2.2基本不等式随堂训练（含解析）

基本不等式随堂训练
一、选择题
1、若，，且，则的最小值是( )
A.2 B. C. D.
2、已知，，且，则的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
3、某工厂过去的年产量为a，技术革新后，第一年的年产量增长率为p（），第二年的年产量增长率为，这两年的年产量平均增长率为x，则( )
A. B. C. D.
4、已知，，，则的最小值为( )
A.6 B.8 C.15 D.17
5、若正数x，y满足，则当取得最小值时，x的值为( )
A.9 B.8 C.6 D.3
6、已知，，，则（ ）
A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值3 D.有最大值3
7、已知正数满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8、已知x，y满足，则的最大值为( )
A.1 B.2 C. D.
9、已知，且，则当取到最小值时，( )
A. B. C. D.
10、若x，，且，则的最小值为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
11、若正数a，b满足，则ab的最大值为( )
A.1 B.4 C.9 D.16
12、已知x、y均为正实数，且，则的最小值为( )
A.24 B.32 C.20 D.28
13、若a，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
14、已知实数，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
15、已知实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数t的取值范围为( )
A. B. C. D.
16、若正数x，y满足，则的最小值是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
17、已知，，，则的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
18、已知，，且，则的最小值为( )
A.8 B. C.9 D.
19、已知正实数x，y满足方程，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
20、若正数a，c满足，则的最小值为( )
A.8 B.9 C.10 D.12
21、已知两个正实数x，y满足，则的最大值是( )
A. B. C.6 D.9
22、已知实数x，y满足方程，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
23、若正实数a，b满足，则ab的最大值为( )
A. B. C. D.1
24、若，则的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
25、若，，且，则的最大值为( )
A.9 B.18 C.36 D.81
二、填空题
26、若且满足,则的最小值是_______.
27、设正数a，b满足，则__________，____________.
若实数,且则的最大值为________.
已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________.
若正实数x，y满足，则的最小值是________.
已知，则的值为_________.
已知x，y都是正实数，且，则xy的最小值为________.
若不等式对满足的一切实数x都成立，则y的取值范围是_______.
三、解答题
34、已知正数a，b满足.
（1）若，，求的值；
求的最大值.
35、已知实数a,b满足，，.证明：
（1）；
.
36、已知实数，，且满足.
（1）求xy的最小值；
对任意的，，均有成立，求实数a的取值范围.
37、已知，.
（1）若，求3xy的最大值；
（2）若，若恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：本题考查基本不等式.因为，，所以，当且仅当时等号成立，故最小值为.
2、答案：C
解析：因为，
所以.
因为，，
所以，当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为4.
故选C.
3、答案：D
解析：由题意可得，
即.
易得，当且仅当时取等号，
，，
则，即.
故选D.
4、答案：D
解析：易得.
又，，，
，当且仅当时取等号.
故选D.
5、答案：C
解析：，，，，
，当且仅当时，等号成立，此时解得故选C.
6、答案：C
解析：因为，所以，所以
（当且仅当时等号成立）
7、答案：C
解析：因为，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：C
8、答案：C
解析：点在圆上，则如图，当OA与圆相切时，取得最小值，所以，此时点.
9、答案：D
解析：依题意，，当且仅当，即时等号成立，故选D.
10、答案：D
解析：因为，所以，
所以，当且仅当，等号成立，所以的最小值为18.
故选：D.
11、答案：C
解析：因为，所以，解得.
12、答案：C
解析：x，y均为正实数，且，则
当且仅当时取等号.
的最小值为20.
故选：C.
13、答案：B
解析：因为，，且，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，故选B.
14、答案：C
解析：对于A，取，，满足，但，A不成立；
对于B，当时，，B不成立；
对于C，由，可得，故，则一定成立，C正确；
对于D，取，，满足，但，故D不成立，
故选：C.
15、答案：B
解析：，，，
，，，，，，.
16、答案：C
解析：
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8.
17、答案：B
解析：利用均值不等式，，令，故又因为，解得，所以的最小值为6.故选B.
18、答案：C
解析：因为，，，所以，
，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
19、答案：B
解析：因为正实数x，y满足方程，所以，当且仅当时取等号，
解得，A、C错误；
因为，当且仅当时取等号，
解得，B正确，D错误.
故选：B.
20、答案：B
解析：由题意可得正数a，c满足，
当，时，则，
当且仅当，时取等号，
当，时，，不合题意；
故的最小值为9，故选：B
21、答案：B
解析：因为正实数x，y满足，则，当且仅当时，等号成立.
22、答案：C
解析：因为，所以，当且仅当时取等号，
解得，A错误；
因为，所以，当且仅当时取等号，
解得，B错误；
又，则（时取等号），
又，则（时取等号），
故，C正确；
当，时，满足，但，则选项D错误.
故选：C.
23、答案：B
解析：正实数a，b满足，当且仅当，即，时取等号，所以.
故选：B.
24、答案：C
25、答案：A
解析：因为，，且，则，当且仅当时取等号.故选：A.
26、答案：
解析：因为且满足,所以,则，所以,当且仅当，即时取“=”,解得,
所以的最小值为.
27、答案：1；
解析：，当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，.
28、答案：4
解析：由,得到,故,
,得,所以的最大值为4.
29、答案：
解析：由，得，
正实数a，b，c
则
则，
当且仅当，且a，，即时，等号成立
则
所以，的最大值为.
故答案为：.
30、答案：16
解析：正实数x，y满足，所以Error! Digit expected.，
则，当且仅当且即，时取等号.故答案为：16
31、答案：23
解析：因为，
所以.
故答案为：23
32、答案：8
解析：由，，，得，则，当且仅当，即，即，时等号成立，
所以xy的最小值为8.
故答案为：8.
33、答案：
解析：令，即在上恒成立，所以即解得，所以y的取值范围是.
34、答案：（1）3
（2）
（1）由，可得，则.
（2）由（1）得，，
则
，
当且仅当中，即时，等号成立.
35、答案：（1）因为，，
故，，
.
(2)由可得，
故，
故，化简可得.
即.
36、答案：（1）4
（2）
解析：（1）实数，，由得，
根据基本不等式得，所以，
所以，当且仅当时取“=”，
所以xy的最小值为4.
（2）对任意的，，均有成立，只需，
由得，即，
，
当且仅当求，即时取“=”，
，解得.
37、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
令，则，即，解得，
又，所以，即，从而，
由及，，解得，，
故当，时，xy的最大值为，所以3xy的最大值为.
（2）因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
因为恒成立，即，
所以，所以，解得，即.