《弧度制》智能提升
一、选择题
1.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A.2
B.
C.
D.
2.给出下列四个命题:（ ）
①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角.其中正确的命题有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.已知某扇形的面积为，若该扇形的半径r，弧长l满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是（ ）
A.
B.5
C.
D.或5
二、填空题
4.已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是_____；扇形的圆心角所对的弦长为_____cm
5.终边在直线上，且在内的角a的集合为
6.若角是第二象限角，则是第_______象限角.
三、解答题
7.已知.
（1）将用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
（2）将用角度制表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角.
8.如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分的角的集合.
9.已知一个扇形的周长是40，
（1）若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
（2）求扇形面积S的最大值.
答案与点拨
1.
答案：D
解析：设圆的半径为R，则，故所求弧长为.
2.
答案：C
解析：是第三象限角，故①错误. ，从而是第三象限角，②正确. ，是第四象限角，从而③正确.，是第一象限角，从而④正确.
3.
答案：D
解析：根据题意，得解得或所以或5.故选D.
4.
答案：2
解析：设此扇形的半径为，弧长为，则，面积，故当时S最大，这时，从而.扇形的圆心角所对的弦长为.
5.
答案：
解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线，可以发现它与x轴的夹角是，在内，终边在直线上的角有两个：.
在内满足条件的角有两个：故满足条件的角α构成的集合为
.
6.
答案：一或三
解析：是第二象限角，，
.当k为偶数时，。是第象限角；当k为奇数时，是第三象限角.
综上可知，是第一或第三象限角.
7.
答案：见解析
解析：（1）由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得：，.
又由，所以与角的终边相同，所以的终边位于第二象限；
，所以的与角的终边相同，所以的终边位于第一象限.
（2）根据角度制与弧度制的互化公式，可得.
根据终边相同的角的表示，可得与终边相同的角为，当时，；当时，.
与终边相同的角为，当时，.
8.
答案：见解析
解析：（1）将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成故满足条件的角的集合为.
（2）若将终边为OA的一个角改写为，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为.
（3）将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转而得到，所以满足条件的角的集合为.
（4）与第（3）小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转后可得到第四象限的阴影部分所以满足条件的角的集合为.
9.
答案：见解析
解析：（1）设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则由题意得
解得则.故扇形的圆心角为2.
（2）由，得，
故,
故时，扇形面积S取最大值100.
1 / 5《弧度制》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 弧度的概念
一、选择题
1.2弧度的角的终边所在的象限是（ ）
A.第一象限
B第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
必备知识2 用弧度表示角
一、选择题
3.在下列角中，终边在y轴负半轴上的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.若角满足，则的终边一定在（ ）
A.第一象限或第二象限或第三象限
B.第一象限或第二象限或第四象限
C.第一象限或第二象限或x轴正半轴上
D.第一象限或第二象限或y轴负半轴上
必备知识3 角度与弧度的相互转化
一、选择题
5.化为角度是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.将2100°化为弧度为_____.
7.的角化为角度制的结果为_____,的角化为弧度制的结果为_____.
8.若把写成的形式，则_____.
必备知识4 弧长公式与扇形面积公式的应用
一、填空题
9.如图，已知扇形的面积是，它的周长是，则扇形的圆心角的弧度数是_____.
二、解答题
10.已知一个扇形的周长为，圆心角为80°，求这个扇形的面积.
关键能力练
关键能力1用弧度制表示角的集合
一、选择题
11.与终边相同的角是（ ）
A.
B.375°
C.
D.
二、填空题
12.如图，终边落在阴影部分处（包括边界）的角的集合是_____（用弧度表示）.
关键能力2 弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用
一、解答题
13.如图所示，动点P，Q从点A（4,0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.
14.用一根长为10m的绳索围成一个圆心角小于且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为，面积为.
（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；
（2）当半径x和圆心角a为多大时，所围扇形场地的面积S最大？并求出最大值.
参考答案
1.
答案：B
解析：弧度的角的终边所在的象限为第二象限.故选B.
2.
答案：D
解析：分针每分钟转，则分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为
故选D.
3.
答案：D
解析：终边落在y轴负半轴上的角的集合为，取，得.故选D.
4.
答案：D
解析：，当时，为第一象限角；当时，，为第二象限角；当时，，为y轴负半轴上的角.则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴负半轴上.故选D.
5.
答案：D
解析：.
6.
答案：
解析：.
7.
答案：
解析：..
8.
答案：
解析：.
9.
答案：
解析：设半径为r，由题意可得：，.
化为.解得.
10.
答案：见解析
解析：设扇形的半径为r，面积为S，由已知，扇形的圆心角为，
扇形的弧长为，由已知得，解得，.
11.
答案：B
解析：因为时，，所以选B.
12.
答案：
解析：
13.
答案：见解析
解析：设P,Q第一次相遇时所用的时间是t，则，所以（秒），即第一次相遇的时间为4秒.
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在含的位置，则，所以C点的坐标为.
P点走过的弧长为，Q点走过的弧长为.
14.
答案：见解析
解析：（1）设扇形弧长为l，则，，由得，从而.
（2），，从而当时，，此时圆心角.
答：当扇形半径为，圆心角为2时，所围扇形场地的面积最大，最大面积为.
1 / 67.1.2 弧度制
基础过关
角度与弧度的互化
1.已知α=1 845°,则可用弧度制表示为( )
A.10π B. C. D.
2.将-300°化为弧度为( )
A.- B.- C.- D.-
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为 .
用弧度表示终边相同的角
4.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是( )
A.--8π B.-8π
C.-10π D.-10π
5.下列各对角中,终边相同的角是( )
A. B.-
C. D.-
6.若把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,则使|θ|最小的θ的值是 .
7.终边在第一或第四象限的角组成的集合用弧度制可表示为 .
8.用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角组成的集合(包括边界,如图所示).
扇形弧长及面积公式的运用
9.若半径为2的扇形面积为,则扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
10已知长为π cm的弧所对的圆心角为,则这条弧所在的扇形的面积为( )
A.π cm2 B.4π cm2 C.2π cm2 D.π cm2
11.若扇形的半径扩大到原来的2倍,弧长也扩大到原来的2倍,则( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角度数不变
C.扇形的面积扩大到原来的2倍
D.扇形的圆心角度数扩大到原来的2倍
12.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为 .
13.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为 .
14.已知扇形的周长为a,当扇形的圆心角为多少时,扇形的面积最大 并求出这个最大值.
答案全解全析
7.1.2 弧度制
基础过关：必须拿到分
1.D ∵180°=π,∴1°=,
∴1 845°=1 845×.
故选D.
2.B ∵π=180°,∴1°=,
∴-300°=-300×.故选B.
3.答案 -
解析 ∵分针每分钟转-6°,∴分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°,∴-840×.
4.D ∵-1 485°=-5×360°+315°,2π rad=360°,315°= rad,
∴-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是-10π.故选D.
5.D A错,+10π,终边不相同;
B错,+6π,其终边与-的终边不相同;
C错,因为的终边在y轴的负半轴上,而-的终边在y轴的正半轴上,所以终边不相同;
D正确,因为--2π,所以-和-的终边相同.
6.答案 -
解析 -可表示为--2π,此时|θ|最小,∴θ=-.
7.答案 ∪,k∈Z
8.解析 (1)α-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z.
(2).
9.B 设扇形的圆心角大小为α,半径为r,
则由S=αr2,得×α×22,解得α=.故选B.
10.C ∵长为π cm的弧所对的圆心角为,∴r=π,∴r=4(cm),∴S=×16=2π(cm2).故选C.
11.B 设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,由S=rl知扇形的面积扩大到原来的4倍,所以A、C错误.因为|α|=,所以B正确,D错误.
12.答案 6
解析 设扇形的弧长为l,半径为r,则rl=2,l=4r,解得l=4,r=1,故扇形的周长为l+2r=6.
13.答案 2-
解析 设正方形的边长为a,∠EAD=α,
由已知可得a2-αa2,
故α=2-.
14.解析 设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角的大小为α,面积为S.
由已知得,2r+l=a,即l=a-2r,
∴S=.
∵r>0,l=a-2r>0,∴0∴当r=时,Smax=,
此时,l=a-2×,
∴|α|==2.
故当扇形的圆心角为2 rad时,扇形的面积最大,最大值为.
2 / 6《弧度制》同步练习
一、选择题
1.将化为角度是（ ）
A.75°
B.105°
C.
D.
2.圆的半径是6cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.是（ ）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
二、填空题
4.把写成的形式是_____.
5.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是_____,扇形面积是______.
6.如图，阴影部分（包括边界）所表示的角a的集合是_____.
三、解答题
7.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
（1）求弦AB所对的圆心角的大小；
（2）求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
8.如图，用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合（包括边界），并判断2019°是不是这个集合的元素.
9.已知.
（1）写出所有与终边相同的角；
（2）写出在内与终边相同的角；
（3）若角与终边相同，则是第几象限角？
参考答案
1.
答案：A
解析：，故选A.
2.
答案：B
解析：则
3.
答案：D
解析：，角的终边在第四象限，选D.
4.
答案：
解析：方法一：，.
方法二：.
5.
答案：
解析：由题意知，圆心，扇形面积.
6.
答案：
解析：
7.
答案：见解析
解析：（1）由的半径，知是等边三角形，.
（2）由（1）可知，弧长，
，
而，
.
8.
答案：见解析
解析：，
终边在阴影区域内角的集合为.
，又.
9.
答案：见解析
解析：（1）所有与终边相同的角可表示为.
（2）由（1），令，则有，取.
故在内与a终边相同的角是.
（3）由（1）有，则，
当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角.
是第一、三象限角.
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