第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
基础过关
任意角及其相关概念的理解
1.若一条以点O为端点的射线从射线OA开始,绕点O逆时针旋转120°到达OB的位置,再由OB的位置顺时针旋转270°到达OC的位置,则∠AOC的大小为( )
A.150° B.-150° C.390° D.-390°
2.若时针走了2小时40分钟,则分针转过的角度为( )
A.80° B.-80° C.960° D.-960°
终边相同的角与区域角
3.下列与角1 650°的终边相同的角是( )
A.30° B.210°
C.-30° D.-210°
4.将角-880°用k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式表示为( )
A.(-3)×360°+160°
B.(-2)×360°+200°
C.(-2)×360°-160°
D.(-3)×360°+200°
5.终边在直线y=-x上的角α的集合为( )
A.{α|α=k·360°+135°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°-45°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°+225°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°-45°,k∈Z}
6.若角α与45°角的终边相同,角β与-135°角的终边相同,则α-β= .
7.如图.
(1)写出终边落在射线OA,OB上的角组成的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角组成的集合.
8.若角α的终边与171°角的终边相同,求在0°到360°范围内与角的终边相同的角.
象限角与轴线角
9.2 019°角是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
10.下列命题正确的是( )
A.终边在x轴的非正半轴上的角是零角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β的终边相同
11.若角α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是( )
A.90°-α B.90°+α C.360°-α D.180°+α
12.角-870°的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
13.(多选)下列四个命题是真命题的是( )
A.-75°角是第四象限角
B.225°角是第三象限角
C.575°角是第二象限角
D.-315°角是第一象限角
14.若角α的终边在y轴的负半轴上,则角α-150°的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.y轴的正半轴上 D.x轴的负半轴上
答案全解全析
第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
基础过关
1.B ∠AOC=120°+(-270°)=-150°.故选B.
2.D 40÷60==240°,故时针走了2小时40分钟,分针转过的角度为-2×360°-240°=-960°,故选D.
3.B 与角1 650°的终边相同的角是α=k·360°+1 650°,k∈Z,当k=-4时,α=210°,故与角1 650°的终边相同的角是210°.
故选B.
4.D -880°=(-3)×360°+200°,故选D.
5.D 角α的集合为{α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°-45°,k∈Z}
={α|α=(2k+1)·180°-45°,k∈Z}∪{α|α=2k·180°-45°,k∈Z}={α|α=k·180°-45°,k∈Z},故选D.
6.答案 k·360°+180°(k∈Z)
解析 由题意得α=k1·360°+45°(k1∈Z),β=k2·360°-135°(k2∈Z),则α-β=k·360°+180°(k∈Z).
7.解析 (1)终边落在射线OA上的角组成的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.
终边落在射线OB上的角组成的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角组成的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.
8.解析 ∵角α的终边与171°角的终边相同,
∴α=k·360°+171°,k∈Z,
∴=k·120°+57°,k∈Z.
当k=0时,=57°;
当k=1时,=177°;
当k=2时,=297°.
∴在0°到360°范围内与角的终边相同的角有57°角,177°角,297°角.
9.C 由题意,可知2 019°=360°×5+219°,所以角2 019°和角219°表示终边相同的角,
因为219°角是第三象限角,所以2 019°角是第三象限角,故选C.
10.D 终边在x轴的非正半轴上的角为k·360°+180°,k∈Z,零角为0°,所以A错误;480°角为第二象限角,但不是钝角,所以B错误;285°角为第四象限角,但不是负角,所以C错误;易知D正确.故选D.
11.C 若角α是第一象限角,则90°-α是第一象限角,90°+α是第二象限角,360°-α是第四象限角,180°+α是第三象限角.
故选C.
12.C 因为-870°=-360°×3+210°,
所以角210°与角-870°的终边相同,
又因为角210°的终边在第三象限,
所以角-870°的终边在第三象限.
故选C.
13.ABD -75°=-360°+285°是第四象限角;225°=180°+45°是第三象限角;575°=360°+215°是第三象限角;-315°=-360°+45°是第一象限角,故A,B,D是真命题.
14.B 因为角α的终边在y轴的负半轴上,所以α=k·360°+270°(k∈Z),所以α-150°=k·360°+270°-150°=k·360°+120°(k∈Z),所以角α-150°的终边在第二象限.故选B.
2 / 7第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
能力提升
任意角及其相关概念的理解
1.经过2小时15分钟,时间从8点5分变为10点20分,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少 此时它们所成的角是多少
终边相同的角与区域角
2.与角-390°终边相同的最小正角是( )
A.-30° B.30° C.60° D.330°
3.在360°到1 440°范围内,与-21°18'角终边相同的角有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.若角α与角β的终边垂直,则α与β的关系是( )
A.β=α+90°
B.β=α±90°
C.β=k·360°+α+90°(k∈Z)
D.β=k·360°+α±90°(k∈Z)
5.若角α=m·360°+60°,β=k·360°+120°,m,k∈Z,则角α与β的终边的位置关系是( )
A.重合 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
6.(多选)下列与412°角的终边相同的角有( )
A.52° B.778°
C.-308° D.1 132°
7.(多选)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的有( )
A.α+β=180°
B.α+β=k·360°+90°(k∈Z)
C.α+β=k·360°(k∈Z)
D.α+β=(2k+1)·180°(k∈Z)
8.与-495°角终边相同的最大负角是 ,最小正角是 .
9.如图所示,分别写出适合下列条件的角组成的集合:
(1)终边落在射线OM上;
(2)终边落在直线OM上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
象限角与轴线角
10.若A={α|α为小于90°的角},B={α|α为第一象限角},则A∩B=( )
A.{α|α为锐角}
B.{α|α为小于90°的角}
C.{α|α为第一象限角}
D.{α|k·360°<α11.若α=k·360°+45°,k∈Z,则是第 象限角.
12.若角α是第一象限角,则-α,2α,是第几象限角
13.半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿圆周旋转,已知点P在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°),经过2 s到达第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ.
答案全解全析
第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
能力提升
1.解析 时针每小时转过-=-30°,则每分钟转过=-0.5°,而分针每分钟转过-=-6°,故经过2小时15分钟后,时针转过(2×60+15)×(-0.5°)=-67.5°,分针转过(2×60+15)×(-6°)=-810°.2小时15分钟后为10点20分,此时分针指向4,时针则由指向10转过了20×(-0.5°)=-10°,此时时针和分针所成的角为170°.
2.D 依题意-390°+360°=-30°,-30°+360°=330°,故选D.
3.D 与-21°18'角终边相同的角为α=-21°18'+k·360°(k∈Z).当k=2时,α=698°42';当k=3时,α=1 058°42';当k=4时,α=1 418°42'.故在360°到1 440°范围内,与-21°18'角终边相同的角有3个,所以选D.
4.D 若角α与角β的终边垂直,则β-α=k·360°±90°(k∈Z),则β=k·360°+α±90°(k∈Z).故选D.
5.D 由角α=m·360°+60°(m∈Z)知角α与60°角的终边相同,
由角β=k·360°+120°(k∈Z)知角β与120°角的终边相同,
又因为60°+120°=180°,所以60°角与120°角的终边关于y轴对称,
即角α与β的终边关于y轴对称.故选D.
6.ACD 因为412°=360°+52°,所以与412°角的终边相同的角为β=k·360°+52°,k∈Z.当k=-1时,β=-308°;当k=0时,β=52°;当k=1时,β=412°;当k=2时,β=772°;当k=3时,β=1 132°;当k=4时,β=1 492°.故ACD正确.
7.AD 假设α和β为0°~180°内的角,如图所示,因为α和β的终边关于y轴对称,所以α+β=180°,所以A满足条件;结合终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)·180°(k∈Z),所以D满足条件,易知B,C都不满足条件.
8.答案 -135°角;225°角
解析 -495°=-1×360°-135°,从而可得-495°角与-135°角的终边相同,则与-495°角终边相同的角可以表示为k·360°-135°,k∈Z.当k=0时,最大负角是-135°角;当k=1时,最小正角是225°角.
9.解析 (1)终边落在射线OM上的角组成的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}.
(2)因为终边落在射线OM上的角组成的集合为A={α|α=k·360°+45°,k∈Z},终边落在射线OM的反向延长线上的角组成的集合为B={α|α=k·360°+225°,k∈Z},所以终边落在直线OM上的角组成的集合为A∪B={α|α=k·360°+45°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°,k∈Z}={α|α=2k·180°+45°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+45°,k∈Z}={α|α=n·180°+45°,n∈Z}.
(3)因为终边落在直线ON上的角组成的集合为{β|β=n·180°+60°,n∈Z},所以终边落在阴影区域内(含边界)的角组成的集合为{α|n·180°+45°≤α≤n·180°+60°,n∈Z}.
10.D ∵A={α|α为小于90°的角}={α|α<90°},B={α|α为第一象限角}={α|k·360°<α∴A∩B={α|k·360°<α11.答案 一或三
解析 ∵α=k·360°+45°,k∈Z,∴=k·180°+22.5°,k∈Z.当k为偶数,即k=2n,n∈Z时,=n·360°+22.5°,n∈Z,故为第一象限角;当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时,=n·360°+202.5°,n∈Z,故为第三象限角.
综上,是第一或第三象限角.
12.解析 ∵角α是第一象限角,
∴k·360°<α(1)易得-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z),故-α是第四象限角.
(2)易得2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),故2α是第一象限角或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上的角.
(3)易得k·120°<< k·120°+30°(k∈Z).
解法一(分类讨论):当k=3n(n∈Z)时,
n·360°<此时是第一象限角;
当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°<n·360°+240°<此时是第三象限角.
综上可知,是第一象限角或第二象限角或第三象限角.
解法二(几何法):如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的非负半轴的上方起,依次将各区域标上1,2,3,4,1,2,3,4…因为α是第一象限角,则标有1的区域即为角的终边所在的区域(图中阴影部分),故为第一象限角或第二象限角或第三象限角.
13.解析 ∵0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ又∵14θ=n·360°(n∈Z),∴θ=,n∈Z,从而90°<<135°,n∈Z,
∴,n∈Z,∴n=4或5.
当n=4时,θ=°;
当n=5时,θ=°.
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