清远市四校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考
数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1．已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2.已知非零空间向量,且,则一定共线的三点是( )
A. B. C. D.
3．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
4．圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线的方向向量分别为，若，则等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6.在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
7. 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y－4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x－16y＋31＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )
A.1或3 B.4 C.0 D.2
8．方程|x|－1＝表示的曲线是( )
A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆
二、多选题（每题5分，选对部分2分，选错0分，共20分）
9．已知直线:x + y -2=0，则（ ）
A. 倾斜角为 B. 恒过点（0，2）
C.直线的方向向量为（1，- ) D.在x轴上的截距为2
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（ ）
A．和AC垂直 B．和AA1垂直
C．和MN垂直 D．与AC，MN都不垂直
11.已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点。
B．圆心O到直线l的最大距离是.
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
12在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA’的长为b，且.则（ ）
A.AC’的长为 B.直线B’D与AC所成角的余弦值
C.BD’的长为 D.直线BD’与BC所成角的余弦值
填空题（每题4分，共20分）
13.已知空间中非零向量,且|=2,|=3,=,则|=_________
14.半径为，且与直线的圆的标准方程为__________
15若满足，则的最小值是____________
已知圆上一动点和定点，点为轴上一动点，则
的最小值为___________．
四、解答题（第17题10分，第18-22题，每题12分，共70分）
17.已知的三个顶点， 求边所在直线的方程，以及这条边上的垂直平分线所在直线的方程.
18.已知空间三点，，.
(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
(2)设，若A，B，C，D四点共面，求的值
19.已知曲线C：x2＋y2＋4x＋6y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值．
20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求点A到平面PBE的距离．
21.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点。
(1)求k的取值范围；
(2)若，其中O为坐标原点，求|MN|。
22.如图，在棱长为a的正方体OABC-中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且BE=CF.
求证：
当三棱锥-BEF的体积取得最大值时，求平面EFB’与平面BFB’的夹角的正切值。清远市四校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考
数学试卷解析
一、单选（共8题，每题5分，共40分）
1．已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
答案D
2.已知非零空间向量,且,则一定共线的三点是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：三点共线.
在平行六面体中，M为与的交点，若
,，则与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据空间向量的线性运算可知
因为,，则即，
故选：C
4．圆心为且和轴相切的圆的方程是（ A ）
A． B．
C． D．
5．已知直线的方向向量分别为，若，则等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据列方程，化简求得的值.
【详解】由于，所以.
故选：C
6.在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
对于A选项，由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，所以不能得出共面.
对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：B
7. 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y－4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x－16y＋31＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )
A.1或3 B.4 C.0 D.2
【答案】B
解析：对两个圆的方程配方得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9及圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝，则圆心距d＝|C1C2|＝，3+<，故两个圆相离，则这两个圆的公切线有4条.故选B
8．方程|x|－1＝表示的曲线是( )
A．—个圆 B．两个圆
C．一个半圆 D．两个半圆
【答案】D
解析：方程可化为2＋2＝1.
又|x|－1≥0，所以x≤－1或x≥1.
若x≤－1时，则方程为2＋2＝1；
若x≥1时，则方程为2＋2＝1.
二、多选题（每题5分，选对部分3分，选错0分，共20分）
9．已知直线:x + y -2=0，则（ ）
A. 倾斜角为 B. 恒过点（0，2）
C.直线的方向向量为（1，- ) D.在x轴上的截距为2
【答案】BC
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（ ）
A．和AC垂直 B．和AA1垂直
C．和MN垂直 D．与AC，MN都不垂直
【答案】AC
【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，证明＝0，＝0，，即得解.
【详解】
以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2a，
则D(0，0，0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，，
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，，
∴＝0，＝0，，
∴OM⊥AC，OM⊥MN．OM和AA1不垂直.
故选：AC．
11.已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点。
B．圆心C到直线l的最大距离是.
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
【答案】ABC
解析：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A；正确因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B,设直线与圆相交于两点，弦中点为，则，为到直线的距离，显然，重合时取等号，故圆心C到直线l的最大距离为，B正确；
；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：AC.
12在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA’的长为b，且.则（ ）
A.A’C的长为 B.直线B’D与AC所成角的余弦值
C.BD’的长为 D.直线B’D与BC所成角的余弦值
【答案】AC
解析：对于D答案，时，一下子为负数。
填空（每题4分，共20分）
13.已知空间中非零向量,且|=2,|=3,=,则|=_________
答案
14.半径为，且与直线的圆的标准方程为__________
答案（x-1)2+(y+1)2=10
15若满足，则的最小值是____________
答案30-10
16.已知圆上一动点和定点，点为轴上一动点，则
的最小值为___________．
答案
四、解答题（17题10分，18-22题，每题12分，共70分）
17.（10分）已知的三个顶点， 求边所在直线的方程，以及这条边上的垂直平分线在直线的方程.
解：法一由已知，过的直线的两点式方程为
整理得，即为边所在直线的方程.，.................(5分)
法二、知，又由点斜式有
整理得，即为边所在直线的方程.
由知，在边的垂直平分线为，
则设直线得，.................(6分)
由中点坐标公式，可得中点点，即，.................(7分)
又由点斜式有得，整理可得，即在边的垂直平分线为直线的方程.，.................(10分)
18.已知空间三点，，.
(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
(2)设，若A，B，C，D四点共面，求的值.
解(1)由已知，得：，，，.................(2分)
，.................(3分)
∴，，.................(4分)
∴，.................(5分)
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为，.................(6分)
(2)由D，得：，.................(7分)
∵A，B，C，D四点共面
∴存在实数，，使得，.................(8分)
∴，即得：，.................(10分)
解得：，，∴，.................(12分)
19.已知曲线C：x2＋y2＋4x＋6y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值．
19. 解 (1)由C：x2＋y2＋4x＋6y＋m＝0，得(x＋2)2＋(y＋3)2＝13－m，，.................(3分)
由13－m>0时，得m<13，∴当m<13时，曲线C表示圆；，.................(6分)
(2)圆C的圆心坐标为(－2，－3)，半径为.，.................(7分)
∵直线l：y＝x－m与圆C相切，直线l相切一般式为
∴，解得：m＝±5，满足m<5.，.................(10分)
∴m＝±5.，.................(12分)
如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，=
(1)求证：；
(2)求点A到平面PBE的距离．
解：（1）证明：∵平面，平面PAD，∴，
又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴，
又∵平面，平面，，
∴平面
∵平面ABCD，∴；.................(5分)
（2）解：如图，以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面ABCD内，
通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，.................(6分)
因为，则，，，,
则，，.................(8分)
设平面PBE的法向量为，
，取，则
故为平面PBE的一个法向量，，.................(9分)
设点A到平面PBE的距离为h，则h==，.................(11分)
∴A到平面PBE的距离为．，.................(12分)
21.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点。
(1)求k的取值范围；
(2)若，其中O为坐标原点，求|MN|。
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1。因为直线l与圆C交于两点，所以<1。.................(1分)
解得所以k的取值范围为。.................(4分)
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)。将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.................(5分)
。所以x1＋x2＝，x1x2＝。.................(6分)
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝+8。.................(7分)
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，.................(9分)
满足故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2。.................(12分)
如图，在棱长为a的正方体OABC-O’A’B’C’中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且BE=CF.
求证：A’FC’E；
当三棱锥B’-BEF的体积取得最大值时，求平面EFB’与平面BFB’的夹角的正切值。
解：不妨设a=1，BE=m,以C为原点，为单位正交基底建立如图空间直角坐标系。..................(1分)
(1)则C(0,0,0 ),O( 1,0,0),B(0,1,0),B’( 0,1,1),A’( 1,1,1),C’(0,0,1)
E( m,1,0),F(0,m,0),),.................(3分)
.=0 A’FC’E.................(5分)
V= , 当三棱锥B’-BEF的体积取得最大值时,有最大值。..(6分)
=
当时，有最大值。.................(8分)
取为面BFB’的法向量.................(9分)
设为面EFB’的法向量
,令z=1,则x=2,y=-2
所以.................(9分)
令平面EFB’与平面BFB’的夹角为
cos|=.................(1分)
sin.................(11分)
平面EFB’与平面BFB’的夹角的正切值为。.................(12分)
