3.2函数的基本性质同步训练（含解析）

函数的基本性质同步训练
一、选择题
1、若，，且是函数的单调递增区间，则下列一定属于函数的单调递减区间的是( )
A. B. C. D.
2、已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4、函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
5、函数的值域为( )
A. B. C. D.
6、已知函数在R上是奇函数,且单调递增.若,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7、函数是( )
A.奇函数，且在R上单调递减 B.奇函数，且在R上单调递增
C.偶函数，且在R上单调递减 D.偶函数，且在R上单调递增
8、函数对于任意，恒有，那么( )
A.可能不存在单调区间 B.是R上的增函数
C.不可能有单调区间 D.一定有单调区间
9、若奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为7，最小值为-1，则的值为( )
A.5 B.-5 C.13 D.-13
10、已知函数，为定义在R上的奇函数且单调递减.若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
11、定义在上的函数满足，当时，都有，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
12、已知，则下列结论正确的是( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C.是偶函数 D.是奇函数
13、已知为奇函数，其局部图象如图所示，那么
A. B. C. D.
14、若偶函数在区间上单调递减，则( )
A. B.
C. D.
15、我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则函数图象的对称中心的坐标为( )
A. B. C. D.
16、若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为( )
A.2 B.2或-2 C.3 D.3或-3
17、已知函数对任意都有且的图像关于点对称，则( )
A.-3 B.0 C.3 D.6
18、函数在区间上的最小值为( )
A. B.4 C.3 D.
19、已知函数，且函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
20、函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
二、填空题
21、已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是_____________.
函数是区间上的增函数，则t的取值范围是________.
23、已知函数是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是_______________.
24、函数在上的值域为________.
已知函数，，则的值为________.
三、解答题
26、已知函数(其中为常数)的图象经过两点.
（1）判断并证明函数的奇偶性;
（2）证明函数在区间上单调递增.
27、已知函数，且，.
（1）求的解析式；
判断在上的单调性，并用定义证明.
28、已知函数（p，q为常数）是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式.
判断在上的单调性，并用定义证明.
（3）解关于x的不等式.
参考答案
1、答案：B
解析：本题考查函数的奇偶性及单调性.因为，所以是偶函数，因而在上一定单调递减.
2、答案：B
解析：为偶函数，
，
等价于，
又函数在区间上单调递增，
，即，
.故选B.
3、答案：B
解析：，依题意有，即.故选B.
4、答案：D
解析：由，得或，即函数的定义域为，又二次函数图象的对称轴方程为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又函数为增函数，所以函数的单调递减区间为.
5、答案：A
解析：的定义域为，且在上是增函数，.故选A.
6、答案：C
解析：是R上的奇函数，且.又在R上单调递增，，解得，实数a的取值范围为.故选C.
7、答案：B
解析：函数的定义域为R，关于原点对称，
又，
所以是奇函数.
又，是R上的增函数，
所以是R上的增函数.
8、答案：A
解析：根据题意，函数对于任意，恒有，则的解析式可以为满足，不是增函数，没有单调区间；的解析式也可以为，满足，是增函数，其递增区间为R.故可能存在单调区间，也可能不存在单调区间.
9、答案：D
解析：由题意在区间上是增函数，在区间上的最大值为7，最小值为-1，得.
因为是奇函数，
所以.
10、答案：D
解析：由题得，又，两式相加得，所以，所以.因为，所以，所以.因为为定义在R上的奇函数且单调递减，所以是R上的减函数，所以，所以.
11、答案：A
解析：令，得，即，令，，则，得，令，则.
因为函数的定义域为，且当时，都有，所以由得.所以即所以，即不等式的解集为.
12、答案：D
解析：选项A，，，，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数.选项，，，，不满足奇偶性的定义.选项C，，，不满足函数奇偶性的定义.选项D，，，，函数是奇函数.
13、答案：C
解析：由题图可知，因为函数是奇函数，所以，即，所以.
14、答案：A
解析：因为为偶函数，所以，.因为，且在区间上单调递减，所以.
15、答案：A
解析：设为图象的对称中心，则有为奇函数，设，则为奇函数.
.
又，可得，
所以解得
所以函数图象的对称中心的坐标为.
16、答案：B
解析：依题意，当时，，不符合题意；
当时，在区间上单调递增，所以，得；
当时，在区间上单调递减，所以，得.
综上，a的值为，
故选：B.
17、答案：B
解析：因为，
所以，
两式相减后得：，
故函数的周期，，
所以，
中，令得：，
的图像关于点对称，
所以的图象关于点对称，
又的定义域为R，
所以，
中，令得：，
所以，
因为为奇函数，
所以，所以，解得：，
所以，
则.
故选：B.
18、答案：C
解析：，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数在区间上的最小值为3.
故选：C.
19、答案：B
解析：因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，
所以的图象关于直线对称，则，即.
故选：B.
20、答案：A
解析：当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A.
21、答案：
解析：因为函数的图象开口向上，且对称轴方程为.
所以当时，.
因为在R上是增函数，所以当时，.
因为对任意，总存在，使得，所以.
所以解得.故实数a的取值范围是.
22、答案：
解析：由题意可得解得.故答案为.
23、答案：
解析：因为是定义在R上的减函数,所以即解得.故实数a的取值范围是.
24、答案：
解析：函数在上单调递增，当时，；当时，，故函数的值域为.
25、答案：-13
解析：设，则是奇函数，所以.因为，所以，即，所以.
26、答案：(1) 奇函数(2) 在区间上单调递增
解析：(1)函数是奇函数.证明如下:
∵函数的图象经过两点,
∴,解得,
∴,
∴函数的定义域为.
∵,
∴函数是奇函数.
(2)任取,则
.
∵,∴,
∴,即.
∴在区间上单调递增.
27、答案：（1）
（2）单调递增，证明见解析
解析：（1）由题意，得，即，
解得：，.故.
（2）方法一：在上单调递增.
证明：，且，则.
由，得，，，
所以，即.故在上单调递增.
方法二：在上单调递增.
证明：，且，则
.
由，得，，所以.故在上单调递增.
28、答案：（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
解析：（1）依题意，得函数（p，q为常数）是定义在上的奇函数，则有，则.
又由，得，解得，所以.
（2）函数在上单调递增.证明如下：
任取，则，，
从而，
所以，所以函数在上单调递增.
（3）原不等式可化为，即.由（2）可得，函数在上单调递增，
所以有解得，即原不等式的解集为.