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第二章 匀速圆周运动
第1节 圆周运动
1．理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算．
2．知道线速度与角速度的关系，知道线速度与周期、角速度与周期的关系．
3．理解匀速圆周运动的概念和特点．
一、形形色色的圆周运动
1．观察教材图2－1－1中的各种运动；物体的运动轨迹有什么共同点？什么是圆周运动，你能举出生活中的一些例子吗？
提示：物体的运动轨迹都是圆．轨迹是圆的运动叫圆周运动．
2．归纳总结
(1)圆周运动是_____运动，速度方向时刻_______
(2)圆周运动是_____运动．
3．如何比较不同物体做圆周运动的快慢？你能提出哪些方案？
提示：比较物体在一段时间内通过的圆弧的大小．
比较物体在一段时间内半径转过的角度．
比较物体转过一圈所用的时间．
比较物体在一段时间内转过的圈数．
曲线
改变．
变速
弧长
弧长
时间
运动
相切
垂直．
3．匀速圆周运动
(1)线速度：沿着圆周，并且线速度大小__________的运动．
(2)性质：线速度的方向是时刻_____的，所以是一种_____运动．
4．思考：匀速圆周运动是否为匀速运动？为什么？这里的“匀速”是什么意思？
提示：匀速圆周运动不是匀速运动，因为匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率保持不变．
处处相等
改变
变速
5．角速度、周期和转速
(1)角速度
①定义：做圆周运动的物体，半径转过的_____与所用_____的比值．
②定义式：ω＝_____．
③单位：__________，符号为_____或__________．
④物理意义：描述圆周运动的物体与圆心连线扫过_____快慢的物理量．
角度
时间
弧度每秒
rad/s
rad·s－1
角度
(2)周期：做匀速圆周运动的物体，转过_____所用的时间，用T表示，单位是_____
(3)转速：物体单位时间内转过的_____，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)．
(4)思考：有人说，匀速圆周运动是线速度不变的运动，也是角速度不变的运动，这两种说法正确吗？为什么？
提示：匀速圆周运动的线速度是变化的，但角速度不变．
一周
s
圈数
三、线速度、角速度和周期之间的关系
1．线速度与周期的关系v＝_____．
2．角速度与周期的关系ω＝_____．
3．线速度与角速度的关系：v＝_____．
ωr
线速度、角速度、周期都是用来描绘圆周运动快慢的物理量，它们的物理含义不同，但彼此间却相互联系．
请结合所学的知识讨论下列问题：
(1)线速度与周期、频率及转速的关系是什么？
探究一 描述圆周运动的物理量
(2)角速度与周期、频率及转速的关系是什么？
做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求该物体做圆周运动时，
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
1．关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
1．如图为两种传动装置的模型图．
探究二 两种传动方式
试根据模型图讨论以下问题：
(1)甲图为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度及角速度关系．
提示：皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又v＝rω，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小．
(2)乙图为同轴传动装置，试分析A、C两点的角速度及线速度关系．
提示：同轴传动时，在相同的时间内，A、C两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝rω，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大．
2．地球上的物体随着地球一起绕地轴自转．地球上不同纬度的物体的周期一样吗？角速度一样吗？线速度大小一样吗？
提示：周期、角速度一样；线速度不一样．
(多选)如图所示为一不打滑的皮带传动装置，a、b分别是两轮边缘上的两点，c处在O1轮上，且有ra＝2rb＝2rc，则下列关系正确的是( )
A．va＝vb
B．ωa＝ωb
C．va＝vc
D．ωa＝ωc
解析：
答案：AD
2．半径为r和R的圆柱体靠摩擦传动，已知R＝2r，A、B分别在大小圆柱的边缘上，O2C＝r，如图所示．若两圆柱之间没有打滑现象，则vA∶vB∶vC＝________，ωA∶ωB∶ωC＝________．
答案：2∶2∶1 2∶1∶1
一、线速度v、角速度ω、周期T和转速n
1．这些概念都是用来描述质点做圆周运动快慢的，但它们描述的角度不同．
(1)线速度v描述质点运动的快慢．
(2)角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢．
二、传动装置及应用
三种常见传动装置的特点
活页作业(四)
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第二章 匀速圆周运动
第2节 匀速圆周运动的
向心力和向心加速度
1．理解向心力概念，掌握向心力的表达式．
2．知道向心力大小与哪些因素有关，并会计算简单情景中的向心力．
3．知道向心力是根据力的效果命名的，会分析向心力的来源．
4．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式．
5．能够用向心加速度公式求解有关问题．
一、什么是向心力
阅读教材“思考与讨论”部分，回答下列问题．
1．光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动时，小球受到几个力的作用？这几个力的合力沿着什么方向？
提示：小球受重力、支持和拉力三个力的作用；合力沿细线指向圆心．
2．地球绕太阳做匀速圆周运动(近似)时，地球受到什么力的作用？这个力可能沿着什么方向？
提示：地球受太阳的引力，可能沿半径指向太阳．
3．向心力
(1)定义：做匀速圆周运动的物体受到__________的合力．
(2)方向：始终指向________
(3)向心力的来源
①向心力是根据力的作用效果命名的，使物体受到___________的合力称作向心力．
②匀速圆周运动中向心力可能是物体所受力的______，也可能是某个力的分力．
指向圆心
圆心．
指向圆心
合力
二、向心力的大小：F＝______或F＝______
思考：如图甲所示，小球在绳子的拉力作用下在光滑水平面上做匀速圆周运动．
如图乙所示，在圆盘上放一个小物块，使小物块随圆盘一起做匀速圆周运动．
如图丙所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动．
mω2r
试结合上述三种情景，讨论下列问题：
(1)图甲中，小球受几个力？向心力由谁提供？
提示：三个力，绳子的拉力
(2)图乙中，物块所受的静摩擦力方向如何判定？
提示：沿半径指向圆心
(3)图丙中，物体受几个力作用？向心力由什么力提供？
提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力．物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力提供．
三、向心加速度
1．向心加速度
(1)大小：①____________；②__________．
(2)方向：沿半径方向指向______与线速度方向______
an＝ω2r
圆心
垂直．
(2)对于一般的曲线运动，能否采用圆周运动的分析方法处理？
1．什么是向心力？向心力的方向如何描述？
提示：沿半径指向圆心的力叫向心力．其方向沿半径指向圆心．
2．根据牛顿第二定律，如何来描述向心力的表达式？
探究一 向心力的特点及来源
下列关于向心力的说法正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变做圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
解析：力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，故选项A错误．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体速度的大小，故选项B正确．物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故选项C错误．只有在匀速圆周运动中，合力提供向心力，而在非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合力，而是合力指向圆心的分力提供向心力，故选项D错误．
答案：B
【题后总结】 向心力与合外力判断方法
(1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
(2)对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力，对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力．
1．如图所示，有一个以角速度ω旋转的圆锥摆，则
(1)小球受到的力是( )
A．重力
B．向心力
C．重力和弹力
D．重力、弹力和向心力
(2)小球做匀速圆周运动的向心力是( )
A．重力 B．弹力
C．重力和弹力的合力 D．平衡力
(3)小球所受向心力等于( )
A．mg＋F B．mgcos θ
C．Mgsin θ D．mgtan θ
答案：(1)C (2)C (3)D
用细绳拉着两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图所示，A运动的半径比B的大，则( )
A．A受到的向心力比B的大
B．B受到的向心力比A的大
C．A的角速度比B的大
D．B的角速度比A的大
答案：A
【题后总结】 物体做匀速圆周运动时，计算向心力大小的公式有很多，具体用哪一个，可根据题目所涉及的物理量进行确定．做题时要根据已知条件，灵活地选择适当的公式进行求解．
1．匀速圆周运动是匀变速曲线运动吗？
提示：不是．其加速度的方向始终沿半径指向圆心．
探究二 匀速圆周运动的特点及性质
下列关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
解析：向心加速度的方向时刻指向圆心，线速度的方向时刻沿圆周的切线方向，故向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，选项A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故选项B、C、D错误．
答案：A
【题后总结】 向心加速度的方向始终指向圆心，所以它是变量．
3．物体做匀速圆周运动过程中，其向心加速度( )
A．大小、方向均保持不变
B．大小、方向均时刻改变
C．大小时刻改变、方向保持不变
D．大小保持不变、方向时刻改变
探究三 匀速圆周运动的问题分析
求：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
【题后总结】 分析匀速圆周运动的思路和方法
(1)指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力，而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础．
解决方法就是解决动力学问题的一般方法．
(2)一般步骤：
①明确研究对象并对其进行受力分析．
②明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置，进一步求出物体所受的合力或向心力．
③由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式列方程．
④求解或分析讨论．
(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω0；
(2)若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的取值范围．
2．方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
3．向心力的作用效果：由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变速度的大小，只改变线速度的方向．
4．向心力的来源：物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的合力提供．
二、对匀速圆周运动的进一步理解
1．运动特点
(1)线速度大小不变、方向时刻在改变．
(2)角速度、周期、频率都恒定不变．
(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变．
(4)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期，运动物体都要重新回到原来的位置，其运动状态(如v、a的大小、方向)也要重复原来的情况．
2．受力特点
(1)合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
(2)匀速圆周运动只存在向心加速度，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力．(F合＝F向)
3．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
三、对向心加速度的理解
1．物理意义：描述做匀速圆周运动的物体的线速度改变的快慢．
2．方向：做匀速圆周运动的物体，其速度的大小(速率)不变，方向不断改变，所以加速度a没有与v同方向的分量，它必然沿半径方向指向圆心，故称之为向心加速度．
3．圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”．
四、对向心加速度公式的理解
1．不同形式的各种表达式
2．理解向心加速度
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增加或周期的减小而增大．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．an与r的关系图像，如图所示．
活页作业(五)
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第二章 匀速圆周运动
第3节 圆周运动的实例分析
1．学会分析圆周运动的方法，会分析弯道、拱形桥等实际的例子．
2．知道什么是离心现象，知道物体做离心运动的条件．
一、汽车过拱形桥
1．拱形桥
mg－FN
FN－mg
越小
越大
2．思考：如图甲、乙为汽车在凸形桥、凹形桥上行驶的示意图，汽车在拱形桥上行驶时可以看作圆周运动．
试根据上述情景讨论以下问题：
(1)当汽车行驶到凸形桥的桥顶时，向心力由什么力提供？汽车对桥面的压力有什么特点？
(2)汽车对桥面的压力与车速有什么关系？试分析汽车在桥顶行驶的最大速度．
(3)当汽车行驶到凹形桥的最底端时，向心力由什么力提供？汽车对桥面的压力有什么特点？
(1)小铁球做匀速圆周运动时向心力的大小．
(2)小铁球做匀速圆周运动时的角速度．
(3)小铁球做匀速圆周运动时的线速度．
(4)小球运动的周期．
三、火车转弯
1．铁路的弯道
(1)运动特点：火车在弯道上运动时可看作圆周运动，因而具有____________，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
(2)轨道设计：转弯处外轨略____ (选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向是______________，它与重力的合力指向______，为火车转弯提供一部分向心力．
(3)向心力的来源：依据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由____和________的合力来提供．
向心加速度
高
垂直轨道向上
圆心
重力
支持力
2．思考：如图为正在转弯的火车，可认为火车转弯时，实际是在做圆周运动，因而需要向心力，试分析讨论以下问题：
(1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点．
提示：如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯
提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压．
四、离心运动
1．离心运动
(1)定义：物体沿切线飞出或做逐渐___________的运动．
(2)原因：向心力突然消失或外力不足以提供所需_______.
2．思考：如图，用一轻绳牵引着质量为m的小球在光滑的水平面上以角速度ω做匀速转动．
远离圆心
向心力
(1)若小球恰好为轨道Ⅲ上以角速度ω做匀速圆周运动(轨道Ⅲ的半径r)，此时绳的拉力F＝？
提示：F＝mω2r
(2)若绳的拉力F突然减小时，小球将如何运动？
提示：小球沿轨道Ⅱ远离圆心．
(3)若绳子突然断了，小球将如何运动？
提示：沿轨道Ⅰ做匀速直线运动．
1．汽车过桥时车速过高，在凸桥和凹桥分别会出现什么情况？
提示：在凸桥上出现“飞车”现象，凹桥上压力过大，桥面压坏．
探究一 汽车过拱形桥的问题分析
2．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．当小物体运动到顶端时，如果要求它与球面之间的作用力为零，那么它的速度v0＝？
如图所示，质量m＝2．0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过3．0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
【题后总结】 (1)汽车在拱形桥上的运动是竖直面内的圆周运动．
(2)汽车在桥顶时受到重力和桥面的支持力作用，这两个力的合力提供向心力．
对于汽车过拱形桥问题，明确汽车的运动情况，抓住“切向平衡、法向有向心加速度”是解题的关键．具体的解题步骤是：①选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；②正确分析研究对象的受力情况(切记向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出)，明确向心力的来源；③根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解．
1．如果火车车轨在转弯处是水平的，请画出火车在转弯时的受力分析，并考虑此种设计对车轮和铁轨有什么危害．
提示：受重力、支持力、外轨对外轮的弹力(图略)，此种设计的危害是易使外轨受到损坏．
2．我们想要减小这种危害，应该如何改进转弯处铁轨的设计？
提示：使外轨略高于内轨．
探究二 火车转弯的受力分析
【题后总结】 火车转弯问题的两点注意
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．
2．除了火车弯道具有内低外高的特点外，你还了解哪些道路具有这样的特点？
(1)某司机驾车从宁高高速公路出口，途经某地的水平转盘而出了车祸．讨论其原因，交通部门有责任吗？如果你是公路的设计师，请提出你的道路改正措施？
(2)若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0．4，取g＝10 m/s2．
求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度．
关于离心运动
(1)有人说，物体做离心运动是由于受到“离心力”的作用，你认为正确吗？
提示：不正确．物体做离心运动是因为当物体所受的合外力突然消失或不足以提供向心力时，物体做远离圆心的运动，物体并不受“离心力”，其运动方向也不是沿半径方向向外运动，而是沿切线方向或沿曲率半径逐渐增大的曲线远离圆心．
探究三 离心运动
(2)产生离心运动的原因是什么？
提示：产生离心运动的原因：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出；当F＜mω2r时，物体逐渐远离圆心．
(3)离心运动的应用有哪些？
提示：利用离心运动制成离心机械设备．例如，离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等．
(4)汽车转弯时，离心运动有什么危害？如何防止？
提示：在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的．如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力Fmax，汽车将做离心运动而造成交通事故．因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力．
一、汽车过凸形桥和凹形桥的比较
3．速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用．
(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅有重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：
①当火车行驶速度v＞v0时，外轨道对轮缘有侧压力．
②当火车行驶速度v＜v0时，内轨道对轮缘有侧压力．
三、离心运动
1．物体做离心运动的条件：做圆周运动的物体，一旦提供向心力的外力突然消失，或者外力不能提供足够的向心力时，物体做远离圆心的运动，即离心运动．
2．离心运动的受力特点：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不能提供足够的向心力．所谓“离心力”也是由效果命名的，实际并不存在．
活页作业(六)
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