火星表面上升的最大高度之比为( )
A． B．
C． D．
解析：根据万有引力等于重力G＝mg，得g＝，则地球表面与火星表面重力加速度之比为：＝·＝；在地球上竖直上抛的最大高度为h＝，火星表面竖直上抛的最大高度为h′＝，则得：＝＝，故选A．
答案：A
3．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如下图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比m1∶m2＝3∶2，则可知( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为L
解析：设两星的运动半径分别为r1和r2，由于两星的周期相同，据ω＝知，它们的角速度相同，选项B错误．两星之间的万有引力等于它们的向心力，即m1r1ω2＝m2r2ω2，而r1＋r2＝L，所以r1＝L，r2＝L，选项C正确，选项D错误．又因v＝ωr，所以v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，选项A错误．
答案：C
4．(多选)地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是( )
A．＝ B．＝2
C．＝ D．＝
解析：设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2，近地卫星的质量为m2′，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ωr，a2＝ωR，ω1＝ω2
解得＝，可知选项A正确，选项B错误．
由万有引力定律得
对同步卫星：G＝m1
对近地卫星：G＝m2′
由以上两式解得＝ ，可知选项D正确，选项C错误．
答案：AD
5．我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星1R(PAKSAT－1R)成功送入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功．关于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是( )
A．运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．离地面的高度一定，相对地面保持静止
C．绕地球运动的周期比月球绕地球运行的周期大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析：第一宇宙速度是卫星围绕地球运行的最大速度，所以该卫星的运行速度小于第一宇宙速度，当然更小于第二宇宙速度，选项A错误；同步卫星是相对于地面静止的卫星，它的周期T＝24 h，位于赤道正上方某一确定高度h，选项B正确；同步卫星的运行周期为24 h，月球绕地球运行的周期约为30天，所以同步卫星绕地球运动的周期比月球绕地球运行的周期小，选项C错误；同步卫星与静止在赤道上的物体具有相同的角速度，由a＝ω2r，知同步卫星的向心加速度大，选项D错误．
答案：B
6．(多选)图中的甲是地球赤道上的一个物体、乙是“神舟六号”宇宙飞船(周期约90分钟)、丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v 乙C．已知甲运动的周期T甲＝24 h，可计算出地球的密度ρ＝
D．已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量M＝
解析：ω甲＝ω丙、r甲a丙，v乙>v丙，故选项A正确，选项B错误．对于甲物体，万有引力的一个分力提供向心力，假设地球半径为R，质量为M，那么赤道上质量为m的物体受到的万有引力为，而物体做匀速圆周运动的向心力公式F＝.条件中告诉我们周期T甲，故有>，可得>，密度ρ＝>，选项C错误；对于乙物体，万有引力提供向心力，＝，可得M＝，故选项D正确．
答案：AD
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
解析：火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h时，重力加速度为g′
由牛顿第二定律得mg－mg′＝m·
得g′＝g ①
由万有引力定律知G＝mg ②
G＝mg′ ③
由①②③式联立得h＝．
答案：
8．宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起．设两者相距为L，质量分别为m1和m2．
(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．
(2)试写出它们角速度的表达式．
解析：双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即F＝G，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如答图所示．
(1)分别对这两星应用牛顿第二定律列方程
对m1有G＝m1ω2R1 ①
对m2有G＝m2ω2R2 ②
由①②式得＝
由线速度与角速度的关系v＝ωR，得＝＝．
(2)由①式得R1＝
由②式得R2＝
又L＝R1＋R2
联立以上各式得ω＝．
答案：(1)见解析 (2)
B组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．某星球的质量约为地球的9倍，半球约为地球的三分之一，若从地球上高h处平抛一物体，射程为63 m，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，射程应为( )
A．189 m B．21 m
C．7 m D．567 m
解析：设地球质量为M，半径为R，表面重力加速度为g．
则在地球表面：G＝mg．
在星球表面：G＝mg′，即G＝mg′
解得g′＝81g．
根据平抛规律，在地球：x＝v0t＝v0．
在星球：x′＝v0t′＝v0＝v0．
所以x′＝x＝7 m，故选项C正确．
答案：C
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.则地球的密度为( )
A． B．
C． D．
解析：在地球两极重力等于万有引力，即有mg0＝G＝πρmGR，在赤道上重力等于万有引力与向心力的差值，即mg＋mR＝G＝πρmGR，联立解得ρ＝，选项B正确．
答案：B
3．(多选)可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道( )
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆
B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
解析：人造卫星飞行时，由于地球对卫星的引力是它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不可能是地轴上(除地心外)的某一点，故选项A错误；由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以选项B错误；相对地球表面静止的就是同步卫星，它必须在赤道线平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为36 000 km，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动．不过由于它们运动的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动，选项C、D正确．
答案：CD
4． (多选)如图所示发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运动时，下列说法正确的是 ( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度
解析：由于轨道1和3上的卫星均做匀速圆周运动，其万有引力提供向心力，由G＝得v＝，因为r3>r1，所以v3r1，所以ω3<ω1，则选项B正确；由牛顿第二定律知＝ma，a＝，卫星的加速度由该点到地球球心的距离决定，所以卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度，选项C错误，选项D正确．
答案：BD
5． (多选)(2015·天津卷)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．如图所示，纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )
A．P1的平均密度比P2的大 B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C．s1的向心加速度比s2的大 D．s1的公转周期比s2的大
解析：题图中两条曲线的左端点对应的横坐标相同，表明两颗行星的半径相同，由万有引力提供向心力可得，G＝ma，a＝，由题图可知，P1的质量大，因此P1的平均密度大，选项A正确；第一宇宙速度v＝，因此质量大的行星第一宇宙速度大，选项B错误；由a＝可知，s1的向心加速度大，C项正确；由G＝mr2得T＝2π，因此同一高度处，质量大的行星的卫星公转周期小，选项D错误．
答案：AC
6．(2015·四川卷)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A．火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
解析：根据万有引力定律可知＝m2r，得公转周期公式T＝，对同一中心天体，环绕天体的公转半径越大，公转周期越大，选项A错误；根据公式a＝，得环绕天体的公转半径越大，向心加速度越小，选项B正确；对于天体表面的重力加速度，由g＝，得g地＞g火，选项C错误；由第一宇宙速度公式v1＝，得v1地＞v1火，选项D错误．
答案：B
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一物体，经过时间t物体落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一物体，需经过时间5t物体落回原处．(地球表面重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小．
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
解析：(1)由竖直上抛运动规律可知地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为t＝
在该星球表面竖直上抛的物体落回原地所用时间为5t＝
所以g′＝g＝2 m/s2．
(2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有
mg＝G
所以M＝，可解得M星∶M地＝1∶80．
答案：(1)2 m/s2 (2)1∶80
8．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m．
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有
F1＝，F2＝
F1＋F2＝ ①
运动星体的线速度v＝ ②
设周期为T，则有T＝ ③
T＝4π. ④
(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为
R′＝ ⑤
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有
F合＝2cos 30° ⑥
F合＝mR′ ⑦
由④⑤⑥⑦式得r＝R．
答案：见解析培优作业(四)
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法正确的是( )
A．摩擦力对物体P做正功 B．物体P克服摩擦力做功
C．摩擦力对皮带不做功 D．合力对物体P做正功
2．质量为m的物体沿倾角为θ的斜面滑至底端时的速度大小为v，此时支持力的瞬时功率为( )
A．mgv B．0
C．mgvcos θ D．mgvtan θ
3．放在地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间图像和拉力的功率与时间图像如图所示，则物体的质量为(g取10 m/s2)( )
A． kg B． kg
C． kg D． kg
4．机车以下列两种方式启动，且沿直线运动(设阻力不变)．方式①：机车以不变的额定功率启动；方式②：机车的启动功率先随速度均匀增加，后保持额定功率不变．如下图给出的四个图像中，能够正确反映机车的速度v随时间t变化的是 ( )
A．甲对应方式①，乙对应方式②
B．乙对应方式①，丙对应方式②
C．甲对应方式①，丙对应方式②
D．丙对应方式①，丁对应方式②
5．某小区的业主在乘坐电梯从18楼由静止开始运动到1楼，电梯向下做加速运动，速度达到最大后向下做匀速运动，最后减速运动到1楼．则( )
A．电梯向下加速运动时，电梯对人做正功，电梯向下匀速运动时电梯对人不做功，电梯向下减速运动时，电梯对人做负功
B．电梯向下加速运动和向下匀速运动时，电梯对人做正功，电梯向下减速运动时，电梯对人做负功
C．电梯向下加速运动时，电梯对人做正功，电梯向下匀速运动和向下减速运动时，电梯对人做负功
D．整个运动过程中，电梯始终对人做负功
6．(多选)关于力对物体做功，下列说法正确的是( )
A．一对作用力与反作用力，若作用力做正功，则反作用力一定做负功
B．若物体所受合外力不为零，则合外力一定对物体做功
C．静摩擦力可以对物体做正功
D．滑动摩擦力可以对物体做正功
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．如图所示的水平传送装置，AB间距为l，传送带以v匀速运转．把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A到B的过程中，摩擦力对零件所做的功．
8．如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝1×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2.当起重机输出功率达到其允许的最大值后，起重机保持该功率不变，最终重物以最大速度vmax＝1.02 m/s做匀速运动．求：(g取10 m/s2，不计额外功)
(1)起重机输出功率的最大允许值．
(2)重物维持匀加速直线运动所经历的时间．
B组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．汽车在拱桥上匀速率行驶，当汽车由拱桥的最高点A行驶到最低点B的过程中，下列说法不正确的是( )
A．支持力不做功 B．重力不做功
C．摩擦阻力做负功 D．牵引力做正功
2．根据力对物体做功的条件，下列说法正确的是( )
A．工人扛着行李在水平路面上匀速前进时，工人对行李做正功
B．工人扛着行李从一楼走到三楼，工人对行李做正功
C．作用力与反作用力做的功大小相等，并且其代数和为0
D．在水平地面上拉着一物体运动一圈后又回到出发点，则由于物体位移为0，所以摩擦力不做功
3．如图所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多
B．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功少
C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多
D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多
4．(多选)某玩具加工厂为了测试玩具汽车的性能，通过遥控器控制使玩具车以大小恒定的速度爬上斜面，假设该玩具车的额定功率为P，斜面对玩具车的摩擦力大小为f.则下列说法正确的是( )
A．合外力对玩具车做功为零
B．当该玩具车沿斜面向上运动时，玩具车能达到的最大速度为vmax＝
C．当该玩具车沿斜面向上运动时，玩具车的摩擦力与重力对玩具车做负功
D．当玩具车的输出功率P保持不变，玩具车的速度变大时玩具车的牵引力减小
5．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．4 s末F的功率大小为42 W
C．F的大小为21 N
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
6． (多选)一滑块放在斜面体上，二者在水平向左的外力作用下共同向左以恒定的加速度向左加速运动，如图所示．则关于外力对滑块的做功情况的说法正确的是( )
A．斜面体对滑块的支持力一定做正功
B．斜面体对滑块的摩擦力一定做正功
C．斜面体对滑块的摩擦力可能不做功
D．斜面体对滑块的摩擦力可能做负功
二、非选择题(20分)
7．一辆电动自行车的铭牌上给出了如下技术指标：
规格 后轮驱动直流电机
车型 26型电动自行车
整车质量 30 kg
最大载重 120 kg
额定输出功率 120 W
额定电压 40 V
额定电流 3.5 A
质量M＝70 kg的人骑此电动自行车沿平直公路行驶，所受阻力F阻恒为车和人总重的2%，g取10 m/s2.则在电动自行车正常工作时，人骑车行驶的最大速度为多少？
8．一建筑工地在建设一高楼时，利用升降机将建筑材料运到l＝15 m高的地方，已知建筑材料的质量为4×103 kg，所用的时间为t＝10 s，重力加速度g取10 m/s2．
(1)当以恒定的速度将建筑材料运到目的地时，升降机做功的平均功率是多少？
(2)当升降机在10 s的时间内由静止开始匀加速将建筑材料运到目的地时，升降机做功的平均功率是多少？
(3)由以上分析求出升降机额定功率应满足的条件．
培优作业(四)
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法正确的是( )
A．摩擦力对物体P做正功 B．物体P克服摩擦力做功
C．摩擦力对皮带不做功 D．合力对物体P做正功
解析：物体匀速运动，所受合力为零，合力对P不做功，选项D错误；物体受到竖直向下的重力、垂直于皮带的支持力和沿皮带向上的摩擦力，物体上升过程中，摩擦力对P做正功，选项A正确，选项B错误；皮带所受摩擦力方向斜向下，与皮带运动方向相反，对皮带做负功，选项C错误．
答案：A
2．质量为m的物体沿倾角为θ的斜面滑至底端时的速度大小为v，此时支持力的瞬时功率为( )
A．mgv B．0
C．mgvcos θ D．mgvtan θ
解析：物体沿斜面滑至斜面底端时的速度方向沿斜面向下，与支持力夹角为90°，因而支持力的瞬时功率为0，选项B正确．
答案：B
3．放在地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间图像和拉力的功率与时间图像如图所示，则物体的质量为(g取10 m/s2)( )
A． kg B． kg
C． kg D． kg
解析：物体在前2 s内做匀加速直线运动，由P＝Fv,2 s末功率为30 W，速度为6 m/s，因此前2 s内拉力F1＝5 N；后4 s内做匀速直线运动，拉力的功率等于阻力的功率，拉力大小和阻力大小都是＝ N；再由前2 s内a＝3 m/s2，且F1－f＝ma得质量为 kg，选项B正确．
答案：B
4．机车以下列两种方式启动，且沿直线运动(设阻力不变)．方式①：机车以不变的额定功率启动；方式②：机车的启动功率先随速度均匀增加，后保持额定功率不变．如下图给出的四个图像中，能够正确反映机车的速度v随时间t变化的是 ( )
A．甲对应方式①，乙对应方式②
B．乙对应方式①，丙对应方式②
C．甲对应方式①，丙对应方式②
D．丙对应方式①，丁对应方式②
解析：对于方式①：机车以不变的额定功率启动，据P＝Fv可知，随着v的增大，F减小，又由a＝可知加速度减小，在vt图像上斜率减小，故①对应乙图；对于方式②：机车以速度均匀增加启动，即先保持牵引力不变，可知加速度不变，当达到额定功率后，牵引力减小，直至牵引力和阻力相等，最后匀速，故方式②对应丙图．
答案：B
5．某小区的业主在乘坐电梯从18楼由静止开始运动到1楼，电梯向下做加速运动，速度达到最大后向下做匀速运动，最后减速运动到1楼．则( )
A．电梯向下加速运动时，电梯对人做正功，电梯向下匀速运动时电梯对人不做功，电梯向下减速运动时，电梯对人做负功
B．电梯向下加速运动和向下匀速运动时，电梯对人做正功，电梯向下减速运动时，电梯对人做负功
C．电梯向下加速运动时，电梯对人做正功，电梯向下匀速运动和向下减速运动时，电梯对人做负功
D．整个运动过程中，电梯始终对人做负功
解析：力对物体做功的表达式为W＝Flcos α，0°≤α＜90°时，F做正功；α＝90°时，F不做功；90°＜α≤180°时，F做负功．电梯支持力始终竖直向上，与电梯的运动方向始终相反，α＝180°，则电梯对人的支持力始终对人做负功，选项D正确．
答案：D
6．(多选)关于力对物体做功，下列说法正确的是( )
A．一对作用力与反作用力，若作用力做正功，则反作用力一定做负功
B．若物体所受合外力不为零，则合外力一定对物体做功
C．静摩擦力可以对物体做正功
D．滑动摩擦力可以对物体做正功
解析：作用力做正功时，反作用力可能做正功，也可能做负功，甚至不做功，选项A错误．若合外力始终与运动方向垂直(如匀速圆周运动)，合外力不做功，选项B错误．无论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都是既可以做正功，也可以做负功，甚至不做功，选项C、D正确．
答案：CD
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．如图所示的水平传送装置，AB间距为l，传送带以v匀速运转．把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A到B的过程中，摩擦力对零件所做的功．
解析：零件与传送带之间摩擦力的大小为Ff＝μmg．
分两种情况进行讨论：
(1)零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v，零件在从A到B的过程中一直受摩擦力作用，则摩擦力对零件所做的功W＝Ffl＝μmgl
(2)零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v，零件只是在达到速度v之前的一段时间内受摩擦力的作用，此后零件与传送带以相同的速度v运动，零件就不受摩擦力的作用．
零件加速时的加速度大小为a＝μg
零件加速运动的位移为l′＝＝
则摩擦力对零件所做的功W′＝Ffl′＝μmg·＝mv2．
答案：mv2
8．如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝1×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2.当起重机输出功率达到其允许的最大值后，起重机保持该功率不变，最终重物以最大速度vmax＝1.02 m/s做匀速运动．求：(g取10 m/s2，不计额外功)
(1)起重机输出功率的最大允许值．
(2)重物维持匀加速直线运动所经历的时间．
解析：(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力，有
P0＝F0vmax①
F0＝mg②
代入数据，得P0＝1.02×104 W③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有P0＝Fv1④
F－mg＝ma⑤
v1＝at1⑥
把③④⑤⑥式代入数据得t1＝5 s．
答案：(1)1.02×104 W (2)5 s
B组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．汽车在拱桥上匀速率行驶，当汽车由拱桥的最高点A行驶到最低点B的过程中，下列说法不正确的是( )
A．支持力不做功 B．重力不做功
C．摩擦阻力做负功 D．牵引力做正功
解析：支持力与汽车的运动方向始终垂直，故不做功；在竖直方向上有位移且竖直向下，故重力做正功；摩擦阻力与汽车的运动方向相反，故做负功；牵引力与汽车的运动方向相同，故做正功，选项B符合题意．
答案：B
2．根据力对物体做功的条件，下列说法正确的是( )
A．工人扛着行李在水平路面上匀速前进时，工人对行李做正功
B．工人扛着行李从一楼走到三楼，工人对行李做正功
C．作用力与反作用力做的功大小相等，并且其代数和为0
D．在水平地面上拉着一物体运动一圈后又回到出发点，则由于物体位移为0，所以摩擦力不做功
解析：由于行李受力平衡，工人对行李的作用力竖直向上，与行李的运动方向始终垂直，故对行李不做功，选项A错误；工人对行李的作用力与行李的运动方向夹角为锐角，故对行李做正功，选项B正确；根据牛顿第三定律，作用力与反作用力大小相等，方向相反，但二者对不同的物体做功，两个受力物体的位移大小也不一定相等，选项C错误；摩擦力是变力，且总与物体相对地面的运动方向相反，因此当物体回到出发点后，虽然物体位移为0，但摩擦力仍对物体做了负功，选项D错误．
答案：B
3．如图所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多
B．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功少
C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多
D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多
解析：力一定，物体的位移一定，无论是否有摩擦，也不管物体做什么运动，力做的功都是一确定的值，选项D正确．
答案：D
4．(多选)某玩具加工厂为了测试玩具汽车的性能，通过遥控器控制使玩具车以大小恒定的速度爬上斜面，假设该玩具车的额定功率为P，斜面对玩具车的摩擦力大小为f.则下列说法正确的是( )
A．合外力对玩具车做功为零
B．当该玩具车沿斜面向上运动时，玩具车能达到的最大速度为vmax＝
C．当该玩具车沿斜面向上运动时，玩具车的摩擦力与重力对玩具车做负功
D．当玩具车的输出功率P保持不变，玩具车的速度变大时玩具车的牵引力减小
解析：对玩具车受力分析如图所示，因为玩具车恒定速度爬上斜面，所受合外力为零，对玩具车做功为零，选项A正确；由题设可知，玩具车爬上斜面的最大速度vmax＝，选项B错误；因为摩擦力和重力沿斜面向下的分力与玩具车运动的方向相反，故做负功，选项C正确；由P＝Fv可知，在输出功率恒定时玩具车速度与牵引力成反比，选项D正确．
答案：ACD
5．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．4 s末F的功率大小为42 W
C．F的大小为21 N
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
解析：由速度—时间图像可得加速度a＝0.5 m/s2，选项A错误；由牛顿第二定律2F－mg＝ma，F＝＝10.5 N，选项C错误；4 s末F的瞬时功率P＝F·2v＝10.5×2×2 W＝42 W，选项B正确；4 s内F的平均功率为＝＝＝ W＝21 W，选项D错误．
答案：B
6． (多选)一滑块放在斜面体上，二者在水平向左的外力作用下共同向左以恒定的加速度向左加速运动，如图所示．则关于外力对滑块的做功情况的说法正确的是( )
A．斜面体对滑块的支持力一定做正功
B．斜面体对滑块的摩擦力一定做正功
C．斜面体对滑块的摩擦力可能不做功
D．斜面体对滑块的摩擦力可能做负功
解析：本题的易错之处在于对摩擦力的方向与物体的运动方向把握不清．支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功，而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a＝gtan θ.当a＞gtan θ时，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a＜gtan θ时，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功．综上所述，选项B错误，选项A、C、D正确．
答案：ACD
二、非选择题(20分)
7．一辆电动自行车的铭牌上给出了如下技术指标：
规格 后轮驱动直流电机
车型 26型电动自行车
整车质量 30 kg
最大载重 120 kg
额定输出功率 120 W
额定电压 40 V
额定电流 3.5 A
质量M＝70 kg的人骑此电动自行车沿平直公路行驶，所受阻力F阻恒为车和人总重的2%，g取10 m/s2.则在电动自行车正常工作时，人骑车行驶的最大速度为多少？
解析：从电动自行车铭牌上获得的有用信息有：整车质量为30 kg，额定输出功率为120 W．分析知，若电动自行车在额定功率下行驶，当牵引力与阻力相等，即F＝F阻时速度达到最大值．
设电动自行车的质量为m，由题意知，地面对电动自行车的阻力F阻＝k(M＋m)g
当电动自行车达到最大速度时应有
P＝Fvmax＝k(M＋m)gvmax
解得vmax＝6 m/s．
答案：6 m/s
8．一建筑工地在建设一高楼时，利用升降机将建筑材料运到l＝15 m高的地方，已知建筑材料的质量为4×103 kg，所用的时间为t＝10 s，重力加速度g取10 m/s2．
(1)当以恒定的速度将建筑材料运到目的地时，升降机做功的平均功率是多少？
(2)当升降机在10 s的时间内由静止开始匀加速将建筑材料运到目的地时，升降机做功的平均功率是多少？
(3)由以上分析求出升降机额定功率应满足的条件．
解析：(1)建筑材料匀速上升时，升降机对建筑材料向上的拉力
F1＝mg＝4×104 N
拉力做的功W1＝F1l＝4×104×15 J＝6×105 J
升降机做功的平均功率P1＝＝6×104 W．
(2)建筑材料匀加速上升时，由运动学公式可得加速度
a＝＝ m/s2＝0.3 m/s2
升降机对建筑材料的拉力
F2＝m(g＋a)＝4×103×(10＋0.3)N＝4.12×104 N
拉力做的功W2＝F2l＝4.12×104×15 J＝6.18×105 J
升降机做功的平均功率P2＝＝6.18×104 W．
(3)额定功率应大于升降机正常工作时实际功率的最大值，也就是10 s末的实际功率
10 s末的速度v＝at＝0.3×10 m/s＝3 m/s
升降机的最大功率
Pmax＝F2v＝4.12×104×3 W＝1.236×105 W
所以该升降机的额定功率的最小值是1.236×105 W，则升降机的额定功率应大于等于1.236×105 W．
答案：(1)6×104 W (2)6.18×104 W (3)1.236×105 W培优作业(五)
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(多选)某同学在练习足球时，将足球朝竖直的墙壁踢出．假设足球的质量为m＝0.5 kg、足球与墙壁碰撞的瞬间速度大小为v＝5 m/s，如果以足球被踢出的速度方向为正，足球与墙壁碰后以等大的速度反弹．则( )
A．速度的变化量为－10 m/s
B．速度的变化量为10 m/s
C．动能的变化量为25 J
D．动能的变化量为0
2．关于对功和动能等关系的理解正确的是( )
A．所有外力做功的代数和为负值，物体的动能就减少
B．物体的动能保持不变，则该物体所受合力一定为零
C．如果一个物体所受的合力不为零，则合力对物体必做功，物体的动能一定要变化
D．只要物体克服阻力做功，它的动能就减少
3．对动能定理的理解正确的是( )
A．物体具有动能是由于力对物体做了功
B．物体的动能发生变化是由于力对物体做了功
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
4．如图所示，质量相同的可视为质点的甲、乙两小球，甲从竖直固定的1/4光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平，乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下．下列判断正确的是( )
A．两小球到达底端时速度相同
B．两小球由静止运动到底端的过程中重力做功不相同
C．两小球到达底端时动能相同
D．两小球到达底端时，甲小球重力做功的瞬时功率等于乙小球重力做功的瞬时功率
5．如图所示，一个小球质量为m，初始时静止在光滑的轨道上，现以水平力击打小球，使小球能够通过半径为R的竖直光滑轨道的最高点C，则水平力对小球所做的功至少为( )
A．mgR B．2mgR
C．2.5mgR D．3mgR
6．(多选)如图1所示一放在粗糙水平面上的滑块，在一水平向右的外力F作用下运动1 s，然后将外力撤走，滑块在摩擦力f的作用下运动3 s速度减为零，滑块在这段时间内的速度随时间变化的图像如图2所示．已知整个运动过程中外力F所做的功为W1，克服摩擦力所做的功为W2.则下列关系式正确的是( )
图1 图2
A．F∶f＝1∶3 B．F∶f＝4∶1
C．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．一列车的质量为5.0×105 kg，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW加速行驶，当速度由10 m/s加速到所能达到的最大速度30 m/s时，共用了2 min，则在这段时间内列车前进的距离是多少？
8．如图，与水平面夹角θ＝60°的斜面和半径R＝0.4 m的光滑圆轨道相切于B点，且固定于竖直平面内．滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零．已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，求：
(1)滑块在C点的速度大小vC；
(2)滑块在B点的速度大小vB；
(3)A、B两点间的高度差h．
B组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列叙述正确的是( )
A．做匀加速直线运动的物体，合外力对物体做功为零
B．竖直上抛的小球，小球的重力做功为零
C．在光滑的水平面上运动的物体，其支持力对物体做功为零
D．做匀速圆周运动的物体的向心力对物体做了功
2．一质量为m的滑块放在粗糙的水平面上，当滑块的初速度为v0时，滑块在水平面上滑动的最大距离为s0；现将滑块的质量和初速度都增大到原来的2倍，则该滑块在水平面上滑动的最大距离应为( )
A．s0 B．2s0
3．两滑块甲和乙放在粗糙的水平面上，给两滑块同方向的初速度，两滑块仅在滑动摩擦力的作用下运动，并作出两滑块的动能与滑行距离的变化规律图线，如图所示，已知两滑块的质量相同．则能正确地反应两滑块的速度随时间变化规律的图像是( )
4． (多选)如图所示为一长度为L的长木板放在光滑的水平面上，在长木板的最右端放置一可视为质点的小铁块，对长木板施加一水平向右的恒力，当小铁块运动到长木板的最左端时，小铁块与长木板将要分离．已知长木板的质量为M、小铁块的质量为m，恒力的大小为F，小铁块与长木板之间的动摩擦因数为μ，小铁块与长木板分离时二者速度大小分别为v1、v2，上述过程小铁块与长木板的位移大小分别为x1、x2.则下列正确的是( )
A．μmgx1＝mv B．Fx2－μmgx2＝Mv
C．μmgL＝mv D．Fx2－μmgx2＋μmgx1＝Mv＋mv
5．(多选)一辆卡车在一平直的公路上行驶，其速度为v0，从某时刻开始该卡车保持额定功率P不变，卡车经过时间t前进的距离为s时，该卡车的速度达到最大值vmax.已知卡车在整个运动过程中所受的摩擦力恒为F.则该过程中卡车的牵引力做功( )
A．Fvmaxt B．Pt
C．mv＋Fs－mv D．Ft
6．(多选)如图所示为一长度为L、倾角为α的斜面体，现有一质量为m的物体由斜面体的顶端沿斜面无初速下滑，物体运动到斜面体底端时的速度大小为2v0.整个运动过程中斜面体对物体的摩擦力大小恒定，重力加速度为g.则( )
A．如果物体在斜面体的顶端以v0的初速度滑下，则物体到达底端时的速率为3v0
B．如果物体在斜面体的顶端以v0的初速度滑下，则物体到达底端时的速率为v0
C．斜面体对物体的摩擦力大小为mgsin α－2
D．物体在运动过程中重力的最大功率为2mgv0
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．高山滑雪项目已是现代冬奥会的比赛项目之一．如图所示为一比赛场地的轨道，其中O处为一小段水平的轨道．一运动员和雪橇的总质量为m＝60 kg，从M点由静止开始下滑，已知M点与O点的竖直距离为25 m，该运动员经过O点后立即做平抛运动，最终落在倾角为θ＝37°的轨道上的N点，已知ON＝75 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，空气阻力可忽略．求：
(1)该运动员离开O点瞬间的速度大小．
(2)该运动员在轨道上滑行时克服摩擦力所做的功．
8．某人在水平地面上将一质量为m的小球以v0的初速度竖直向上掷出，经过一段时间小球回到出发点，小球此时的速度大小为v0，如果小球在运动过程中空气的阻力大小恒定，重力加速度为g．
(1)求空气阻力的大小．
(2)如果将小球的初速度大小变为2v0，求小球的最高点距离水平地面的高度．
(3)如果忽略小球与水平地面碰撞过程损失的能量，求从抛出到停止的过程中小球通过的路程．
培优作业(五)
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(多选)某同学在练习足球时，将足球朝竖直的墙壁踢出．假设足球的质量为m＝0.5 kg、足球与墙壁碰撞的瞬间速度大小为v＝5 m/s，如果以足球被踢出的速度方向为正，足球与墙壁碰后以等大的速度反弹．则( )
A．速度的变化量为－10 m/s
B．速度的变化量为10 m/s
C．动能的变化量为25 J
D．动能的变化量为0
解析：速度的变化量为矢量Δv＝－v－v＝(－5－5)m/s＝－10 m/s，选项A正确，选项B错误；动能的变化量为标量ΔEk＝mv2－mv2＝0，选项C错误，选项D正确．
答案：AD
2．关于对功和动能等关系的理解正确的是( )
A．所有外力做功的代数和为负值，物体的动能就减少
B．物体的动能保持不变，则该物体所受合力一定为零
C．如果一个物体所受的合力不为零，则合力对物体必做功，物体的动能一定要变化
D．只要物体克服阻力做功，它的动能就减少
解析：合力做负功，则动能的变化为负值，物体的动能就减少，选项A正确；物体的动能保持不变，说明合力对物体所做的功为零，但合外力不一定为零，选项B错误；由功的公式W＝Flcos α知，合力不为零，但若α＝90°，合力的功也为零，选项C错误；物体动能的变化量取决于合外力对物体做的总功，有动力对物体做功或物体克服阻力做功时，合外力做的总功的正负不能确定，所以动能的增减无法确定，选项D错误．
答案：A
3．对动能定理的理解正确的是( )
A．物体具有动能是由于力对物体做了功
B．物体的动能发生变化是由于力对物体做了功
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
解析：功是能量发生变化的原因，功是能量转化的量度．所以物体的动能发生变化是由于合外力对物体做了功，且合外力做的功等于物体动能的变化，选项A错误，选项B正确．动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况，选项C错误．外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，选项D错误．
答案：B
4．如图所示，质量相同的可视为质点的甲、乙两小球，甲从竖直固定的1/4光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平，乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下．下列判断正确的是( )
A．两小球到达底端时速度相同
B．两小球由静止运动到底端的过程中重力做功不相同
C．两小球到达底端时动能相同
D．两小球到达底端时，甲小球重力做功的瞬时功率等于乙小球重力做功的瞬时功率
解析：A、根据动能定理得，mgR＝mv2，知v＝两物块达到底端时的速度大小相等，但是速度的方向不同，速度不同．故A错误．B、两物块运动到底端的过程中，下落的高度相同，由WG＝mgh＝mgR，由于质量m相同，则重力做功相同．故B错误．C、两小球到达底端时动能mv2＝mgR，m相同，则动能相同，故C正确．D、两物块到达底端的速度大小相等，甲球重力与速度方向垂直，瞬时功率为零，而乙球重力做功的瞬时功率不为零，则甲球重力做功的瞬时功率小于乙球重力做功的瞬时功率．故D错误．故选C．
答案：C
5．如图所示，一个小球质量为m，初始时静止在光滑的轨道上，现以水平力击打小球，使小球能够通过半径为R的竖直光滑轨道的最高点C，则水平力对小球所做的功至少为( )
A．mgR B．2mgR
C．2.5mgR D．3mgR
解析：要通过竖直光滑轨道的最高点C，在C点有重力提供向心力mg＝，对小球，由动能定理，W－mg2R＝mv2，联立解得W＝2.5mgR，选项C正确．
答案：C
6．(多选)如图1所示一放在粗糙水平面上的滑块，在一水平向右的外力F作用下运动1 s，然后将外力撤走，滑块在摩擦力f的作用下运动3 s速度减为零，滑块在这段时间内的速度随时间变化的图像如图2所示．已知整个运动过程中外力F所做的功为W1，克服摩擦力所做的功为W2.则下列关系式正确的是( )
图1 图2
A．F∶f＝1∶3 B．F∶f＝4∶1
C．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3
解析：全过程初、末状态的动能都为零，对全过程应用动能定理得W1－W2＝0 ①，即W1＝W2，选项C正确，选项D错误；设滑块在0～1 s内和1～4 s内运动的位移大小分别为s1、s2，则W1＝Fs1 ②，W2＝f(s1＋s2) ③，在题中vt图像中，图像与时间轴包围的面积表示位移，由该图可知，s2＝3s1 ④，由②③④式解得F∶f＝4∶1，选项B正确，选项A错误．
答案：BC
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．一列车的质量为5.0×105 kg，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW加速行驶，当速度由10 m/s加速到所能达到的最大速度30 m/s时，共用了2 min，则在这段时间内列车前进的距离是多少？
解析：列车速度最大时做匀速运动，则有
F阻＝F牵＝＝ N＝1×105 N
对列车速度由10 m/s至30 m/s的过程用动能定理得
Pt－F阻x＝mv－mv
代入数据解得x＝1 600 m．
答案：1 600 m
8．如图，与水平面夹角θ＝60°的斜面和半径R＝0.4 m的光滑圆轨道相切于B点，且固定于竖直平面内．滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零．已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，求：
(1)滑块在C点的速度大小vC；
(2)滑块在B点的速度大小vB；
(3)A、B两点间的高度差h．
解析：(1)由题意得滑块通过最高点C时重力提供向心力：mg＝m，则：vC＝＝2 m/s；
(2)由B→C，根据动能定理得：－mgR(1＋cos 60°)＝mv－mv，解得：vB＝4 m/s；
(3)由A→B，根据功能定理得：mgh－μmgcos 60°＝mv－0
解得：h＝m．
答案：(1)2 m/s (2)4 m/s (3)m
B组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列叙述正确的是( )
A．做匀加速直线运动的物体，合外力对物体做功为零
B．竖直上抛的小球，小球的重力做功为零
C．在光滑的水平面上运动的物体，其支持力对物体做功为零
D．做匀速圆周运动的物体的向心力对物体做了功
解析：物体在水平面上做匀加速直线运动，速度增加，动能增加，合外力做功不为零，选项A错误；竖直上抛的小球，重力先做负功后做正功，选项B错误；物体在水平面上运动时，水平地面对物体有支持力，物体也发生了位移，但支持力方向与物体运动方向垂直，即在力的方向上没有发生位移，所以支持力不做功，选项C正确；由于做匀速圆周运动的物体所受的向心力与物体的运动方向始终垂直，因此向心力不做功，选项D错误．
答案：C
2．一质量为m的滑块放在粗糙的水平面上，当滑块的初速度为v0时，滑块在水平面上滑动的最大距离为s0；现将滑块的质量和初速度都增大到原来的2倍，则该滑块在水平面上滑动的最大距离应为( )
A．s0 B．2s0
C．4s0 D．8s0
解析：根据动能定理得－μmgs0＝0－mv，当滑块的质量和初速度都增大到原来的2倍时，－μ·2mgs＝0－·2m(2v0)2，由以上两武解得s＝4s0，选项C正确．
答案：C
3．两滑块甲和乙放在粗糙的水平面上，给两滑块同方向的初速度，两滑块仅在滑动摩擦力的作用下运动，并作出两滑块的动能与滑行距离的变化规律图线，如图所示，已知两滑块的质量相同．则能正确地反应两滑块的速度随时间变化规律的图像是( )
解析：对两滑块根据动能定理－fx＝Ek－Ek0，所以Ek＝－fx＋Ek0，由此表达式可知题中图线的斜率表达的是物体运动过程中所受的摩擦力，由Ek x图线可判断甲、乙两滑块所受摩擦力相等，所以两滑块均以相同的加速度做匀减速运动，选项D正确．
答案：D
4． (多选)如图所示为一长度为L的长木板放在光滑的水平面上，在长木板的最右端放置一可视为质点的小铁块，对长木板施加一水平向右的恒力，当小铁块运动到长木板的最左端时，小铁块与长木板将要分离．已知长木板的质量为M、小铁块的质量为m，恒力的大小为F，小铁块与长木板之间的动摩擦因数为μ，小铁块与长木板分离时二者速度大小分别为v1、v2，上述过程小铁块与长木板的位移大小分别为x1、x2.则下列正确的是( )
A．μmgx1＝mv B．Fx2－μmgx2＝Mv
C．μmgL＝mv D．Fx2－μmgx2＋μmgx1＝Mv＋mv
解析：小铁块在摩擦力作用下前进的距离为x1，故对于小铁块μmgx1＝mv，选项A正确，选项C错误；长木板前进的距离为x2，对于长木板Fx2－μmgx2＝Mv，选项B正确；由以上两式得Fx2－μmgx2＋μmgx1＝Mv＋mv，选项D正确．
答案：ABD
5．(多选)一辆卡车在一平直的公路上行驶，其速度为v0，从某时刻开始该卡车保持额定功率P不变，卡车经过时间t前进的距离为s时，该卡车的速度达到最大值vmax.已知卡车在整个运动过程中所受的摩擦力恒为F.则该过程中卡车的牵引力做功( )
A．Fvmaxt B．Pt
C．mv＋Fs－mv D．Ft
解析：汽车在恒定功率作用下是做变牵引力的变加速运动，所以发动机做功为变力做功，根据P＝可求W＝Pt，而P＝Fvmax，所以W＝Fvmaxt，选项A、B正确，选项D错误；根据动能定理W－Fs＝mv－mv，所以W＝mv＋Fs－mv，选项C正确．
答案：ABC
6．(多选)如图所示为一长度为L、倾角为α的斜面体，现有一质量为m的物体由斜面体的顶端沿斜面无初速下滑，物体运动到斜面体底端时的速度大小为2v0.整个运动过程中斜面体对物体的摩擦力大小恒定，重力加速度为g.则( )
A．如果物体在斜面体的顶端以v0的初速度滑下，则物体到达底端时的速率为3v0
B．如果物体在斜面体的顶端以v0的初速度滑下，则物体到达底端时的速率为v0
C．斜面体对物体的摩擦力大小为mgsin α－2
D．物体在运动过程中重力的最大功率为2mgv0
解析：对物体进行受力分析，受重力、支持力和摩擦力的作用，根据匀变速直线运动的规律有(2v0)2－0＝2aL，v－v＝2aL，可解得v1＝v0，选项A错误，选项B正确；根据动能定理有mgLsin α－fL＝m(2v0)2，可解得f＝mgsin α－2，选项C正确；当物体运动到斜面体底端时的速度最大，重力的功率最大，为Pm＝2mgv0sin α，选项D错误．
答案：BC
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．高山滑雪项目已是现代冬奥会的比赛项目之一．如图所示为一比赛场地的轨道，其中O处为一小段水平的轨道．一运动员和雪橇的总质量为m＝60 kg，从M点由静止开始下滑，已知M点与O点的竖直距离为25 m，该运动员经过O点后立即做平抛运动，最终落在倾角为θ＝37°的轨道上的N点，已知ON＝75 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，空气阻力可忽略．求：
(1)该运动员离开O点瞬间的速度大小．
(2)该运动员在轨道上滑行时克服摩擦力所做的功．
解析：(1)设由O点到N点平抛运动的时间为t
竖直方向：hON＝LONsin 37°＝gt2
水平方向：LONcos 37°＝v0t
代入数据得v0＝20 m/s．
(2)由M点运动到O点的过程中，由动能定理得
mghMO＋Wf＝mv
代入数据解得Wf＝－3 000 J，运动员克服摩擦力所做的功为3 000 J．
答案：(1)20 m/s (2)3 000 J
8．某人在水平地面上将一质量为m的小球以v0的初速度竖直向上掷出，经过一段时间小球回到出发点，小球此时的速度大小为v0，如果小球在运动过程中空气的阻力大小恒定，重力加速度为g．
(1)求空气阻力的大小．
(2)如果将小球的初速度大小变为2v0，求小球的最高点距离水平地面的高度．
(3)如果忽略小球与水平地面碰撞过程损失的能量，求从抛出到停止的过程中小球通过的路程．
解析： (1)设小球到达的最大高度为h，受空气阻力为f，则由动能定理得
上升阶段：－mgh－fh＝0－mv ①
下降阶段：mgh－fh＝m2－0 ②
由①②式解得＝所以空气阻力的大小为f＝mg．
(2)设上升的最大高度为h′，则由动能定理得
－mgh′－fh′＝0－m(2v0)2
将f＝mg代入上式得h′＝．
(3)设小球从抛出到停止时运动的总路程为x，则由动能定理得
－fx＝0－mv
解得x＝＝．
答案：(1)mg (2) (3)培优作业(六) 机械能守恒定律的应用
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．以水平面为零势能面，小球水平抛出时重力势能等于动能的2倍，那么在抛体运动过程中，当其动能和势能相等时，水平速度和竖直速度之比为( )
A．∶1 B．1∶1
C．1∶ D．∶1
2．如图，从竖直面上大圆(直径为d)的最高点A，引出两条不同的光滑轨道，端点都在大圆上，同一物体由静止开始，从A点分别沿两条轨道滑到底端，则( )
A．所用的时间相同 B．重力做功都相同
C．机械能不相同 D．到达底端的动能相等
3．(多选)如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的竖直轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h.如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是( )
4．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．
C． D．
5．如图所示，滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下，当滑到最低点时，关于滑块的动能大小和对轨道的压力，下列说法正确的是( )
A．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大
B．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关
C．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越小
D．轨道半径变化时，滑块动能和对轨道的压力都不变
6．如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动．要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为( )
A． B．
C． D．
二、非选择题(20分)
7．如图所示，光滑轨道顶端高为h，底端通过小段圆弧与半径为R的光滑圆形轨道连接，整个轨道和斜面都在竖直平面内．一个小球从顶端A处由静止释放，通过圆轨道最高点时，对轨道的压力大小等于重力，则斜面高h应该是R的多少倍？
B组 (25分钟 50分)
计算题(每小题10分，共50分)
1．如图所示，小球质量为m，大小不计，右边圆轨道半径为R，小球从h＝3R处沿斜面滑下后，又沿圆轨道滑到最高点P处，不计任何摩擦．
求：
(1)小球通过P点的速度大小．
(2)小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力．
2．如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上．已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s．
(2)小物块落地时的动能Ek．
(3)小物块的初速度大小v0．
3．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B．
(1)小球到达B点时的速率为多大？
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多大？
(3)若初速度v0＝3，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？
4．如图所示，A物体用板托着，位于离地h＝1.0 m处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg.现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：
(1)A落地前瞬间的速度大小为多少？
(2)B物体在上升过程中离地的最大高度为多大？
5．如图所示，斜面ABC下端与光滑的圆弧轨道CDE相切于C，整个装置竖直固定，D是最低点，圆心角∠DOC＝37°，E、B与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝0.30 m，斜面长L＝1.90 m，AB部分光滑，BC部分粗糙．现有一个质量m＝0.10 kg的小物块P从斜面上端A点无初速下滑，物块P与斜面BC部分之间的动摩擦因数μ＝0.75.取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求：
(1)物块第一次通过C点时的速度大小vC；
(2)物块第一次通过D点时受到轨道的支持力大小N；
(3)物块最终所处的位置．
答案：
培优作业(六) 机械能守恒定律的应用
A组 (15分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．以水平面为零势能面，小球水平抛出时重力势能等于动能的2倍，那么在抛体运动过程中，当其动能和势能相等时，水平速度和竖直速度之比为( )
A．∶1 B．1∶1
C．1∶ D．∶1
解析：开始抛出时：mgh＝2·mv，当动能和势能相等时：mgh1＝mv2，此时小球的竖直速度vy＝＝＝，解得＝，故选项D正确．
答案：D
2．如图，从竖直面上大圆(直径为d)的最高点A，引出两条不同的光滑轨道，端点都在大圆上，同一物体由静止开始，从A点分别沿两条轨道滑到底端，则( )
A．所用的时间相同 B．重力做功都相同
C．机械能不相同 D．到达底端的动能相等
解析：由机械能守恒定律及重力做功的特点知B、C、D错误．由等时圆的特点知A正确．
答案：A
3．(多选)如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的竖直轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h.如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是( )
解析：A图中小球沿轨道上滑直到速度为零，由于机械能守恒，因此小球能上升到h高度，选项A正确；B图中，小球到达轨道顶端后离开轨道做斜上抛运动，到达抛物线最高点时速度不为零，因此动能不为零，则小球不能上升到h高度，选项B错误；C图中小球沿竖直管向上运动，直到速度减小到零，小球可上升到h高度，选项C正确；D图中小球进入圆轨道后做圆周运动，能达到最高点的条件是在最高点时重力等于向心力，即mg＝m，动能不能为零，所以选项D错误．
答案：AC
4．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．
C． D．
解析：运用机械能守恒定律，当A下落到地面前，对AB整体有2mgR－mgR＝·2mv2＋mv2，所以mv2＝mgR，即A落地后B还能再升高，上升的最大高度为R，故选项C正确，选项A、B、D错误．
答案：C
5．如图所示，滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下，当滑到最低点时，关于滑块的动能大小和对轨道的压力，下列说法正确的是( )
A．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大
B．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关
C．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越小
D．轨道半径变化时，滑块动能和对轨道的压力都不变
解析：轨道半径越大，滑块转化为动能的重力势能就越大，故动能越大，由机械能守恒定律得，mgR＝mv2，滑块对轨道的压力N＝mg＋＝3mg，与半径的大小无关，选项B正确．
答案：B
6．如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动．要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为( )
A． B．
C． D．
解析：小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg＝m.小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，设小车在A处获得的最小初速度为vA，由机械能守恒定律得mv＝mgr＋mv2，解得vA＝.故选项C正确．
答案：C
二、非选择题(20分)
7．如图所示，光滑轨道顶端高为h，底端通过小段圆弧与半径为R的光滑圆形轨道连接，整个轨道和斜面都在竖直平面内．一个小球从顶端A处由静止释放，通过圆轨道最高点时，对轨道的压力大小等于重力，则斜面高h应该是R的多少倍？
解析：设小球的质量为m，由题意知在最高点B处有
2mg＝m，得vB＝①
小球运动过程机械能守恒，有
mgh＝mg·2R＋mv②
联立①②式解得h＝3R．
答案：3倍
B组 (25分钟 50分)
计算题(每小题10分，共50分)
1．如图所示，小球质量为m，大小不计，右边圆轨道半径为R，小球从h＝3R处沿斜面滑下后，又沿圆轨道滑到最高点P处，不计任何摩擦．
求：
(1)小球通过P点的速度大小．
(2)小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力．
解析：(1)根据机械能守恒定律：
mg(h－2R)＝mv
解得小球通过P点的速度v1＝
(2)设小球通过最低点的速度为v2
根据机械能守恒定律mgh＝mv
根据牛顿第二定律FN－mg＝m
解得FN＝7mg，故小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg，方向竖直向下．
答案：(1) (2)7mg 竖直向下
2．如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上．已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s．
(2)小物块落地时的动能Ek．
(3)小物块的初速度大小v0．
解析：(1)小物块飞离桌面后做平抛运动，根据平抛运动规律，有竖直方向：h＝gt2
水平方向：s＝vt
解得水平距离s＝v＝0.90 m．
(2)小物块从飞离桌面到落地的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律可得小物块落地时的动能为
Ek＝mv2＋mgh＝0.90 J．
(3)小物块在桌面上运动的过程中，根据动能定理，有
－μmg·l＝mv2－mv
解得小物块的初速度大小v0＝＝4.0 m/s．
答案：(1)0.90 m (2)0.90 J (3)4.0 m/s
3．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B．
(1)小球到达B点时的速率为多大？
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多大？
(3)若初速度v0＝3，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？
解析：(1)小球恰能到达最高点B，有
mg＝m，得vB＝．
(2)由A到B根据机械能守恒定律
mv＝mg＋mv
解得v0＝
(3)当v0＝3时，在小球从A到B的过程中由动能定理得
－mg－Wf＝mv－mv
可求出Wf＝mgL．
答案：(1) (2) (3)mgL
4．如图所示，A物体用板托着，位于离地h＝1.0 m处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg.现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：
(1)A落地前瞬间的速度大小为多少？
(2)B物体在上升过程中离地的最大高度为多大？
解析：(1)A落地时，A、B系统重力势能的减少量
ΔEp减＝Mgh－mgh
系统动能的增加量
ΔEk增＝(M＋m)v2
根据系统机械能守恒有
Mgh－mgh＝(M＋m)v2
故A落地时，A、B物体的瞬时速度v＝2 m/s．
(2)A落地后，B物体上升过程机械能守恒，设上升h′后速度变为零，取地面为参考平面
故mgh＋mv2＝mg(h＋h′)
所以h′＝0.2 m
故B物体离地面的最大高度为h＋h′＝1.2 m．
答案：(1)2 m/s (2)1.2 m
5．如图所示，斜面ABC下端与光滑的圆弧轨道CDE相切于C，整个装置竖直固定，D是最低点，圆心角∠DOC＝37°，E、B与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝0.30 m，斜面长L＝1.90 m，AB部分光滑，BC部分粗糙．现有一个质量m＝0.10 kg的小物块P从斜面上端A点无初速下滑，物块P与斜面BC部分之间的动摩擦因数μ＝0.75.取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求：
(1)物块第一次通过C点时的速度大小vC；
(2)物块第一次通过D点时受到轨道的支持力大小N；
(3)物块最终所处的位置．
解析：(1)根据几何关系得，斜面BC部分的长度为：l＝0.40 m
设物块第一次通过B点时的速度为vB，根据动能定理有：mg(L－l)sin 37°＝mv－0
代入数据得：vB＝3 m/s
物块在BC部分滑动受到的摩擦力大小为：f＝μmgcos 37°＝0.60N
在BC部分下滑过程受到的合力为：F＝mgsin 37°－f＝0
则物块第一次通过C点时的速度为：vC＝vB＝3 m/s
(2)设物块第一次通过D点时的速度为vD，根据动能定理：
mgR(1－cos 37°)＝mv－mv
在D点由牛顿第二定律得：FD－mg＝m
联立解得：FD＝7.4N
(3)物块每通过一次BC部分减小的机械能为：ΔE＝fl＝0.24J
物块在B点的动能为：EkB＝mv＝0.9J
物块能经过BC部分的次数为：n＝＝＝3.75
设物块第四次从下端进入BC部分后最终在距离C点x处于静止，则有：
mg(L－x)sin 37°－f(3l＋x)＝0
解得：x＝0.35 m
答案：(1)4.2 m/s (2)7.4N (3)距离C点0.35 m处静止