苏教版（2019）高中数学必修第一册 7.1 角与弧度（解析版）

7.1角与弧度
教材知识梳理
任意角
角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
角的分类：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
象限角的判定方法
①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
弧度制
角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αr.
(2)扇形面积公式：S＝lr＝αr2.
例题研究
角度制与弧度制的互化
题型探究
例题1
下列转化结果错误的是
A．60°化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是15°
例题2
把化为角度是
A．270° B．280° C．288° D．318°
跟踪训练
训练1
把-765°化成2kπ+α（0≤α＜2π），k∈Z）的形式是（　　）
A． B． C． D．
训练2
下列转化结果错误的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
二、扇形的弧长、面积
题型探究
例题1
已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2
已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练
训练1
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为平方米.（其中，）
A．15 B．16 C．17 D．18
训练2
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中，）
A．14 B．16 C．18 D．20
三、象限角
题型探究
例题1
已知α为第三象限角则所在的象限为（ ）.
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上
例题2
若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
跟踪训练
训练1
已知为第Ⅱ象限角，则的值为
A． B． C． D．
训练2
若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是
A． B． C． D．
四、终边相同的角
题型探究
例题1
已知下列四组角的表达式(各式中)
与；与；与；与，
其中表示具有相同终边的角的组数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例题2
已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为(　　)
A． B．
C． D．
跟踪训练
训练1
与2021°终边相同的角是（ ）
A．-111° B．-70° C．141° D．221°
训练2
与终边相同的角是（ ）
A． B．170° C．20° D．340°
综合式测试
一、单选题
1．《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
2．已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B．或2 C．1 D．或1
3．设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（ ）
A．为锐角}
B．为小于的角}
C．为第一象限角}
D．
4．已知扇形的周长为，圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．终边在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
6．若是第二象限角，那么和都不是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．给出下列说法：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关.
其中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
二、填空题
9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号）
10．已知角β的终边在直线上.则角β的集合S为__________.
11．给出以下五个命题：
①若是锐角，则是第一或第二象限角；
②终边在轴上的角的集合是；
③函数在区间上是增函数；
④函数不是周期函数；
⑤在同一坐标系中，函数的图象与函数的图象有三个公共点.
其中，真命题的编号是_____________ (写出所有真命题的编号).
12．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是________度，即________rad.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是________.
三、解答题
13．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限．
（1）求，的值．
（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．
14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
15．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）的角.
7.1角与弧度答案
教材知识梳理
任意角
角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
角的分类：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
象限角的判定方法
①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
弧度制
角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αr.
(2)扇形面积公式：S＝lr＝αr2.
例题研究
一、角度制与弧度制的互化
题型探究
例题1
下列转化结果错误的是
A．60°化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是15°
【答案】C
【分析】由,求解即可
【详解】
对于选项A,,故A正确；
对于选项B,,故B正确；
对于选项C,,故C错误；
对于选项D,,故D正确
故选：C
【点睛】考查角度制与弧度制的转化
例题2
把化为角度是
A．270° B．280° C．288° D．318°
【答案】C
【分析】利用弧度转化为角度的公式，代值计算即可.
【详解】
因为，
故.
故选：C.
【点睛】考查弧度转化角度的公式.
跟踪训练
训练1
把-765°化成2kπ+α（0≤α＜2π），k∈Z）的形式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据终边相同角的定义及角度制与弧度制的互化，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，可得，
故选D．
【点睛】考查了终边相同角的表示，以及角度制与弧度值的互化．
训练2
下列转化结果错误的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】C
【分析】根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项
【详解】
对于A，，正确;
对于B，，正确;
对于C，，错误;
对于D，，正确.
故选:C.
【点睛】考查了弧度与角度的转化,转化过程中注意进制和单位.
二、扇形的弧长、面积
题型探究
例题1
已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积．
【详解】
解：扇形的圆心角为，弧长为，
扇形的半径，
扇形的面积．
故选：B．
例题2
已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值，求出对应的的值，进而求出扇形的圆心角的弧度数，然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长.
【详解】
设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，
所以，扇形的面积为，
当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时，
如下图所示：
取的中点，则，且，因此，.
故选：C.
【点睛】考查扇形面积最值的计算，同时也考查了扇形弦长的计算.
跟踪训练
训练1
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为平方米.（其中，）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【详解】分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.
详解：因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，
因此两者之差为，选B.
【点睛】：扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式
训练2
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中，）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可.
【详解】
如图所示，扇形的半径为，
所以扇形的面积为，
又三角形的面积为，
所以弧田的面积为，
又圆心到弦的距离等于，所示矢长为，
按照上述弧田的面积经验计算可得弦矢矢，
所以两者的差为.
故选：B.
【点睛】考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用.
三、象限角
题型探究
例题1
已知α为第三象限角则所在的象限为（ ）.
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上
【答案】A
【分析】根据得到，讨论的奇偶性得到答案.
【详解】
α为第三象限角，则 故当为奇数时，在第四象限；当为偶数时，在第二象限；
故选：
【点睛】考查了角的象限问题.
例题2
若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据题意，是第一或二象限角，且为第一或三象限角，由此结合正、余弦函数在各个象限的符号规律，不难得到本题的答案．
【详解】
解：因为为第一象限角，所以为第一或二象限角，
可得：，而符号不确定，
又为第一或三象限角，
，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定
综上所述，必定为正值的只有一个
故选：．
【点睛】本题给出是第一象限角，判断几个三角函数值的符号．着重考查了象限角的概念和三角函数在各个象限的符号等知识
跟踪训练
训练1
已知为第Ⅱ象限角，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．
【详解】
因为，所以或，
又为第Ⅱ象限角，故，．
因为为第Ⅱ象限角即，
所以，，即为第Ⅰ，Ⅲ象限角．
由于，解得，故选B．
【点睛】考查二倍角公式的应用以及象限角的集合应用．
训练2
若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.
详解：若是第一象限角，则：
位于第一象限，
位于第二象限，
位于第四象限，
位于第三象限，
本题选择C选项.
【点睛】：考查象限角的概念.
四、终边相同的角
题型探究
例题1
已知下列四组角的表达式(各式中)
与；与；与；与，
其中表示具有相同终边的角的组数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用特值排除（1），利用终边判断（2），（3），（4）
【详解】
对（1），当，不存在与之对应，不正确；
对（2），表示终边在y轴上的角，表示终边在坐标轴y轴正半轴的角；不正确；
对（3），表示终边在y轴上的角，正确
对（4），表示 终边在x轴负半轴的角；表示终边在x轴上的角, 不正确；
故选B
【点睛】考查终边相同的角的判断
例题2
已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值．
【详解】
因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知
，故角的最小正值为．
故选：B．
【点睛】考查利用角的终边上一点求角．
跟踪训练
训练1
与2021°终边相同的角是（ ）
A．-111° B．-70° C．141° D．221°
【答案】D
【分析】根据终边相同角相差的整数倍，即可求出．
【详解】
根据终边相同角的集合知，与2021°终边相同的角可以写成，．
令，，，都无整数解；
令，解得．
故选：D．
【点睛】考查终边相同角的集合的理解和应用．
训练2
与终边相同的角是（ ）
A． B．170° C．20° D．340°
【答案】D
【分析】写出与终边相同的角的集合，检验各个选项中的角是否满足此条件．
【详解】
与终边相同的角一定可以写成的形式，，
令 可得，与终边相同，其它选项均不合题意，
故选：．
综合式测试
一、单选题
1．《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．
【详解】
由题得：弓所在的弧长为：；
所以其所对的圆心角；
两手之间的距离m．
故选：B
2．已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B．或2 C．1 D．或1
【答案】D
【分析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.
【详解】
解：由题意得解得或故或.
故选：D
【点睛】考查弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于基础题.
3．设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（ ）
A．为锐角}
B．为小于的角}
C．为第一象限角}
D．
【答案】D
【分析】直接利用交集的运算法则得到答案.
【详解】
为小于的角}，为第一象限角}
则
故选：
【点睛】考查了交集的运算，属于简单题.
4．已知扇形的周长为，圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得：2R+Rα＝4，2联立解得即可得出．
【详解】
由题意可得：2R+Rα＝4，2,联立解得α＝2,R＝1则面积为
故选：B
【点睛】考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．终边在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出终边在上的度数，即可得到结论．
【详解】
在[0，2π]内终边在直线上的角为和，
则终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝2kπ或2kπ}，k∈Z，
即{α|α＝kπ，k∈Z}，
故选B．
【点睛】考查终边相同角的表示．
6．若是第二象限角，那么和都不是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】若是第二象限角,则可设再分析和.
【详解】
设,此时,故为第一、三象限的角.
又,故为第四象限角.所以和都不是第二象限.
故选B.
【点睛】已知所处的象限可直接表达出角度的范围再讨论.
7．给出下列说法：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关.
其中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用举反例的方法判断①②错误，根据角的定义判断③正确.
【详解】
举反例：第一象限角不小于第二象限角，故①错误；
当三角形的内角为时，既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错误；根据角的定义可知③正确.综上可知只有③正确.
故选B.
【点睛】考查象限角的概念，考查角的定义.
8．若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】C
【分析】由角α是第二象限角，得到＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，，由此能求出-是第一或第三象限角．
【详解】
∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角
【点睛】考查角所在象限的求法，考查象限角等基础知识．
二、填空题
9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号）
【答案】
【分析】如下图所示，在中，求出半径，即可求出结论.
【详解】
设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧为，
则，所以矢长为，
在中，，，
所以，
所以
所以弧田的面积为.
故答案为：.
【点睛】考查直角三角形的边角关系，考查运算求解能力
10．已知角β的终边在直线上.则角β的集合S为__________.
【答案】
【分析】根据终边相同的角的表示法，可以分别写出终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，即可得答案；
【详解】
如图，直线过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
，，
所以，角β的集合
.
故答案为：.
【点睛】考查终边相同的角的表示方法
11．给出以下五个命题：
①若是锐角，则是第一或第二象限角；
②终边在轴上的角的集合是；
③函数在区间上是增函数；
④函数不是周期函数；
⑤在同一坐标系中，函数的图象与函数的图象有三个公共点.
其中，真命题的编号是_____________ (写出所有真命题的编号).
【答案】③④
【分析】根据象限角的概念，终边相同角的表示，三角函数的单调性，周期性等性质判断．
【详解】
是锐角，若，则的终边在轴正半轴，①错；
终边在轴上的角的集合是，②错；
，在上是增函数，③正确；
函数，若它是周期函数，则周期只能是，但当时， 不妨取，．不是函数的周期，函数不是周期函数，④正确；
在同一坐标系中，函数的图象与函数的图象只有一个公共点，
由三角函数线知在时，，因此时都有，由于是奇函数，因此时，，所以的图象与直线只有一个交点，⑤错．
故答案为：③④．
【点睛】考查三角函数的性质，考查象限角的概念，终边相同角的表示，三角函数的单调性，周期性等知识，涉及知识较多，要求学生对所涉及知识都能正确掌握才能正确解决问题，本题属于中档题．
12．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是________度，即________rad.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是________.
【答案】864
【分析】本题可以通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，得到填空（1）答案，经换算得到其弧度，即得到填空（2）答案，再通过大轮的速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，得到填空（3）答案，得到本题结论．
【详解】
∵相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，
∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，
∴小轮转动周，即，，
∴当大轮的转速为时，，小轮转速为 ，
∴小轮周上一点每1s转过的弧度数为：，
∵小轮的半径为10.5cm，
∴小轮周上一点每1s转过的弧长为：，
故答案为：864；；.
【点睛】考查角度制与弧度制的互化，考查弧长公式.
三、解答题
13．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限．
（1）求，的值．
（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据题中条件，先设，，再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，，列出不等式求解，得出和的值，即可得出结果；
（2）先设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒，根据题中条件求出，根据弧长的计算公式，即可求出结果.
【详解】
（1）由题意可得，与都是的整数倍，
不妨设，，
则，，
又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，
所以，即，所以，
因为，所以，所以，，
即，；
（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒，
则，即，解得，
所以红蚂蚁爬过的角度为，
因为圆的半径为，
所以红蚂蚁爬过的距离为.
【点睛】关键点点睛：求解本题第一问的关键在于根据任意角的概念以及题中条件，得到与都是的整数倍，利用题中所给限制条件：第2秒时均位于第二象限，即可求解.
14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．
（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解
（3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可．
【详解】
(1)α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝ (cm).
(2)由题意得解得 (舍去)，
故扇形圆心角为.
(3)由已知得，l＋2R＝20.
所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10，α＝2.
【点睛】考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．
15．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）的角.
【答案】（1）;（2）;（3）
【分析】
化简得，再令可得;
令可得与角终边相同的最小正角;
令 得,取可得.
【详解】
因为，
所有与终边相同的角可表示为：
则，则
则，则
令 得，
从而，代入得.
【点睛】考查终边相同的角.所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：
或
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