苏教版（2019）高中数学必修第一册 《7.1弧制度》精品课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
苏教版同步教材精品课件
7.1.2 弧制度
情境引入
情境1：放映一张2019年最热门的黑洞照片，引起学生的兴趣，由教师简要介绍该黑洞资料，重点叙述该黑洞距离太阳系的距离约为5500万光年，然后提问：能否用米表示这个距离？
由教师投影展示结果：5500万光年=米=米.
然后总结：光年和米都是长度单位，但表示天体间距离的时候，用光年更方便生活中我们在表示不同的量的时候常常使用不同的单位.
设计意图：体现同一个量的不同的单位制之间可以相互换算，明确度量的本质，为引入弧度制作好铺垫.
情境引入
情境2：教师拿出三角板，问：这个角的大小是多少？使用了哪种单位制？角度制是如何定义的？
学生依次回答问题，由师生共同回忆角度制的概念，并复习.师生总结：在涉及分秒计算的时候，由于是六十进制，与我们熟悉的十进制不同，带来很多不便，比如的运算结果是，在锐角为30°的直角三角形中，可得，该等式左侧角度为六十进制，右侧实数为十进制，类似等式还有很多.
设计意图：第一，让学生回顾角度制的定义，第二，让学生体会角度制在实际应用中的不便之处，感受引入弧度制的必要性.
情境3：六十进制在生产生活中有诸多不便，我们常用的数是十进制的，能不能统一进制呢？如何建立一种新的单位制（十进制）来度量角的大小呢？
设计意图：启发学生思考，如何建立十进制的角度度量单位.
探究新知
问题1：因为角度制是在圆中定义的，所以让学生以小组为单位，在学案上，在教师准备的几组圆中，研究提出的问题：
（1）在半径相等的圆中，相等的圆心角所对的弧长相等吗？
（2）在半径不等的圆中，相等的弧长所对的圆心角相等吗？
（3）在半径不等的圆中，相等的圆心角所对的弧长相等吗？
（4）在半径不等的圆中，相等的圆心角所对的弧长和半径的比值相等吗？（填写下表）
探究新知
让学生以小组为单位，自己画图，通过测量计算填表研究这四个问题，学生很容易得到答案.从而引发学生思考，半径不同，同一个圆心角的弧长也不同，但是同一圆心角不论在半径是几的圆中，其弧长和半径的比值相同.从而让学生感受弧长和半径的比值可以体现角的大小.
设计意图：苏霍姆林斯基说过：“在人的心头深处有一种根深蒂固的需要，这就是希望自已是一个发现者、研究者、探索者.”通过分组讨论、合作探究，让学生作为主体进行数学的再发现和再创造，培养数学直觉与思辨能力，调动学生参与数学活动的积极性与主动性.在学生探究的基础上，教师引导学生发现度量圆心角的量，体现弧度概念的合理性.
问题2：在此基础上，教师进一步提问，当圆心角为时呢？能不能由初中学习的知识来推导出你猜想的结论？
设计意图：猜想论证是数学研究的重要方法，在鼓励学生小心试验、大胆猜想的基础上，要让学生学会严格的推导与论证.
探究新知
由初中学习的弧长公式，学生很容易得到，l可看作关于r的正比例函数，进一步推导可以得到，其中是一个常数，所以角度数n只与的值有关，是一一对应关系，并且一是一个实数接下来引导学生尝试利用建立弧度制.
问题3： 是一个实数，就可以用我们熟悉的十进制来表示以及进行运算，这就是我们今天所要学习的弧度制，即用扇形中弧长与半径的比值来表示角的大小我们学过角的度量，规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制是角度制.仿照这种角度制的建立，要建立弧度制首先要建立什么呢？1弧度应如何定义呢？
设计意图：感受通过弧长与半径的比值度量角的方便性和实际意义，明确建立一个测量制度的前提——一个单位的确立，让学生掌握通性通法.
探究新知
学生很容易得到等于1的时候，也就是弧长与半径相等的扇形的圆心角的大小为1弧度，即得到1弧度的定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1，读作1弧度（如图）.
由前面的探究可知，角的弧度数由角的大小唯一确定，而与其为圆心角所在圆的大小（半径）无关这种用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
进一步巩固弧度制的概念，给出下列问题.
思考1：若圆半径为r，圆心角（正角）所对的圆弧长为2r，那么的弧度数是多少？
变式：若圆半径为r，圆心角（负角）所对的圆弧长为2r，那么的弧度数是多少？
探究新知
思考2：设长度为r的线段OA绕端点O旋转形成角（为任意角，单位为弧度），若将此旋转过程中点A形成的弧长设为，则之间具有怎样的关系？（请用等式回答）
变式：若已知圆心角的弧度数与半径r，求所对的圆弧长1.特别地，若取呢？
思考3：若弧是一个整圆，则其圆心角（正角）的弧度数是多少？若弧是一个半圆呢？
学生口答，（思考.变式：.思考2：.变式：.思考3：）
教师总结，上节课我们把角的概念推广到任意角，知道角分正角、负角和零角，为了区分，我们规定：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.并且，用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位，例如2可写成2.
设计意图：通过题组练习让学生快速熟悉的关系式，注意区分正角与负角在任意角的背景下对加以修正，体现弧度概念的科学性.自主推导弧长公式，感受公式的简洁美.
探究新知
问题4：若圆的半径为r，圆心角（正角）所对的圆弧长为2r，那么的弧度数是多少？（学生回答）若圆的半径为r，圆心角（正角）为（弧度数），其所对的圆弧长为，即为周角，则的弧度数是多少？如何进行角度与弧度的换算？（可以借助上表）
设计意图：从特殊到一般，由整圆和半圆所对的圆心角引导学生得到角度与弧度的换算关系.
以下由学生自主给出：，则，
.
.
典例剖析
例1、把下列各角从弧度化为度：
（1）；（2）3.5.
（1）.
（2）.
解析
例2、 把下列各角从度化为弧度：
（1）；（2）.
解析
（1）.
（2）.
典例剖析
例3、写出下列特殊角对应的角度和弧度：
说明
当弧度数用表示时，如无特别要求，不必把写成小数.
学生口答，教师板演举例. .特殊角的换算可以充分利用倍数关系.非特殊角的换算留给同学们课后思考.
设计意图：让学生正确地进行角度与弧度的换算，直观感受并熟记特殊角的弧度数.观察发现特殊角之间的倍数关系，体现从未知向已知转化的策略.
教师总结，角的概念推广之后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角从而体现了形与数的对应，弧度制为后续三角函数的研究作好了铺垫.
典例剖析
设计意图：及时对例题进行小结，通过例3让学生感知弧度制下角与实数的一一对应关系，了解弧度制在数学知识体系发展中的作用.
在此例题的基础上，进一步提出问题：我们还常关注一个量—扇形面积.你还记得角度制下的扇形面积公式吗？该公式是如何得到的？那如果在弧度制下，已知圆心角和半径r，如何求扇形面积？
学生通过推导，很容易得到在弧度制下的扇形面积公式：
（扇形面积公式）.
利用弧长公式，也可以化成，前者只适用于弧度制，后者不含角，各种情况都适用.我们来现学现用，看例4.
典例剖析
例4、已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2rad求扇形面积.
解析
设扇形的半径为r，弧长为l，
有
解得
故扇形的面积为.
师：注意解题规范性，先设变量再列方程，灵活运用公式解决问题.
设计意图：让学生自主推导弧度制下的扇形面积公式，通过例4的求解感受弧度制下公式的简洁美，规范学生的解题过程.
课堂小结
师：学而不思则罔，最后请同学们回顾一下，本节课你学到了哪些新知识？弧度制有什么优点？
学生自主总结，教师给予肯定和补充.
弧度制下用实数表示角，建立了角与实数的一一对应关系弧度制与实数运算的进制一致，简化了弧长公式和扇形面积公式.
课堂小结
弧度制既统一了进制，又简化了公式，体现了数学的和谐美与简洁美.
弧度制的本质是用长度度量角的大小，从而大大简化了有关公式及运算，为数学的发展和研究提供了方便.
设计意图：通过学生总结内容、回顾过程、提炼方法，培养学生学习后及时反思的良好习惯.在自我总结中体验成功的喜悦，激发学习数学的自信与兴趣，感受、提升数学学科的核心素养.
作 业
1.（必做）教材第164~165页练习第1~8题，第165页习题7.1第8~10题.
2.（选做）查阅弧度制的历史及有关欧拉的资料，进一步明确弧度制的优点，了解欧拉在数学史上的贡献.
设计意图：必做题旨在对所学知识和技能及时巩固初步应用，让学生熟悉用弧度制表示角的集合，选做题旨在让学生了解相关的数学史，激发学生学习数学的兴趣和积极性.欧拉的事迹有助于陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新的精神.