苏教版（2019）高中数学必修第一册 《7.1任意角》精品课件(共17张PPT)

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7.1.1 任意角
情境引入
问题1：在初中我们学习了角的概念，是如何定义的？
学生回顾初中角的概念.
设计意图：学生回顾初中角的概念，为下面与实际问题中需要刻画的角产生冲突，进而引入新课.
问题2：（观看跳水运动员郭晶晶的跳水视频）请问，在郭晶晶的跳水动作中，“向内翻腾两周半”这个动作名词，数学上如何理解呢
问题3：经过1小时，秒针、分针各转了多少度
问题4：上面两种情境中的角已不能用初中角的定义来刻画了，那么角的概念如果重新定义，借助上述两种情境中的角，你能猜想可以如何定义吗？
由此让学生展开讨论，进而引入角的概念的推广问题.
设计意图：（1）体会角在实际生活中的广泛存在，（2）通过问题引发学生对初中角的概念的思考——满足不了对实际生活中角的刻画，从而体会重新定义角的必要性.（3）通过情境中角的刻画，猜想角的动态定义，引入角的概念的同时，培养学生的探究精神，培养学生用数学的眼光看世界，用数学的眼光观察世界.
情境引入
问题5：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？
设计意图：进一步体会利用旋转来定义角的合理性，体会旋转方向的不同所产生的角的区别，从而引入旋转方向、正角、负角、零角的概念.
1.角的概念.
一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.
如图（1）所示，射线OA绕端点O，按箭头所示方向旋转到OB便形成角.点O是角的顶点，射线OA和OB分别是角的始边和终边.因此720°就是旋转两周所形成的角.
探究新知
2.角的分类（按旋转方向）：正角、负角和零角.
为了表示不同旋转方向所形成的角，联想到用正负数可表示具有相反意义的量，我们作如下规定：
按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角（图（2））.这样就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
思考：什么是任意两角的和？什么是相反角？
对于两个任意角，将角的终边旋转角（当是正角时，按逆时针方向旋转；当是负角时，按顺时针方向旋转；当是零角时，不旋转），这时终边所对应的角称为与的和，记作.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角角的相反角记为，于是有.
探究新知
问题6：①能否以同一条射线为始边作出下列角.
②如何在平面直角坐标系中作出这些角？象限角是什么意思？角又是什么意思？
先让学生思考、讨论这些问题，教师提示、点拨，并对回答正确的学生给予表扬，对回答不准确的学生，教师提示、引导考虑问题的思路学生作这样的角，使用一条射线作为始边，没有固定的参照，所以会作出很多形式不同的角教师可以适时地提醒学生：如果将角放到平面直角坐标系中，问题会怎样呢？并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处：使角的讨论得到简化，还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.
讨论结果：①能.
②使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
探究新知
3.角的终边.
为了便于研究，今后我们常以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角.
借此进一步设问：
锐角是第几象限角？钝角是第几象限角？直角是第几象限角？反之如何？
学生在理解了角的概念，正角、负角、零角的定义，角的终边的概念后，紧接着进行第二阶段的探究：
问题7：角分别是第几象限角？其中哪些角的终边相同？
问题8：终边相同的角彼此之间有什么关系？你能写出与60°角终边相同的所有的角的集合吗？
设计意图：巩固角的概念，角所在象限的判断；体会角的终边具有周期性的特点，利用具体的角，引导学生思考并总结终边相同的角的关系，从而推导出终边相同的角的等式关系，从具体到抽象，培养学生的数学运算能力、直观想象能力、归纳猜想能力.
探究新知
4.终边相同的角的集合.
一般地，与角终边相同的角的集合为.
即任一与角终边相同的角，都可以表示成与整数个周角的和的形式.
适时引导学生认识：①；②是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.
探究新知
典例剖析
例1、在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）；（2）；（3）.
解析
（1）因为，所以的角与290°的角终边相同，是第四象限角.
（2）因为，所以的角与210°的角终边相同，是第三象限角.
（3）因为，所以的角与的角终边相同，是第一象限角.
活动
只需将这些角表示成的形式，然后根据来确定它们所在的象限.
设计意图：巩固终边相同的角的概念，终边相同的角的寻找方法，还巩固角所在象限的判断方法.
典例剖析
思考1：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？
解析
终边在x轴正半轴上：；
终边在x轴负半轴上：；
终边在y轴正半轴上：；
终边在y轴负半轴上：.
活动
终边相同的角中，有落在坐标轴上的特殊的角，学生可以从特殊到一般的归纳猜想和终边相同的角的表示方法两个途径来求轴线角的表示方法.
典例剖析
思考2：终边落在x轴和y轴上的角的集合是什么？终边落在坐标轴上的角的集合怎么表示？
解析
在0°~360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°，180°角因此，所有与0°角终边相同的角构成集合
.而所有与180°角终边相同的角构成集合.于是，终边在x轴上的角的集合.
活动
终边在x轴正半轴、负半轴上的角的表示方法在思考1中已经解决，此题在此基础上提出，需要学生在思考1的基础上，在理解角的周期变化的基础上，写出符合条件的角的集合.
典例剖析
思考2：终边落在x轴和y轴上的角的集合是什么？终边落在坐标轴上的角的集合怎么表示？
解析
终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角因此，所有与90°角终边相同的角构成集合.而所有与270°角终边相同的角构成集合.于是，终边在y轴上的角的集合.
活动
终边在x轴正半轴、负半轴上的角的表示方法在思考1中已经解决，此题在此基础上提出，需要学生在思考1的基础上，在理解角的周期变化的基础上，写出符合条件的角的集合.
典例剖析
思考2：终边落在x轴和y轴上的角的集合是什么？终边落在坐标轴上的角的集合怎么表示？
解析
在内，终边在坐标轴上的角有四个，即.上面已经写出了与此四个角终边相同的角的集合，取并集后，结果为.
活动
终边在x轴正半轴、负半轴上的角的表示方法在思考1中已经解决，此题在此基础上提出，需要学生在思考1的基础上，在理解角的周期变化的基础上，写出符合条件的角的集合.
设计意图：让学生进一步理解轴线角，会进行角的并集运算，进一步体会周期变化中的周期的含义，提高学生分析与解决问题的能力.
典例剖析
例2、已知与240°角的终边相同，判断是第几象限角.
解析
因为与240°角的终边相同，所以，所以.
当k为偶数，即时，与120°角的终边相同，是第二象限角；
当k为奇数，即时，，与300°角的终边相同，是第四象限角.
所以， 是第二或第四象限角.
分析
首先，因为与240°角的终边相同，所以可以写出，，进而求出.因为360°是一个循环，而180°是360°的一半，所以对k取值时应分成两类：奇数和偶数，从而判断所在的象限.
设计意图：巩固终边相同的角的表示方法，进一步强调旋转了360°的整数倍时，各角的终边才相同，因此要附k进行讨论，此题也培养了学生分类讨论的思想.
典例剖析
变式：写出在下列象限内角的集合：
①第一象限；②第二象限；③第三象限；④第四象限说明：本题关键是写出第一象限角的集合，其他象限角的集合依此类推即可，如果学生阅读例题后没有解题思路，或者把①中的范围写成，可引导学生分析的角是不是第一象限角呢？进而引导学生写出所有终边相同的角.
解析
①终边在第一象限的角的集合：.
②终边在第二象限的角的集合：.
③终边在第三象限的角的集合：.
④终边在第四象限的角的集合：.
设计意图：会用不等式表示象限角进一步思考，可以用不等式表示某个范围内的角.
课堂小结
由学生总结本节课所学习的主要内容：
（1）任意角的概念.
（2）角的分类：正角、负角、零角.
（3）象限角、轴线角及其表示方法.
（4）终边相同的角的集合.
设计意图：通过自主小结，构建知识体系，将知识内化构建知识的同时培养学生的反思意识，培养学生的数学表达能力.
作 业
教材第161页练习第4，5，6，7题.
设计意图：综合练习巩固提高，也为下节的学习内容打下基础，同时留给学生课后自主探究的空间，这样既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高.